سلسلة تمارين حول رباعيات الأضلاع

ص. 85
تمرين عدد 1

(وحدة الطول هي الصم)

  1. ليكن \(ABC\) مثلث حيث \(AC = 4\sqrt{3}\) و \(BC = 8\) و \(AB = 4\). )
    1. بيّن أن \(ABC\) قائم.
    2. انجز الرسم.
    1. ابن الدائرة \(\mathcal{C}\) التي قطرها \([AB]\) تقطع \([BC]\) في \(E\). بيّن أن \(EAB\) قائم.
    2. بيّن أن \(AE = 2\sqrt{3}\).
    3. لتكن \(O\) منتصف \([BC]\). بيّن أن \(OAB\) متقايس الأضلاع واستنتج \(EB\).
    1. بيّن أن \(H\) منتصف \([AC]\) وأن \(OH = 2\).
    2. عين النقطة \(K\) على \([OH]\) حيث \(HK=6\). بيّن أن \(CK = 4\sqrt{3}\).
    3. استنتج أن \(OCK\) قائم.
  4. لتكن \(F\) منتصف \([CK]\). بيّن أن \(AKFE\) متوازي أضلاع.
  5. لتكن \(G\) مناظرة \(K\) بالنسبة إلى \(H\). احسب \(OG\) ثم استنتج أن \(AOGB\) معين.
ص. 86
تمرين عدد 3

\(ABC\) مثلث حيث \(AC=3\sqrt{5}\) و \(AB=9\) و \(BC\).

  1. بيّن أن المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) ثم انجز الرسم.
  2. عين \(H\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\). بيّن أن \(AH=\dots\), \(BH=\dots\), استنتج أن \(CH=5\).
  3. لتكن \(D\) النقطة من \((CA)\) حيث \(CD=9\) والدائرة \(\zeta\) التي قطرها \([CD]\) تقطع \([AB]\) في \(E\). بيّن أن \(AE = 3\sqrt{2}\) وتقطع \([BC]\) في \(I\). بيّن أن \(HI = 3\) واستنتج أن \(\frac{CH}{CA} = \frac{HI}{AD}\).
  4. المستقيمان \((BA)\) و \((DI)\) يتقاطعان في \(O\). ماذا تمثل \(O\) بالنسبة للمثلث \(BCD\)؟ استنتج أن \(C,O,J\) على استقامة واحدة.
  5. المستقيم الموازي لـ\((BC)\) والمار من \(A\) يقطع \((BD)\) في \(M\) و \((DI)\) في \(N\). بيّن أن \(AMBI\) هو متوازي أضلاع ثم استنتج طبيعة \(\triangle AMD\) وبيّن أن \(AHIN\) هو مستطيل.
  6. بيّن أن المستقيمات \((CI)\), \((AJ)\), \((NH)\) تتقاطع في نقطة واحدة.
تمرين عدد 4

\((O,I,J)\) معين متعامد في المستوي حيث \(OI=OJ=1\).

  1. عين النقاط \(A(1,4)\)، \(B(5,2)\)، \(C(-3,2)\)، \(D(1,2)\)، \(E(-1,2)\).
    1. بيّن أن \(E\) منتصف \([CD]\).
    2. استنتج أن \(ACD\) متقايس الضلعين.
    1. حدد إحداثيات \(B'\) بحيث يكون الرباعي \(ABCD\) (مع \(B'\) بدل \(B\)) متوازي أضلاع.
    2. حدد إحداثيات \(B''\) بحيث يكون الرباعي \(ACBD\) (مع \(B''\) بدل \(B\)) معينا. علل جوابك.