مراجعة بيتاغور - تمارين 1 و 2

المستطيل والعلاقات المترية

ليكن $$ABCD$$ مستطيلا حيث $AB = 6\sqrt{2}$ cm و $$AD=6$$ cm و $$O$$ منتصف $$[CD]$$ . ولتكن $$E$$ نقطة تقاطع $$(AB)$$ والمستقيم المار من $$O$$ والموازي للقطر $$[AC]$$ .

بيّن أن $AC = 6\sqrt{3}$ cm و $BO = 3\sqrt{6}$ cm.
1. بيّن أن الرباعي $$ACOE$$ متوازي أضلاع.
2. بيّن أن $BE = 9\sqrt{2}$ cm.
3. استنتج أن المثلث $$OBE$$ قائم الزاوية.
لتكن $I$ منتصف $[AB]$ و $M$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(OB)$.
1. احسب $$AM$$ ثم استنتج $$MB$$ .
2. احسب $$MI$$ .

الحل المفصل للتمرين الأول

📋 السؤال الأول: حساب AC و BO

حساب AC: بما أن $$ABCD$$ مستطيل، فإن المثلث $$ABC$$ قائم في $$B$$ . بتطبيق مبرهنة بيتاغور: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = (6\sqrt{2})^2 + 6^2 = 72 + 36 = 108$ إذن، $AC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ cm.
حساب BO: المثلث $$OBC$$ قائم في $$C$$ . لدينا $$O$$ منتصف $$[CD]$$ و $CD = AB = 6\sqrt{2}$ ، إذن $OC = \frac{CD}{2} = 3\sqrt{2}$ . $BO^2 = OC^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 6^2 = 18 + 36 = 54$ إذن، $BO = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$ cm.

📐 السؤال الثاني أ: إثبات أن ACOE متوازي أضلاع

لدينا $(OE) \parallel (AC)$ (حسب معطيات التمرين).
بما أن $$ABCD$$ مستطيل، فإن $(AB) \parallel (CD)$ . وبما أن $E \in (AB)$ و $O \in (CD)$ و $C \in (CD)$ ، فإن $(AE) \parallel (OC)$ .
الرباعي $ACOE$ له كل ضلعين متقابلين متوازيان، إذن هو متوازي أضلاع.

📏 السؤال الثاني ب: حساب BE

بما أن $$ACOE$$ متوازي أضلاع، فإن $AE = OC = 3\sqrt{2}$ .
النقطة $$E$$ تقع على امتداد $$[AB]$$ خارج المستطيل، إذن $$BE = BA + AE$$ . $BE = 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$

🔺 السؤال الثاني ج: إثبات أن المثلث OBE قائم الزاوية

نستخدم المبرهنة العكسية لبيتاغور. نحسب مربع كل ضلع في المثلث $$OBE$$ : $BE^2 = (9\sqrt{2})^2 = 162$ $$BO^2 = 54$ (من السؤال 1)$ $$OE^2 = AC^2 = 108$ (لأن $ACOE$ متوازي أضلاع)$
نتحقق من العلاقة: $$BO^2 + OE^2 = 54 + 108 = 162$$ .
بما أن $$BO^2 + OE^2 = BE^2$$ ، فإن المثلث $OBE$ قائم الزاوية في $O$.

📊 السؤال الثالث أ: حساب AM و MB

في المثلث $$EOB$$ ، لدينا $A \in (EB)$ ، $M \in (OB)$ ، والمستقيم $$(AM)$$ (وهو جزء من $$(AC)$$ ) يوازي $$(OE)$$ (لأن $$ACOE$$ متوازي أضلاع).
بتطبيق مبرهنة طاليس: $\frac{BA}{BE} = \frac{BM}{BO} = \frac{AM}{OE}$
حساب AM: $AM = \frac{BA \times OE}{BE} = \frac{6\sqrt{2} \times 6\sqrt{3}}{9\sqrt{2}} = \frac{36\sqrt{6}}{9\sqrt{2}} = 4\sqrt{3}$
حساب MB: نحسب أولاً $$BM$$ : $BM = \frac{BA \times BO}{BE} = \frac{6\sqrt{2} \times 3\sqrt{6}}{9\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{12}}{9\sqrt{2}} = \frac{18 \times 2\sqrt{3}}{9\sqrt{2}} = \frac{36\sqrt{3}}{9\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$ ثم نحسب $$MB$$ في المثلث $$AMB$$ باستخدام إحداثيات نقطة $$M$$ .

📐 السؤال الثالث ب: حساب MI

لحساب $$MI$$ ، نستخدم إحداثيات النقط في معلم مناسب أو نطبق خواص المثلثات.
بوضع $$B$$ في الأصل و $$A$$ على المحور الأفقي، يمكن حساب إحداثيات جميع النقط ومن ثم حساب $$MI$$ .
بعد الحسابات المفصلة (التي تتطلب استخدام الإحداثيات)، نجد $MI = 3\sqrt{2}$.

المثلث القائم والعلاقات المترية

نعتبر مثلثا $$ABC$$ قائم الزاوية في $$C$$ حيث $$AB=6$$ و $$AC=3$$ . (وحدة قيس الطول هي الصنتمتر).

بيّن أن $BC = 3\sqrt{3}$ .
ابن النقطة $$O$$ من القطعة $$[BC]$$ حيث $OC = \frac{1}{6} BC$ . وعين النقطة $$I$$ من $$[BA]$$ حيث $$AI=2$$ . ثم ابن المستقيم المار من $$A$$ والعمودي على $$(AB)$$ والذي يقطع $$(BC)$$ في $$J$$ .
1. بيّن أن $CJ = \sqrt{3}$ .
2. استنتج أن $\frac{JC}{JO} = \frac{2}{3}$ .
1. بيّن أن $AJ = 2\sqrt{3}$ .
2. استنتج أن المثلث $$BIJ$$ قائم في $$J$$ .
لتكن $K$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$، و $S$ نقطة تقاطع المستقيمين $(CK)$ و $(AJ)$.
1. بيّن أن $$C$$ مركز ثقل المثلث $$AJK$$ .
2. احسب البعد $$SK$$ .

الحل المفصل للتمرين الثاني

📋 السؤال الأول: حساب BC

المثلث $$ABC$$ قائم في $$C$$ . بتطبيق مبرهنة بيتاغور: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27$$
إذن، $BC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

📐 السؤال الثالث أ: حساب CJ

نفترض أن المثلث $$ABJ$$ قائم في $$A$$ وأن $$(AC)$$ هو الارتفاع الصادر من $$A$$ .
باستخدام العلاقات المترية في المثلث القائم: $AC^2 = JC \times BC$
$3^2 = JC \times 3\sqrt{3} \implies 9 = JC \times 3\sqrt{3}$
$JC = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
إذن، $CJ = \sqrt{3}$.

📊 السؤال الثالث ب: حساب النسبة

لدينا $OC = \frac{1}{6}BC = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
النقط على استقامة واحدة بالترتيب $$J, C, O, B$$ . $JO = JC + CO = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
النسبة هي: $\frac{JC}{JO} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{3}$

🔺 السؤال الرابع أ: حساب AJ

في المثلث $$ACJ$$ القائم في $$C$$ : $AJ^2 = AC^2 + CJ^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 = 9 + 3 = 12$
إذن، $AJ = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

✅ السؤال الرابع ب: إثبات أن المثلث BIJ قائم في J (مصحح)

تصحيح: $$I$$ تقع على امتداد $$[BA]$$ خارج المثلث، إذن: $$BI = BA + AI = 6 + 2 = 8$$
نحسب $$BJ$$ : $BJ = BC + CJ = 3\sqrt{3} + \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
نحسب $$IJ$$ في المثلث $$AIJ$$ القائم في $$A$$ : $IJ^2 = AI^2 + AJ^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16$ إذن $$IJ = 4$$ .
نتحقق من المبرهنة العكسية لبيتาغور: $$BJ^2 + IJ^2 = 48 + 16 = 64 $$ $$BI^2 = 64$$

ملاحظة: بما أن $BJ^2 + IJ^2 = BI^2$، فإن المثلث $BIJ$ قائماً في $J$.

🎯 السؤال الخامس أ: إثبات أن C مركز ثقل المثلث AJK

لدينا $$K$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة إلى $$O$$ ، إذن $$O$$ منتصف $$[AK]$$ .
في المثلث $$AJK$$ ، المستقيم $$(JO)$$ يمر من الرأس $$J$$ ومنتصف الضلع المقابل $$[AK]$$ ، إذن $$(JO)$$ هو حامل الموسط الصادر من $$J$$ .
النقطة $$C$$ تنتمي إلى هذا الموسط $$(JO)$$ .
وجدنا في السؤال (3ب) أن $\frac{JC}{JO} = \frac{2}{3}$ .
النقطة التي تقع على الموسط وتبعد عن الرأس بثلثي طول الموسط هي مركز الثقل.
إذن، $C$ هي مركز ثقل المثلث $AJK$.

📏 السؤال الخامس ب: حساب البعد SK

بما أن $$C$$ هي مركز ثقل $\triangle AJK$ ، فإن المستقيم $$(CK)$$ هو حامل الموسط الصادر من $$K$$ .
وهو يقطع الضلع $$[AJ]$$ في منتصفه. لكن $$S$$ هي نقطة تقاطع $$(CK)$$ و $$(AJ)$$ .
إذن $$S$$ هي منتصف $$[AJ]$$ .
في المثلث $$ACJ$$ القائم في $$C$$ ، طول الموسط من $$C$$ إلى منتصف الوتر $$[AJ]$$ هو: $CS = \frac{1}{2}AJ = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
بخاصيات مركز الثقل: $CK = 3 \times CS$ (المسافة من مركز الثقل إلى رأس تساوي ثلاثة أضعاف المسافة إلى منتصف الضلع المقابل).
إذن: $CK = 3\sqrt{3}$
وبالتالي: $SK = CK - CS = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
إذن، $SK = 2\sqrt{3}$.

📐 مراجعة العلاقات المترية

الحل المفصل للتمرين الأول

الحل المفصل للتمرين الثاني