تمارين إضافية - مراجعة فيثاغورس

بناء وهندسة تحليلية
تمرين 3
  1. ارسم مثلث ABE قائم ومتساوي الساقين في E بحيث \( AE=EB=3 \) cm. احسب AB.
  2. ارسم الدائرة (C) التي قطرها [EB]. تقطع [AB] في K. احسب EK.
  3. أكمل خارج المثلث المستطيل ABCD بحيث \( BC=3 \). احسب AC.
  4. لتكن I منتصف [CD]. المستقيم المار من I والموازي للمستقيم (AC) يقطع (AB) في F. بين أن AFIC متوازي أضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

2. لحساب EK: تذكر أن [EK] هو ارتفاع في مثلث قائم. استخدم علاقة المساحة: مساحة المثلث يمكن حسابها بطريقتين.

4. متوازي أضلاع: أثبت أن ضلعين متقابلين متوازيان ومتقايسان.

📝 الطريقة

1. حساب AB: طبق بيتاغور في المثلث القائم والمتساوي الساقين ABE.

2. حساب EK: المثلث EKB قائم في K لأن [EB] قطر. [EK] هو الارتفاع المتعلق بالوتر في المثلث ABE. استخدم علاقة المساحة: \(\frac{AE \times EB}{2} = \frac{EK \times AB}{2}\).

3. حساب AC: طبق بيتاغور في المثلث القائم ABC.

4. متوازي أضلاع: لديك \((IF) // (AC)\) (معطى). أثبت أن \(AF = IC\) باستخدام نظرية طاليس لإثبات أن F منتصف [AB].

✅ الحل الكامل

1. حساب AB: في المثلث ABE القائم في E: \(AB^2 = AE^2 + EB^2 = 3^2 + 3^2 = 18\). إذن \(AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) cm.

2. حساب EK: مساحة المثلث ABE = \(\frac{3 \times 3}{2} = 4.5\). وأيضاً المساحة = \(\frac{EK \times AB}{2}\). إذن \(4.5 = \frac{EK \times 3\sqrt{2}}{2} \Rightarrow EK = \frac{9}{3\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\) cm.

3. حساب AC: في المستطيل ABCD، \(CD = AB = 3\sqrt{2}\). المثلث ABC قائم في B. \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 3^2 = 18 + 9 = 27\). إذن \(AC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) cm.

4. إثبات أن AFIC متوازي أضلاع: لدينا \((IF) // (AC)\). في المثلث BCD، المستقيم المار من I منتصف [CD] ويوازي (BD) يقطع [BC] في منتصفه. لتطبيق طاليس، نمد (DI) ليقطع (BC) في G. في المثلث ADG، C منتصف [DG] وI منتصف [DI]. هذا معقد. طريقة أبسط: في المثلث ABC، المستقيم المار من I ويوازي (AC) يقطع [AD] و [AB] في منتصفيهما G و F. لكن I ليست في المثلث. الطريقة الصحيحة: نطبق طاليس في المثلث ABD مع المستقيم (FI) القاطع له. نجد أن F منتصف [AB]. إذن \(AF = \frac{AB}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\). ولدينا \(IC = \frac{CD}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\). إذن \(AF=IC\). بما أن \((AF) // (IC)\) و \(AF=IC\)، فإن AFIC متوازي أضلاع.

المثلث متساوي الأضلاع
تمرين 4

ABC مثلث متساوي الأضلاع بحيث \( AB=6 \). [AH] ارتفاعه. D نقطة من [AC] بحيث \( CD=2 \). E المسقط العمودي لـ D على (BC) و F المسقط العمودي لـ D على (AH).

  1. احسب AH ثم EC و ED.
  2. بين أن F هي النقطة من [AH] التي تحقق \(\frac{AF}{AH} = \frac{2}{3}\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. لحساب AH: في المثلث متساوي الأضلاع، الارتفاع هو أيضاً متوسط. استخدم بيتاغور في المثلث القائم AHC.

لحساب EC و ED: استخدم نظرية طاليس في المثلث AHC مع المستقيم الموازي (DE).

📝 الطريقة

1. حساب AH: H منتصف [BC]، إذن \(HC=3\). في المثلث AHC القائم في H، \(AC^2 = AH^2 + HC^2\).

2. حساب EC و ED: في المثلث AHC، \((DE) // (AH)\) لأنهما عموديان على (BC). طبق طاليس: \(\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CH} = \frac{DE}{AH}\).

3. موقع F: الرباعي HEDF مستطيل. استنتج أن \(HF = DE\). احسب \(AF = AH - HF\) ثم احسب النسبة \(\frac{AF}{AH}\).

✅ الحل الكامل

1. حساب AH, EC, ED:

H منتصف [BC] \(\Rightarrow HC=3\). في المثلث AHC القائم في H:

\[AH^2 = AC^2 - HC^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27 \Rightarrow AH = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]

في المثلث AHC، لدينا \((DE) // (AH)\). حسب طاليس:

\[\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CH} = \frac{DE}{AH}\]
\[\frac{2}{6} = \frac{CE}{3} = \frac{DE}{3\sqrt{3}}\]

منه: \(CE = \frac{2 \times 3}{6} = 1\) و \(DE = \frac{2 \times 3\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\).

2. موقع F:

الرباعي HEDF له ثلاث زوايا قائمة (في H, E, F)، إذن هو مستطيل. وبالتالي \(HF = DE = \sqrt{3}\). لدينا \(AH = 3\sqrt{3}\). إذن \(AF = AH - HF = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\). النسبة المطلوبة هي:

\[\frac{AF}{AH} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\]

وهو المطلوب إثباته. (ملاحظة: هذه هي خاصية مركز الثقل على الموسط، لكن F ليست مركز الثقل).

المثلث متساوي الأضلاع والتشابه
مسألة 1

ABC مثلث متساوي الأضلاع قياس طول ضلعه 4. [AI] هو موسطه الصادر من A. O منتصف [AC]. H هي صورة I بالتماثل المركزي الذي مركزه O.

  1. أحسب AI.
  2. ما هي طبيعة الرباعي AICH؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. لحساب AI: في المثلث متساوي الأضلاع، الموسط هو أيضاً ارتفاع.

2. طبيعة AICH: ما معنى أن H هي صورة I بالتماثل المركزي حول O؟ ماذا تستنتج عن النقطة O بالنسبة للقطعة [IH]؟

📝 الطريقة

1. حساب AI: I منتصف [BC]. طبق بيتاغور في المثلث القائم AIC.

2. طبيعة الرباعي: H صورة I بالتماثل المركزي حول O يعني أن O منتصف [IH]. لديك أيضاً O منتصف [AC]. ما هي طبيعة الرباعي الذي قطراه ينصف كل منهما الآخر؟ ثم تحقق إذا كانت له زاوية قائمة.

✅ الحل الكامل

1. حساب AI:

في المثلث متساوي الأضلاع، الموسط [AI] هو أيضاً ارتفاع، إذن المثلث AIC قائم في I. لدينا \(AC=4\) و \(IC = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2\). حسب بيتاغور:

\[AI^2 = AC^2 - IC^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12\]
\[AI = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

2. طبيعة الرباعي AICH:

H صورة I بالتماثل المركزي حول O يعني أن O منتصف [IH]. لدينا أيضاً O منتصف [AC] (معطى). بما أن قطري الرباعي AICH ([AC] و [IH]) لهما نفس المنتصف O، فإن AICH متوازي أضلاع.

بما أن \(\angle AIC = 90^\circ\)، فإن متوازي الأضلاع AICH له زاوية قائمة، إذن هو مستطيل.

هندسة شاملة في المستطيل
مسألة 2

ABCD مستطيل حيث \(AB=8\) و \(AD=6\). I منتصف [BC]. المستقيم (DI) يقطع (AB) في J.

  1. برهن أن المثلث JAD قائم الزاوية.
  2. احسب AJ و DJ.
  3. برهن أن B منتصف [AJ].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

3. لإثبات أن B منتصف [AJ]: استخدم نظرية طاليس في المثلث JAD مع المستقيم (BC)، أو أثبت تطابق المثلثين JBI و CDI.

📝 الطريقة

1. المثلث JAD: الزاوية \(\angle DAJ\) هي \(\angle DAB\) وهي 90 درجة لأن ABCD مستطيل.

2. إثبات أن B منتصف [AJ]:

  • في المثلثين JBI و CDI: \(\angle BJI = \angle CDI\) (زاويتان متبادلتان داخلياً لأن \((AJ) // (DC)\)). \(\angle JIB = \angle DIC\) (متقابلتان بالرأس). \(BI = IC\) (معطى).
  • إذن المثلثان متطابقان. نستنتج أن \(JB=DC\). وبما أن \(DC=AB\)، فإن \(JB=AB\). إذن B منتصف [AJ].

3. حساب الأطوال: من التطابق، \(JI=ID\). احسب DI ببيتاغور في المثلث DCI. ثم احسب DJ. احسب AJ.

✅ الحل الكامل

1. برهان أن JAD قائم:

بما أن ABCD مستطيل، فإن \((AD) \perp (AB)\). وبما أن J تقع على المستقيم (AB)، فإن \((AD) \perp (AJ)\). إذن المثلث JAD قائم الزاوية في A.

3. برهان أن B منتصف [AJ]:

نقارن المثلثين JBI و CDI:

  • \(BI = IC\) (لأن I منتصف [BC]).
  • \(\angle JBI = \angle DCI = 90^\circ\) (زوايا قائمة).
  • \(\angle BIJ = \angle CID\) (متقابلتان بالرأس).

إذن، المثلثان JBI و CDI متطابقان (حسب حالة زاوية-ضلع-زاوية). من التطابق نستنتج أن: \(JB = CD\). وبما أن ABCD مستطيل، فإن \(CD = AB\). إذن \(JB = AB\). وبما أن B تقع بين A و J، فإن B هي منتصف [AJ].

2. حساب AJ و DJ:

لدينا \(AJ = AB + BJ = AB + CD = 8 + 8 = 16\) cm.

في المثلث JAD القائم في A، حسب بيتاغور:

\[DJ^2 = JA^2 + AD^2 = 16^2 + 6^2 = 256 + 36 = 292\]
\[DJ = \sqrt{292} = \sqrt{4 \times 73} = 2\sqrt{73}\]