مراجعة بيتاغور

الحل المفصل للتمرين 8

أ) إنجاز الرسم

• لإنجاز الرسم بدقة، نبدأ برسم أطول قطعة مستقيمة وهي \([BC]\) بطول 6 وحدات (مثلاً 6 سم).
• باستخدام الفرجار، نفتح الفرجار بفتحة طولها 2 وحدة (\(AB=2\)) ونرسم قوس دائرة انطلاقاً من النقطة \(B\).
• نحسب القيمة التقريبية لـ \(AC = 4\sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 = 5.66\).
• نفتح الفرجار بفتحة طولها 5.66 وحدة، ونرسم قوس دائرة انطلاقاً من النقطة \(C\).
• نقطة تقاطع القوسين هي النقطة \(A\). نصل بين النقاط \(A\), \(B\), و \(C\) لنحصل على المثلث.

ب) بيّن أن المثلث ABC قائم الزاوية

• للتحقق مما إذا كان المثلث قائماً، نستخدم المبرهنة العكسية لفيثاغورس. تنص هذه المبرهنة على أنه إذا كان مربع طول أطول ضلع في مثلث يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن المثلث قائم الزاوية.
• الخطوة 1: نحسب مربع طول كل ضلع.
  • \(AB^2 = 2^2 = 4\)
  • \(AC^2 = (4\sqrt{2})^2 = 4^2 \times (\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32\)
  • \(BC^2 = 6^2 = 36\)
• الخطوة 2: نحدد أطول ضلع. بمقارنة المربعات (4, 32, 36)، نجد أن 36 هي القيمة الأكبر، إذن \([BC]\) هو أطول ضلع.
• الخطوة 3: نتحقق من صحة العلاقة. نقارن مربع أطول ضلع بمجموع مربعي الضلعين الآخرين.
  مجموع مربعي الضلعين الآخرين: \(AB^2 + AC^2 = 4 + 32 = 36\).
  مربع أطول ضلع: \(BC^2 = 36\).
• الخطوة 4: الاستنتاج.
  بما أن \(AB^2 + AC^2 = BC^2\)، فإن علاقة فيثاغورس العكسية محققة.

تحليل التمرين 9

تحليل السؤال 1:

• يطلب تعيين \(A(0,3)\) و \(B(3,0)\) ثم في الجزء (ب) يطلب بناء \(A\) مرة أخرى! هذا تناقض.
• في الجزء (ج) يطلب حساب إحداثيات \(A\) وهي معطاة.
• الافتراض الأكثر منطقية: كان يجب أن يكون السؤال: "لتكن \(O(0,0), A(0,3), B(3,0)\). بيّن أن المثلث AOB قائم ومتقايس الساقين في O. ثم عين K منتصف [OB] واحسب إحداثياتها".
  على هذا دليل القوة: \(OA = \sqrt{(0-0)^2+(3-0)^2}=3\). \(OB = \sqrt{(3-0)^2+(0-0)^2}=3\). إذن \(OA=OB\).
  \(AB^2 = (3-0)^2+(0-3)^2 = 9+9=18\). \(OA^2+OB^2=3^2+3^2=18\). بما أن \(OA^2+OB^2=AB^2\)، فالمثلث قائم في \(O\).
  إحداثيات K منتصف \([OB]\) هي \(K(\frac{3+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = K(1.5, 0)\).

تحليل السؤال 2:

• \(C\) مناظرة \(A(0,3)\) بالنسبة للمستقيم \((OI)\) (محور السينات). إذن إحداثيات \(C\) هي \((0, -3)\).
• المطلوب: "بيّن أن الرباعي ABCO معين". المعين هو متوازي أضلاع جميع أضلاعه متقايسة.
  لنحسب أطوال أضلاع الرباعي \(ABCO\): \(A(0,3), B(3,0), C(0,-3), O(0,0)\).
  • \(OA = 3\).
  • \(OC = 3\).
  • \(AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
  • \(BC = \sqrt{(3-0)^2+(0-(-3))^2} = \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
  الأضلاع هي (3, \(3\sqrt{2}\), 3, \(3\sqrt{2}\)). بما أن \(3 \neq 3\sqrt{2}\)، فإن الأضلاع ليست كلها متقايسة.
  الاستنتاج: الرباعي ABCO ليس معيناً. إنه شكل "طائرة ورقية" (Kite) لأن له قطران متعامدان \([AC]\) و \([OB]\) وأحد القطرين \([AC]\) هو محور تناظر للآخر. الادعاء في السؤال خاطئ.

تحليل السؤال 3:

• \(D\) مناظرة \(C(0, -3)\) بالنسبة إلى \(O(0,0)\). إذن \(O\) هي منتصف \([CD]\). \((\frac{0+x_D}{2}, \frac{-3+y_D}{2}) = (0,0)\). هذا يعطي \(x_D=0\) و \(y_D=3\).
  إذن، إحداثيات \(D\) هي \((0,3)\)، مما يعني أن النقطة \(D\) هي نفسها النقطة \(A\).
• المطلوب: "بيّن أن الرباعي ABCD شبه منحرف". الرباعي هو \(ABCA\). هذا ليس رباعياً، بل هو مثلث \(ABC\). إنه شكل منبسط (degenerate).
• الاستنتاج: بناءً على المعطيات السابقة، هذا السؤال لا معنى له.

الحل المفصل للتمرين 10

1) بيّن أن الرباعي OEAF معين

• لدينا \(A, E, F\) نقاط من الدائرة \((\mathcal{C})\) التي مركزها \(O\) وشعاعها 4. إذن، الأطوال \(OA, OE, OF\) كلها تساوي الشعاع.
  \(OA = OE = OF = 4\).
• لدينا \(\Delta\) هو الموسط العمودي (المحور) للقطعة \([OA]\). والنقطتان \(E\) و \(F\) تنتميان إلى \(\Delta\).
• أي نقطة تنتمي إلى محور قطعة مستقيمة تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة.
  بما أن \(E \in \Delta\)، فإن \(EA = EO\).
  بما أن \(F \in \Delta\)، فإن \(FA = FO\).
• نجمع كل المساواة التي حصلنا عليها:
  \(OE = 4\) و \(EA = EO\)، إذن \(EA=4\).
  \(OF = 4\) و \(FA = FO\)، إذن \(FA=4\).
• إذن، جميع أضلاع الرباعي \(OEAF\) لها نفس الطول 4: \(OE = EA = AF = FO = 4\).
• الرباعي الذي جميع أضلاعه متقايسة هو معين.

2) أ) حساب مساحة المعين OEAF

• مساحة المعين تساوي نصف جداء طولي قطريه. قطرا المعين \(OEAF\) هما \([OA]\) و \([EF]\).
• لدينا طول القطر \(OA = 4\).
• لحساب طول القطر \([EF]\):
  قطرا المعين متعامدان وينصف كل منهما الآخر. ليكن \(H\) نقطة تقاطعهما.
  \(H\) هي منتصف \([OA]\) (لأن \(\Delta\) هو محور \([OA]\)). إذن \(OH = \frac{OA}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
  المثلث \(OHE\) قائم في \(H\) (لأن القطرين متعامدان).
  بتطبيق فيثاغورس في \(\triangle OHE\): \(OE^2 = OH^2 + HE^2\).
  \(4^2 = 2^2 + HE^2 \implies 16 = 4 + HE^2 \implies HE^2 = 12 \implies HE = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
• \(H\) هي أيضا منتصف القطر \([EF]\). إذن \(EF = 2 \times HE = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
• مساحة المعين \(OEAF = \frac{1}{2} \times OA \times EF = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\).
• إذن، المساحة تساوي \(8\sqrt{3}\) cm\(^2\).

2) ب) حساب ME

• \(M\) هي المسقط العمودي لـ \(E\) على \((OF)\)، إذن \([EM]\) هو الارتفاع الصادر من \(E\) في المثلث \(OEF\).
• يمكن حساب مساحة المثلث \(OEF\) بطريقتين:
  الطريقة 1: المساحة = \(\frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع} = \frac{1}{2} \times OF \times ME\).
  الطريقة 2: مساحة \(\triangle OEF\) هي نصف مساحة المعين \(OEAF\).
  مساحة \(\triangle OEF = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
• بمساواة الطريقتين: \(4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times OF \times ME\).
  نعلم أن \(OF=4\) (شعاع الدائرة).
  \(4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 4 \times ME \implies 4\sqrt{3} = 2 \times ME\).
• إذن، \(ME = 2\sqrt{3}\).

3) حساب AE'

• \(\Delta'\) هو المماس للدائرة في \(E\)، إذن \((OE) \perp \Delta'\).
• \(E'\) هو المسقط العمودي لـ \(A\) على \(\Delta'\). إذن \((AE') \perp \Delta'\).
• بما أن \((OE)\) و \((AE')\) يعامدان نفس المستقيم \(\Delta'\)، فإنهما متوازيان: \((OE) // (AE')\).
• لتكن \(A''\) المسقط العمودي لـ \(A\) على المستقيم \((OE)\).
  بما أن \((OE) // (AE')\) و \((OA'') // (E'E)\) (كلاهما عمودي على \(OE\))، فإن الرباعي \(A''E'EA\) مستطيل.
  إذن، طول \(AE'\) يساوي طول \(A''E\). هذا خاطئ. طول \(AE'\) يساوي طول \(A A''\).
• \(AA''\) هو طول الارتفاع الصادر من \(A\) في المثلث \(OAE\).
• مساحة المثلث \(OAE\) هي نصف مساحة المعين، أي \(4\sqrt{3}\).
• مساحة \(\triangle OAE = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع} = \frac{1}{2} \times OE \times AA''\).
• \(4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 4 \times AA'' \implies 4\sqrt{3} = 2 \times AA''\).
• إذن \(AA'' = 2\sqrt{3}\). وعليه، \(AE' = 2\sqrt{3}\).

تحليل التمرين 11

تحليل السؤال 1 و 2:

• لحساب موقع النقطة \(H\)، نستخدم مبرهنة فيثاغورس الموسعة (مبرهنة الكاشي) أو طريقة الإحداثيات. ليكن \(BH = x\). في \(\triangle BHD\): \(DH^2 = BD^2 - BH^2 = 4^2 - x^2\). في \(\triangle AHD\): \(DH^2 = AD^2 - AH^2 = 8^2 - (6 \pm x)^2\). بحسابات دقيقة (يمكن وضع B عند (0,0) و A عند (6,0)) نجد أن إحداثي H هو \(-1\). هذا يعني أن \(B\) تقع بين \(A\) و \(H\)، وأن \(BH = 1\).
• بالنص الأصلي، \(E\) هي مسقط \(I\) على \((AB)\). بما أن \(I\) منتصف \([BD]\)، فإن مسقطها \(E\) سيكون منتصف مسقطي \(B, D\). مسقط \(B\) هو \(B\) نفسها، ومسقط \(D\) هو \(H\). إذن \(E\) هي منتصف \([BH]\).
• المطلوب في السؤال 2 هو إيجاد تقاطع \(J\) بين \((DH)\) و \((EI)\).
  المستقيم \((DH)\) عمودي على \((AB)\) (لأن \(H\) مسقط).
  المستقيم \((EI)\) عمودي على \((AB)\) (لأن \(E\) مسقط).
  بما أن المستقيمين \((DH)\) و \((EI)\) يعامدان نفس المستقيم \((AB)\)، فإنهما متوازيان تماماً (ما لم تكن النقاط D, I, H, E على استقامة واحدة وهو أمر غير صحيح هنا).
• الاستنتاج: المستقيمان لا يتقاطعان أبداً (إلا في اللانهاية). إذن، النقطة \(J\) غير موجودة. وبالتالي لا يمكن حل السؤال 2 وبقية الأسئلة التي تعتمد عليه.