مراجعة نظرية فيثاغورس (2024)

المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة دفواراتي
شبه منحرف قائم
تمرين 1

نعتبر شبه منحرف ABCD قائم في A و D حيث \( AB=2 \), \( AD=6 \), \( CD=4.5 \) (بالسنتيمتر).

  1. لتكن H المسقط العمودي للنقطة B على (CD). ما هي طبيعة الرباعي ABHD؟ احسب BC.
  2. لتكن E منتصف [AD]. بين أن المثلث EBC قائم الزاوية.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. لحساب BC: أنشئ مثلثًا قائمًا وتره [BC]. يمكنك فعل ذلك بحساب طول [CH].

2. لإثبات أن EBC قائم: استخدم مبرهنة بيتاغور العكسية. ستحتاج إلى حساب مربعات أطوال أضلاعه الثلاثة: \(EB^2\), \(EC^2\), و \(BC^2\).

📝 الطريقة

1. طبيعة ABHD وحساب BC:

  • الرباعي ABHD له ثلاث زوايا قائمة (في A, D, H)، إذن هو مستطيل.
  • استنتج أن \(DH=AB=2\) و \(BH=AD=6\).
  • احسب \(HC = DC - DH\).
  • في المثلث BHC القائم في H، طبق بيتاغور لحساب BC.

2. إثبات أن المثلث EBC قائم:

  • احسب \(EB^2\) في المثلث القائم EAB.
  • احسب \(EC^2\) في المثلث القائم EDC.
  • قارن \(EB^2 + EC^2\) بـ \(BC^2\) الذي حسبته في السؤال الأول.

✅ الحل الكامل

1. طبيعة ABHD وحساب BC:

الرباعي ABHD له الزوايا القائمة في A و D (معطى) وفي H (لأن H مسقط عمودي). إذن ABHD مستطيل.

من خصائص المستطيل: \(DH = AB = 2\) و \(BH = AD = 6\).

نحسب HC: \(HC = DC - DH = 4.5 - 2 = 2.5 \text{ cm}\).

في المثلث BHC القائم في H، حسب بيتاغور:

\[BC^2 = BH^2 + HC^2 = 6^2 + 2.5^2 = 36 + 6.25 = 42.25\]
\[BC = \sqrt{42.25} = 6.5 \text{ cm}\]

2. إثبات أن المثلث EBC قائم:

E منتصف [AD]، إذن \(AE = ED = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}\).

  • في المثلث EAB القائم في A: \(EB^2 = EA^2 + AB^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\).
  • في المثلث EDC القائم في D: \(EC^2 = ED^2 + DC^2 = 3^2 + 4.5^2 = 9 + 20.25 = 29.25\).

الآن نجمع مربعي الضلعين:

\[EB^2 + EC^2 = 13 + 29.25 = 42.25\]

لقد وجدنا في السؤال الأول أن \(BC^2 = 42.25\). بما أن \(BC^2 = EB^2 + EC^2\)، فإنه حسب مبرهنة بيتاغور العكسية، المثلث EBC قائم الزاوية في E.

مثلث داخل مستطيل
تمرين 2

نعتبر المستطيل ABCD حيث \( AB=7 \) و \( BC=4 \). I نقطة من [AB] و J نقطة من [BC] بحيث \( BI=4 \) و \( BJ=3 \).

  1. احسب \( IJ \), \( ID \), و \( JD \).
  2. بين أن المثلث IJD قائم الزاوية ومتساوي الساقين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم مبرهنة بيتاغور في ثلاثة مثلثات قائمة مختلفة لحساب الأطوال الثلاثة المطلوبة. لإثبات أن المثلث IJD قائم، استخدم المبرهنة العكسية.

📝 الطريقة

1. حساب IJ: طبق بيتاغور في المثلث IBJ القائم في B.

2. حساب ID: احسب أولاً AI. ثم طبق بيتاغور في المثلث IAD القائم في A.

3. حساب JD: احسب أولاً JC. ثم طبق بيتاغور في المثلث JCD القائم في C.

4. إثبات أن IJD قائم ومتساوي الساقين: قارن بين \(ID^2\) و \(JD^2\). ثم قارن \(ID^2 + JD^2\) بـ \(IJ^2\).

✅ الحل الكامل

1. حساب الأطوال:

  • في المثلث IBJ القائم في B:
    \[IJ^2 = IB^2 + BJ^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow IJ = 5\]
  • في المثلث IAD القائم في A: \(AI = AB - IB = 7 - 4 = 3\).
    \[ID^2 = IA^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow ID = 5\]
  • في المثلث JCD القائم في C: \(JC = BC - BJ = 4 - 3 = 1\).
    \[JD^2 = JC^2 + CD^2 = 1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50 \Rightarrow JD = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

2. طبيعة المثلث IJD:

من الحسابات السابقة، نلاحظ أن \(IJ = ID = 5\). إذن، المثلث IJD متساوي الساقين في I.

لنتحقق من المبرهنة العكسية لبيتاغور. أطول ضلع هو [JD].

  • \(JD^2 = 50\).
  • \(IJ^2 + ID^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\).

بما أن \(JD^2 = IJ^2 + ID^2\)، فإن المثلث IJD قائم الزاوية في I.

تحديد المثلثات القائمة
تمرين 9

أذكر من بين المثلثات التالية، المثلثات القائمة، محددا الوتر في كل حالة:

  1. \( AB=3 \), \( BC=5 \), \( AC=4 \)
  2. \( AB=2\sqrt{3} \), \( BC=3\sqrt{5} \), \( AC=\sqrt{57} \)
  3. \( AB=\frac{4}{5} \), \( BC=1 \), \( AC=\frac{3}{5} \)
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لكل مثلث، حدد أطول ضلع. ثم قارن مربع هذا الضلع بمجموع مربعي الضلعين الآخرين.

📝 الطريقة

للمثلث 1: قارن \(5^2\) بـ \(3^2 + 4^2\).

للمثلث 2: قارن \((\sqrt{57})^2\) بـ \((2\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{5})^2\).

للمثلث 3: قارن \(1^2\) بـ \((\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2\).

✅ الحل الكامل

1. المثلث الأول: (3, 4, 5)

\(5^2 = 25\). و \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\). بما أن \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)، المثلث قائم في A والوتر هو [BC].

2. المثلث الثاني: (\(2\sqrt{3}, 3\sqrt{5}, \sqrt{57}\))

الأطوال هي تقريبا 3.46, 6.7, 7.55. أطول ضلع هو [AC].

\((\sqrt{57})^2 = 57\).

\((2\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{5})^2 = (4 \times 3) + (9 \times 5) = 12 + 45 = 57\).

بما أن \(AC^2 = AB^2 + BC^2\) (خطأ في تسمية الأضلاع، يجب أن يكون أطول ضلع هو الوتر)، المثلث قائم في B والوتر هو [AC].

3. المثلث الثالث: (4/5, 3/5, 1)

\(1^2 = 1\).

\((\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1\).

بما أن \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)، المثلث قائم في A والوتر هو [BC].