2. لحساب EK: تذكر أن [EK] هو ارتفاع في مثلث قائم. استخدم علاقات المساحة.
4. متوازي أضلاع: أثبت أن ضلعين متقابلين متوازيان ومتقايسان.
1. حساب AB: طبق بيتاغور في المثلث القائم والمتساوي الساقين ABE.
2. حساب EK: المثلث EKB قائم في K. [EK] هو الارتفاع المتعلق بالوتر في المثلث ABE. استخدم علاقة المساحة: \(\frac{AE \times EB}{2} = \frac{EK \times AB}{2}\).
3. حساب AC: طبق بيتاغور في المثلث القائم ABC.
4. متوازي أضلاع: لديك \((IF) // (AC)\) (معطى). أثبت أن \(IF=AC\) باستخدام نظرية طاليس في المثلث الكبير المكون من تقاطع (DI) و (AB).
1. حساب AB: في المثلث ABE القائم في E: \(AB^2 = AE^2 + EB^2 = 3^2 + 3^2 = 18\). إذن \(AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) cm.
2. حساب EK: مساحة المثلث ABE = \(\frac{3 \times 3}{2} = 4.5\). وأيضاً المساحة = \(\frac{EK \times AB}{2}\). إذن \(4.5 = \frac{EK \times 3\sqrt{2}}{2} \Rightarrow EK = \frac{9}{3\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\) cm.
3. حساب AC: في المستطيل ABCD، \(BC=AD=3\). المثلث ABC قائم في B. \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 3^2 = 18 + 9 = 27\). إذن \(AC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) cm.
4. إثبات أن AFIC متوازي أضلاع: لدينا \((IF) // (AC)\). في المثلث DBC، I منتصف [CD]. إذا مددنا (DI) ليقطع (AB) في G، فإن G منتصف [AF]. بتطبيق طاليس، نجد أن \(AF = IC = \frac{CD}{2}\). بما أن للرباعي ضلعين متقابلين متوازيين ومتقايسين، فهو متوازي أضلاع.
ABC مثلث متساوي الأضلاع بحيث \( AB=6 \). [AH] ارتفاعه الصادر من A. D نقطة من [AC] بحيث \( CD=2 \) و E المسقط العمودي لـ D على (BC) و F المسقط العمودي لـ D على (AH).
1. لحساب AH: في المثلث متساوي الأضلاع، الارتفاع هو أيضاً متوسط. استخدم بيتاغور في المثلث القائم AHC.
لحساب EC و ED: استخدم نظرية طاليس في المثلث AHC مع المستقيم الموازي (DE).
1. حساب AH: H منتصف [BC]، إذن \(HC=3\). في المثلث AHC القائم في H، \(AC^2 = AH^2 + HC^2\).
2. حساب EC و ED: في المثلث AHC، \((DE) // (AH)\) لأنهما عموديان على (BC). طبق طاليس: \(\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CH} = \frac{DE}{AH}\).
3. مركز الثقل: لإثبات أن F مركز ثقل ADC، يجب أن نثبت أنها تقاطع موسطين. [DF] موسط؟ لا. [AF] موسط؟ لا. السؤال الأصلي غير صحيح. سنثبت أن F منتصف [AH].
1. حساب AH, EC, ED:
H منتصف [BC] \(\Rightarrow HC=3\). في المثلث AHC القائم في H:
في المثلث AHC، لدينا \((DE) // (AH)\). حسب طاليس:
منه: \(CE = \frac{2 \times 3}{6} = 1\) و \(DE = \frac{2 \times 3\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\).
2. طبيعة F:
الرباعي HEDF له ثلاث زوايا قائمة (في H, E, F)، إذن هو مستطيل. وبالتالي \(HF = DE = \sqrt{3}\). لدينا \(AH = 3\sqrt{3}\). إذن \(AF = AH - HF = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\). النسبة \(\frac{AF}{AH} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\). F ليست مركز ثقل المثلث ABC، ولكنها النقطة التي تقسم الارتفاع [AH] بنسبة 2:1.
ABC مثلث متساوي الأضلاع قياس طول ضلعه 4 و [AI] هو موسطه الصادر من A. O منتصف [AC]. H هي صورة I بالتشابه المركزي الذي مركزه O.
1. لحساب AI: في المثلث متساوي الأضلاع، الموسط هو أيضاً ارتفاع.
2. طبيعة AICH: ما معنى أن H هي صورة I بالتشابه المركزي حول O؟ ماذا تستنتج عن النقطة O بالنسبة للقطعة [IH]؟
1. حساب AI: I منتصف [BC]. طبق بيتاغور في المثلث القائم AIC.
2. طبيعة الرباعي: H صورة I بالتشابه المركزي حول O يعني أن O منتصف [IH]. لديك أيضاً O منتصف [AC]. ما هي طبيعة الرباعي الذي قطراه ينصف كل منهما الآخر؟ ثم تحقق إذا كان له ضلعان متجاوران متقايسان أو زاوية قائمة.
1. حساب AI:
في المثلث متساوي الأضلاع، الموسط [AI] هو أيضاً ارتفاع، إذن المثلث AIC قائم في I. لدينا \(AC=4\) و \(IC = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2\). حسب بيتاغور:
2. طبيعة الرباعي AICH:
H صورة I بالتشابه المركزي حول O يعني أن O منتصف [IH]. لدينا أيضاً O منتصف [AC] (معطى). بما أن قطري الرباعي AICH ([AC] و [IH]) لهما نفس المنتصف O، فإن AICH متوازي أضلاع.
لنتحقق إذا كان معيناً: هل \(AI=IC\)؟ \(2\sqrt{3} \neq 2\). إذن ليس معيناً. لنتحقق إذا كان مستطيلاً: هل \(\angle AIC = 90^\circ\)؟ نعم. إذن AICH مستطيل.
ABCD مستطيل حيث \(AB=8\) و \(AD=6\). I منتصف [BC]. المستقيم (AI) يقطع (CD) في J.
1. مثلث قائم: الزاوية في D للمستطيل هي زاوية قائمة.
2. لحساب AJ و DJ: استخدم نظرية طاليس في المثلث ADJ مع المستقيم (IC) الموازي لـ (AD). أو استخدم بيتاغور.
3. الاستقامة: لإثبات أن ثلاث نقاط على استقامة واحدة، أثبت أن الزاوية بينها 180 درجة، أو أثبت أن أحد الأقطار في متوازي أضلاع يمر بها.
1. المثلث ADJ: الزاوية \(\angle ADJ\) هي \(\angle ADC\) وهي 90 درجة لأن ABCD مستطيل.
2. حساب الأطوال:
3. الاستقامة: أثبت أن ميل (DB) يساوي ميل (DJ). أو أثبت أن المثلث DBJ مسطح (زاويته 180 درجة).
1. برهان أن ADJ قائم:
بما أن ABCD مستطيل، فإن \((AD) \perp (DC)\). وبما أن J تقع على المستقيم (DC)، فإن \((AD) \perp (DJ)\). إذن المثلث ADJ قائم الزاوية في D.
2. حساب AJ و DJ:
نعتبر المثلث JAB. لدينا C على [JB] و I على [IA]. بما أن \((IC) // (AB)\) (لأن كلاهما عمودي على BC)، نطبق طاليس: \(\frac{JI}{JA} = \frac{JC}{JB} = \frac{IC}{AB}\). ولدينا أيضاً المثلثان JCI و JAB متشابهان. بما أن I منتصف [BC] و \((AD) // (BC)\)، فإن C هي منتصف [BJ]. إذن \(CJ = BC = AD = 6\). وبالتالي \(DJ = DC + CJ = 8 + 6 = 14\).
في المثلث ADJ القائم في D، حسب بيتاغور: