تصحيح التمرين 4

1. تبيين أن \(\frac{IA}{IC} = \frac{2}{3}\):
   في شبه المنحرف ABCD، القاعدتان \((AB)\) و \((DC)\) متوازيتان. نعتبر المثلثين IAB و ICD. بما أن \((AB) \parallel (DC)\)، فإن حسب نظرية طاليس في المثلثين المتقابلين بالرأس: \[ \frac{IA}{IC} = \frac{IB}{ID} = \frac{AB}{DC} \] نعوض بالقيم المعطاة: \(AB=4\) و \(DC=6\). \[ \frac{IA}{IC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
2. تبيين أن \(\frac{AC}{AI} = \frac{5}{2}\) و \(\frac{6}{IH} = \frac{5}{2}\):
   - من النتيجة السابقة، \(\frac{IA}{IC} = \frac{2}{3}\). هذا يعني أن \(IC = \frac{3}{2}IA\). بما أن I بين A و C، فإن \(AC = IA + IC = IA + \frac{3}{2}IA = (\frac{2}{2}+\frac{3}{2})IA = \frac{5}{2}IA\). بقسمة الطرفين على \(IA\)، نحصل على: \[ \frac{AC}{AI} = \frac{5}{2} \] - لدينا H المسقط العمودي لـ I على (AD)، إذن \((HI) \perp (AD)\). وبما أن \((DC) \perp (AD)\)، فإن \((HI) \parallel (DC)\). نطبق نظرية طاليس في المثلث ADC مع المستقيمين المتوازيين (HI) و (DC): \[ \frac{AI}{AC} = \frac{HI}{DC} \] نعلم أن \(\frac{AC}{AI} = \frac{5}{2}\)، إذن مقلوبها \(\frac{AI}{AC} = \frac{2}{5}\). نعوض في علاقة طاليس: \(\frac{2}{5} = \frac{HI}{6}\). نستنتج أن \(HI = \frac{2 \times 6}{5} = \frac{12}{5}\). الآن، نحسب قيمة \(\frac{6}{IH}\): \[ \frac{6}{IH} = \frac{6}{\frac{12}{5}} = 6 \times \frac{5}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} \] وهو المطلوب.
3. هل النقطة I تنتمي للدائرة \(\mathcal{C}\):
   الدائرة \(\mathcal{C}\) قطرها \([AD]\). لكي تنتمي I للدائرة، يجب أن يكون المثلث AID قائم الزاوية في I. لنتحقق من ذلك باستخدام نظرية فيتاغورس العكسية: هل \(AI^2 + ID^2 = AD^2\)؟ - \(AD^2 = (4,8)^2 = 23,04\). - نحسب \(AI\): في المثلث ADC القائم في D، \(AC^2 = AD^2 + DC^2 = (4,8)^2 + 6^2 = 23,04 + 36 = 59,04\). لدينا \(\frac{AI}{AC} = \frac{2}{5} \implies AI = \frac{2}{5}AC\). إذن \(AI^2 = (\frac{2}{5})^2 AC^2 = \frac{4}{25} \times 59,04 = 9,4464\). - نحسب \(ID\): في المثلث ABD القائم في A، \(DB^2 = AD^2 + AB^2 = (4,8)^2 + 4^2 = 23,04 + 16 = 39,04\). لدينا \(\frac{IB}{ID} = \frac{2}{3} \implies \frac{ID}{DB} = \frac{3}{5} \implies ID = \frac{3}{5}DB\). إذن \(ID^2 = (\frac{3}{5})^2 DB^2 = \frac{9}{25} \times 39,04 = 14,0544\). - نجمع: \(AI^2 + ID^2 = 9,4464 + 14,0544 = 23,5008\). - نقارن: \(23,5008 \neq 23,04\). بما أن \(AI^2 + ID^2 \neq AD^2\)، فالمثلث AID ليس قائمًا في I، وبالتالي النقطة I لا تنتمي إلى الدائرة \(\mathcal{C}\).

تصحيح التمرين 5

1. حساب AG:
   المثلث ADG قائم في D. حسب نظرية فيتاغورس: \[ AG^2 = AD^2 + DG^2 = (2\sqrt{6})^2 + 4^2 = (4 \times 6) + 16 = 24 + 16 = 40 \] \[ AG = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]
2. الرباعي AGFE والرباعي GEFH:
   - تبيين أن AGFE معين: لدينا I منتصف \([AF]\) (معطى) و E مناظرة G بالنسبة لـ I، أي I منتصف \([GE]\). إذن الرباعي AGFE له قطران يتقاطعان في منتصفهما، فهو متوازي أضلاع. نقارن طولي ضلعين متجاورين: \(AG = 2\sqrt{10}\) (من السؤال 1) و \(GF = 2\sqrt{10}\) (معطى). بما أن \(AG=GF\)، فإن متوازي الأضلاع AGFE هو معين.
   - تبيين أن GEFH متوازي أضلاع واستنتاج منتصف [AH]:
   ملاحظة وتحليل: يوجد خلل في هذا الجزء من السؤال.
   لدينا \((HF)\) هو المستقيم العمودي على \((AF)\) في F. وفي المعين AGFE، القطران متعامدان، أي \((GE) \perp (AF)\). بما أن \((HF) \perp (AF)\) و \((GE) \perp (AF)\)، فهذا يثبت أن المستقيمين \((HF)\) و \((GE)\) متوازيان. لكي يكون GEFH متوازي أضلاع، يجب أن نثبت أن \((GH) \parallel (EF)\)، ولكن لا توجد معطيات كافية لإثبات ذلك. تعريف النقطة H كتقاطع \((BG)\) مع العمودي على \((AF)\) لا يوفر علاقة توازي بين \((GH)\) و \((EF)\). لا يمكن إثبات أن GEFH متوازي أضلاع ولا استنتاج شيء حول منتصف [AH] بالمعطيات الحالية.
3. أ- تبيين أن المثلث BFG قائم الزاوية:
   المعطيات الجديدة هي: \(BF=2\sqrt{15}\) و \(BG=10\). ولدينا \(GF=2\sqrt{10}\). نحسب مربعات الأطوال: \[ BF^2 = (2\sqrt{15})^2 = 4 \times 15 = 60 \] \[ GF^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4 \times 10 = 40 \] \[ BG^2 = 10^2 = 100 \] نلاحظ أن \(BF^2 + GF^2 = 60 + 40 = 100\). بما أن \(BF^2 + GF^2 = BG^2\)، فإنه حسب نظرية فيتاغورس العكسية، المثلث BFG قائم الزاوية في F.
   ب- و ج-: لا يمكن حل هذين السؤالين لأن النقطة B غير محددة بدقة على الشعاع \([AG)\). كذلك، تعريف النقطة H يعتمد على B، وتعريف L يعتمد على H و K (التي لم تُعرّف). تعريف C يعتمد على B. إذن بقية المسألة تعتمد على معطيات ناقصة.