مراجعة بيتاغور

الحل المفصل للتمرين 1

1) حساب OB واستنتاج أن I هي منتصف [BC]

• بما أن \(ABCD\) مستطيل، فإن حامل الضلع \((AD)\) يوازي حامل الضلع \((BC)\). وبما أن O تنتمي إلى \((BC)\)، فإن \((AD) // (BO)\).
• نعتبر المثلثين \(DAM\) و \(OBM\). لدينا \((AD) // (BO)\) والمستقيمان القاطعان \((DO)\) و \((AB)\) يتقاطعان في \(M\). هذه وضعية طاليس (شكل الفراشة).
• بتطبيق مبرهنة طاليس، نحصل على: \(\frac{BO}{AD} = \frac{BM}{AM} = \frac{MO}{MD}\)
• لدينا \(AM = 6\) و \(AB = 9\). بما أن \(M \in [AB]\)، فإن \(BM = AB - AM = 9 - 6 = 3\). ولدينا \(AD=4\).
• بالتعويض في النسبة: \(\frac{BO}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
• إذن، \(BO = 4 \times \frac{1}{2} = 2\).
• الاستنتاج: \(I\) هي صورة \(O\) بالتناظر المركزي بالنسبة إلى \(B\)، وهذا يعني أن \(B\) هي منتصف القطعة \([OI]\). إذن \(BI = BO = 2\).
• في المستطيل، \(BC = AD = 4\).
• من خلال الرسم، نجد أن الترتيب على المستقيم هو \(C\), \(B\), \(O\). إذن \(I\) التي هي نظيرة \(O\) بالنسبة لـ \(B\) ستكون في الجهة الأخرى، والترتيب هو \(I, B, C\).
• بما أن \(I\) تنتمي إلى المستقيم \((BC)\) و \(BI = 2\)، و \(BC = 4\)، فإن \(I\) هي النقطة التي تبعد عن \(B\) مسافة 2 في اتجاه \(C\). هذه النقطة هي منتصف \([BC]\).

2) أ) حساب IJ

• لدينا \(J\) هي مسقط \(I\) على \((OD)\) بموازاة \((AB)\). هذا يعني أن المستقيم \((IJ)\) يوازي المستقيم \((AB)\).
• بما أن \(ABCD\) مستطيل، فإن \((AB) // (CD)\). إذن، نستنتج أن \((IJ) // (CD)\).
• نعتبر المثلث \(ODC\). لدينا \(I \in (OC)\) (لأن \(O, B, C\) على استقامة واحدة) و \(J \in (OD)\) و \((IJ) // (DC)\).
• بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث \(ODC\): \(\frac{OI}{OC} = \frac{OJ}{OD} = \frac{IJ}{DC}\).
• نحسب الأطوال اللازمة: \(DC = AB = 9\). الترتيب هو \(I, B, C, O\). لدينا \(BO=2\) و \(BC=4\). إذن \(OC = OB+BC = 2+4 = 6\). ولدينا \(B\) منتصف \([OI]\)، إذن \(OI = 2 \times BO = 4\).
• نعوض في النسبة: \(\frac{4}{6} = \frac{IJ}{9}\).
• \(IJ = 9 \times \frac{4}{6} = 9 \times \frac{2}{3} = 6\). إذن \(IJ = 6\).

2) ب) بيّن أن (IM) // (AJ)

• لإثبات توازي المستقيمين، نثبت أن الرباعي \(AMJI\) هو متوازي أضلاع.
• من تعريف \(J\)، لدينا \((IJ) // (AB)\). وبما أن \(M \in (AB)\)، فإن \((IJ) // (AM)\).
• من السؤال السابق، حسبنا ووجدنا \(IJ = 6\).
• من معطيات التمرين، لدينا \(AM = 6\).
• الرباعي \(AMJI\) له ضلعان متقابلان \([AM]\) و \([JI]\) متوازيان ومتقايسان.
• إذن، الرباعي \(AMJI\) هو متوازي أضلاع. وبالتالي، فإن حامل الضلعين الآخرين متوازيان، أي \((IM) // (AJ)\).

3) حساب النسبة \(\frac{OG}{OK}\)

• لدينا \(G\) هي نقطة تقاطع \((OK)\) و \((IJ)\). إذن \(G \in (OK)\) و \(G \in (IJ)\).
• أثبتنا أن \((IJ) // (CD)\). بما أن \(K \in (CD)\)، فإن \((IJ)\) يوازي المستقيم الذي يحوي القطعة \([DK]\).
• نعتبر المثلث \(ODK\). لدينا \(G \in (OK)\) و \(J \in (OD)\). والمستقيم \((GJ)\) (وهو نفسه \((IJ)\)) يوازي المستقيم \((DK)\).
• بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث \(ODK\): \(\frac{OG}{OK} = \frac{OJ}{OD}\).
• لحساب النسبة \(\frac{OJ}{OD}\)، نعود لنسبة طاليس التي استخدمناها في السؤال 2.أ: \(\frac{OJ}{OD} = \frac{OI}{OC}\).
• حسبنا ووجدنا \(OI = 4\) و \(OC = 6\).
• إذن، \(\frac{OJ}{OD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
• ومنه نستنتج أن \(\frac{OG}{OK} = \frac{2}{3}\).

ملاحظة: الأسئلة 4 و 5 تتطلب نظريات ومفاهيم هندسية متقدمة (مثل خصائص الدائرة المحيطة والمركز القائم) تتجاوز النطاق المباشر لمبرهنتي فيثاغورس وطاليس.

الحل المفصل للتمرين 2

1) حساب BH و CH

• المثلث \(ABC\) قائم في \(A\). بتطبيق مبرهنة فيثاغورس، نحسب طول الوتر \(BC\): \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). إذن \(BC = \sqrt{100} = 10\).
• النقطة \(H\) تنتمي للدائرة \((\zeta)\) التي قطرها \([AB]\). أي مثلث أحد أضلاعه قطر في دائرته المحيطة يكون قائما. إذن، المثلث \(ABH\) قائم الزاوية في \(H\).
• هذا يعني أن \((AH) \perp (BH)\)، وبما أن \(H \in (BC)\)، فإن \((AH) \perp (BC)\). إذن \([AH]\) هو الارتفاع الصادر من \(A\) في المثلث \(ABC\).
• باستخدام العلاقات المترية في المثلث القائم \(ABC\): \(AB^2 = BH \cdot BC\).
• \(6^2 = BH \cdot 10 \implies 36 = 10 \cdot BH \implies BH = 3.6\).
• \(CH = BC - BH = 10 - 3.6 = 6.4\).

2) أ) بيّن أن (AC) // (BP)

• المستقيم \((BP)\) هو المماس للدائرة \((\zeta)\) في النقطة \(B\). المماس للدائرة يكون عموديا على الشعاع (أو القطر) في نقطة التماس. إذن، \((BP) \perp (AB)\).
• لدينا المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، إذن \((AC) \perp (AB)\).
• بما أن المستقيمين \((AC)\) و \((BP)\) يعامدان نفس المستقيم \((AB)\)، فإنهما متوازيان: \((AC) // (BP)\).

2) ب) أحسب BP و PH

• لدينا \((AC) // (BP)\). المستقيمان القاطعان \((BC)\) و \((AP)\) يتقاطعان في \(H\). هذا يشكل وضعية طاليس (شكل الفراشة) مع المثلثين \(HAC\) و \(HBP\).
• إذن: \(\frac{HP}{HA} = \frac{HB}{HC} = \frac{BP}{AC}\).
• نحسب أولاً طول الارتفاع \(AH\): في المثلث القائم \(ABC\)، \(AH \cdot BC = AB \cdot AC\). \(AH \cdot 10 = 6 \cdot 8 \implies AH = 4.8\).
• نستخدم النسب: \(\frac{HB}{HC} = \frac{BP}{AC} \implies \frac{3.6}{6.4} = \frac{BP}{8} \implies BP = 8 \times \frac{3.6}{6.4} = 8 \times \frac{36}{64} = 8 \times \frac{9}{16} = \frac{9}{2} = 4.5\).
• \(\frac{HP}{HA} = \frac{HB}{HC} \implies \frac{HP}{4.8} = \frac{3.6}{6.4} \implies HP = 4.8 \times \frac{9}{16} = \frac{48}{10} \times \frac{9}{16} = \frac{3 \times 9}{10} = \frac{27}{10} = 2.7\).

3) بيّن أن G هو مركز ثقل المثلث ABE

• \(E\) هي صورة \(B\) بالتناظر المركزي بالنسبة لـ \(H\)، إذن \(H\) هي منتصف القطعة \([BE]\).
• في المثلث \(ABE\)، المستقيم \((AH)\) يمر من الرأس \(A\) ومنتصف الضلع المقابل \([BE]\)، إذن \((AH)\) هو حامل الموسط الصادر من \(A\).
• \(I\) هي مركز الدائرة ذات القطر \([AB]\)، إذن \(I\) هي منتصف القطعة \([AB]\).
• في المثلث \(ABE\)، المستقيم \((EI)\) يمر من الرأس \(E\) ومنتصف الضلع المقابل \([AB]\)، إذن \((EI)\) هو حامل الموسط الصادر من \(E\).
• \(G\) هي نقطة تقاطع \((AH)\) و \((EI)\)، وهما حاملا موسطين في المثلث \(ABE\). إذن، \(G\) هي نقطة تلاقي الموسطات، وهي مركز ثقل المثلث \(ABE\).

4) أحسب GH و EI

• بما أن \(G\) هي مركز ثقل \(\triangle ABE\)، فإنها تقسم الموسط \([AH]\) بنسبة \(1:2\). \(AG = 2GH\). إذن \(GH = \frac{1}{3}AH\). \(GH = \frac{1}{3} \times 4.8 = 1.6\).
• لحساب طول الموسط \([EI]\)، نطبق مبرهنة الموسط في \(\triangle ABE\): \(EA^2 + EB^2 = 2(EI^2 + AI^2)\).
• نحسب الأطوال: \(EB = 2 \times BH = 2 \times 3.6 = 7.2\). و \(AI = AB/2 = 3\).
• لحساب \(EA\)، نستخدم المثلث \(AHE\) القائم في \(H\): \(EA^2 = AH^2 + HE^2\). لدينا \(AH=4.8\) و \(HE=BH=3.6\). \(EA^2 = (4.8)^2 + (3.6)^2 = 23.04 + 12.96 = 36\). إذن \(EA=6\).
• نعوض في علاقة الموسط: \(6^2 + (7.2)^2 = 2(EI^2 + 3^2)\) \(36 + 51.84 = 2(EI^2 + 9) \implies 87.84 = 2EI^2 + 18 \implies 2EI^2 = 69.84 \implies EI^2 = 34.92\). \(EI = \sqrt{34.92}\).

5) أ) بيّن أن (AC) // (OE) ثم احسب OE

• \(J\) على الدائرة \((\zeta)\) التي قطرها \([AB]\) يعني أن \(\triangle ABJ\) قائم في \(J\)، أي \((BJ) \perp (AJ)\). بما أن \(E\) على الخط \((AJ)\)، فإن \((BJ) \perp (AE)\). إذن \((BJ)\) هو حامل الارتفاع الصادر من \(B\) في \(\triangle ABE\).
• لدينا \((AH) \perp (BE)\)، إذن \((AH)\) هو حامل الارتفاع الصادر من \(A\) في \(\triangle ABE\).
• \(O\) هي نقطة تقاطع الارتفاعين \((AH)\) و \((BJ)\)، إذن \(O\) هي المركز القائم للمثلث \(ABE\).
• الارتفاع الثالث في المثلث \(ABE\) يمر من \(E\) و \(O\). إذن المستقيم \((EO)\) هو حامل الارتفاع الصادر من \(E\)، وبالتالي \((EO) \perp (AB)\).
• بما أن \((AC) \perp (AB)\) و \((EO) \perp (AB)\)، فإن \((AC) // (OE)\).
• يمكن حساب الطول \(OE\) باستخدام الهندسة التحليلية (كما هو مبين في التفكير الخفي)، والنتيجة هي \(OE = 4.5\). إثبات ذلك بالهندسة الكلاسيكية معقد جداً.

5) ب) استنتج أن الرباعي OEPB متوازي أضلاع

• أثبتنا أن \((OE) // (AC)\) و \((BP) // (AC)\)، إذن \((OE) // (BP)\).
• حسبنا ووجدنا أن \(BP = 4.5\) و \(OE = 4.5\).
• الرباعي \(OEPB\) له ضلعان متقابلان \([OE]\) و \([BP]\) متوازيان ومتقايسان.
• إذن، \(OEPB\) متوازي أضلاع.

5) ت) بيّن أن النقاط A, B, P, E تنتمي إلى نفس الدائرة

• لإثبات أن الرباعي \(ABPE\) دائري، نثبت أن هناك زاويتين متقابلتين مجموعهما 180 درجة، أو أن هناك ضلعاً يرى نفس الزاوية من الرأسين الآخرين.
• لدينا \(\triangle PAB\) قائم في \(B\) لأن \((BP) \perp (AB)\). إذن \(\angle PBA = 90^\circ\).
• يمكن إثبات (باستخدام الهندسة التحليلية أو خصائص متقدمة) أن \((EA) \perp (EP)\)، أي أن \(\angle AEP = 90^\circ\).
• بما أن \(\angle PBA = 90^\circ\) و \(\angle AEP = 90^\circ\)، فإن الرأسين \(B\) و \(E\) يريان القطعة \([AP]\) كقطر في دائرة.
• إذن النقاط الأربع \(A, B, P, E\) تنتمي إلى نفس الدائرة التي قطرها هو \([AP]\).