العلاقات القياسية في المثلث القائم (2)

الحل المفصل للتمرين 3

1) الرسم وحساب AC

• أ) نرسم مربعًا طول ضلعه 6cm. مركزه O هو نقطة تقاطع قطريه \([AC]\) و \([BD]\).
• ب) لحساب \(AC\)، نطبق مبرهنة فيثاغورس في المثلث \(ABC\) القائم في \(B\).
  \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72\).
  إذن، \(AC = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\).

2) أ) بيّن أن DI = 3√5

• نعتبر المثلث \(DCI\) القائم في \(C\).
  لدينا \(DC=6\). و \(I\) هي منتصف \([BC]\)، إذن \(CI = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
  بتطبيق مبرهنة فيثاغورس: \(DI^2 = DC^2 + CI^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45\).
  إذن، \(DI = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\).

2) ب) بيّن أن J مركز ثقل المثلث BCD

• في المثلث \(BCD\)، القطعة \([CO]\) هي موسط لأن \(O\) منتصف القطر \([BD]\).
  القطعة \([DI]\) هي موسط لأن \(I\) منتصف الضلع \([BC]\).
• \(J\) هي نقطة تقاطع \((AC)\) و \((DI)\). بما أن \(O \in (AC)\)، فإن \((AC)\) هو نفسه \((CO)\).
  إذن \(J\) هي نقطة تقاطع الموسطين \((CO)\) و \((DI)\).
• نقطة تلاقي الموسطات في مثلث هي مركز ثقله. إذن، \(J\) هي مركز ثقل المثلث \(BCD\).

2) ج) استنتج أن DJ = 2√5

• بما أن \(J\) هي مركز ثقل \(\triangle BCD\)، فإنها تقسم الموسط \([DI]\) بنسبة \(2:1\) من جهة الرأس \(D\).
• إذن، \(DJ = \frac{2}{3} DI\).
• \(DJ = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}\).

3) أ) بيّن أن المثلث KBI قائم الزاوية

• النقطة \(K\) تنتمي للدائرة التي قطرها \([BI]\).
• أي مثلث رؤوسه تنتمي لدائرة وأحد أضلاعه قطر في هذه الدائرة يكون مثلثًا قائمًا.
• إذن، المثلث \(KBI\) قائم الزاوية في \(K\). وبالتالي \((KB) \perp (KI)\).

3) ب) استنتج أن (KI) // (AC)

• في المربع، قطراه متعامدان. إذن \((AC) \perp (BD)\).
• أثبتنا في (3أ) أن \((KI) \perp (KB)\). بما أن \(K\) و \(B\) تنتميان إلى المستقيم \((BD)\)، فإن \((KI) \perp (BD)\).
• لدينا \((AC) \perp (BD)\) و \((KI) \perp (BD)\).
• مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان. إذن، \((KI) // (AC)\).

3) ج) بيّن أن K هي منتصف [BO]

• نعتبر المثلث \(BCO\). لدينا \(I\) منتصف \([BC]\).
• لدينا \((KI) // (AC)\) و \((OC)\) هو نفسه \((AC)\). إذن \((KI) // (OC)\).
• في المثلث \(BCO\)، المستقيم \((KI)\) يمر من منتصف الضلع \([BC]\) وهو \(I\)، ويوازي الضلع \((OC)\).
• حسب مبرهنة المنتصفين العكسية، فإن هذا المستقيم يقطع الضلع الثالث \([BO]\) في منتصفه.
• النقطة \(K\) هي نقطة تقاطع \((KI)\) و \((BO)\). إذن، \(K\) هي منتصف \([BO]\).

الحل المفصل للتمرين 4

1) أ) بيّن أن المثلث EFG قائم

• نطبق المبرهنة العكسية لفيثاغورس.
  \(EG^2 + FG^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
  \(EF^2 = 10^2 = 100\).
  بما أن \(EG^2 + FG^2 = EF^2\)، فإن المثلث \(EFG\) قائم في \(G\).

1) ب) ابن الدائرة ومركزها

• بما أن المثلث \(EFG\) قائم، فإن مركز دائرته المحيطة \(\mathcal{C}\) هو منتصف وتره \([EF]\).
  إذن، \(O\) هي منتصف \([EF]\).

2) أ) بيّن أن G منتصف [NF]

• \(\Delta\) هو المماس لـ \(\mathcal{C}\) في \(G\)، إذن \((OG) \perp \Delta\).
  \(H\) هو المسقط العمودي لـ \(E\) على \(\Delta\)، إذن \((EH) \perp \Delta\).
  إذن \((OG) // (EH)\) (عموديان على نفس المستقيم).
• في المثلث \(FNE\)، المستقيم \((OG)\) يمر من منتصف الضلع \([EF]\) وهو \(O\)، ويوازي الضلع \((EN)\) (لأن \((EN)\) هو نفسه \((EH)\)).
  حسب مبرهنة المنتصفين العكسية، فإنه يقطع الضلع الثالث \([FN]\) في منتصفه.
  نقطة التقاطع هي \(G\). إذن، \(G\) هي منتصف \([FN]\).

2) ب) استنتج أن المثلث EFN متقايس الضلعين

• في المثلث \(EFN\)، المستقيم \((EG)\) يمر من الرأس \(E\) ومنتصف الضلع المقابل \([FN]\). إذن \((EG)\) هو موسط.
• لدينا أيضاً \((EG) \perp (FG)\)، أي \((EG) \perp (FN)\). إذن \((EG)\) هو أيضاً ارتفاع.
• المثلث الذي يكون فيه الموسط هو نفسه الارتفاع يكون متقايس الضلعين.
  إذن، المثلث \(EFN\) متقايس الضلعين في \(E\). وبالتالي \(EN=EF=10\).

2) ج) احسب GH و EH

• في المثلث \(EFN\)، \((GN)\) هو الارتفاع المتعلق بالوتر \([EF]\).
  \(EG^2 = GN \cdot EN \implies 6^2 = GN \cdot 10 \implies GN=3.6\). (هذه علاقة مترية غير صحيحة هنا، \(EN\) ليس الوتر)
  الطريقة الصحيحة: في المثلث \(EFN\)، \(G\) منتصف \(FN\). إذن \(FG=GN=8\). \(FN=16\).
  نحسب \(EH\) و \(GH\) في \(\triangle EGN\) القائم في \(G\): \(EN^2=EG^2+GN^2=6^2+8^2=100\), \(EN=10\).
  لحساب الارتفاع \(GH\): \(GH \cdot EN = EG \cdot GN \implies GH \cdot 10 = 6 \cdot 8 \implies\) \(GH=4.8\).
  في \(\triangle EGH\) القائم في \(H\): \(EH^2=EG^2-GH^2 = 6^2-4.8^2=36-23.04=12.96\). \(EH=3.6\).

2) د) بيّن أن المثلث MNF قائم

• النقاط \(M, F, E\) تنتمي للدائرة \(\mathcal{C}\) و \([EF]\) قطرها. إذن المثلث \(EMF\) قائم في \(M\).
• لدينا النقاط \(E,H,M,N\) على استقامة واحدة. إذن الزاوية \(\angle FMN\) هي نفسها \(\angle FME\).
  بما أن \(\angle FME = 90^\circ\)، فإن المثلث \(MNF\) قائم في \(M\).

2) هـ) استنتج أن GM=8cm ثم احسب HM

• الرباعي \(OGME\) هو شبه منحرف متساوي الساقين لأن \((OG)//(EM)\) ورؤوسه على نفس الدائرة. إذن \(GM = OE = 5\). هذا يتناقض مع الحل.
  الحل يقول \(GM = GF = 8\). هذا يعني أن المثلث \(GFM\) متساوي الساقين. وهذا يحدث لأن \(G\) منتصف \([NF]\) و \(MNF\) قائم في \(M\). إذن \([GM]\) هو الموسط المتعلق بالوتر في \(\triangle MNF\)، إذن \(GM = \frac{NF}{2} = GF = 8\).
  في المثلث القائم \(HMG\)، \(HM^2 = GM^2 - GH^2 = 8^2 - (4.8)^2 = 64-23.04 = 40.96\). \(HM=\sqrt{40.96}=6.4\).

3) بيّن أن \(\frac{ET}{EG} = \frac{7}{9}\)

• في المثلث \(EHG\)، \(M \in (EH)\) و \(T \in (EG)\) و \((TM) // (HG)\)؟ لنر.
  لدينا \(EM = EH+HM = 3.6+6.4 = 10\). هذا يتناقض مع كون \(EN=10\). هناك خطأ في الأرقام في الحل.
  لنتبع منطق الحل المعطى في الصورة مباشرة:
  بتطبيق طاليس في المثلث \(EHG\) مع \((TM)//(HG)\) (هذه الفرضية ليست مبرهنة): \(\frac{ET}{EG} = \frac{EM}{EH} = \frac{TM}{HG}\).
  من الحل: \(EM=3.6\) و \(EH=5\). و \(HM=3.2\).
  هذه الأرقام مختلفة تماماً عن حساباتنا. إذا اعتمدنا أرقام الحل، \(\frac{ET}{EG} = \frac{3.6}{5} = \frac{18}{25}\). وهذا أيضاً لا يتطابق. هناك تناقضات متعددة في نص الحل.

الحل المفصل للتمرين 5

1) بناء C وحساب AC

• بما أن \(C\) تنتمي للمستقيم \(\Delta\) العمودي على \((AB)\) في \(A\)، فإن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\).
  بتطبيق مبرهنة فيثاغورس: \(BC^2 = AB^2+AC^2 \implies 6^2 = 3^2+AC^2 \implies 36=9+AC^2\).
  \(AC^2 = 27\)، إذن \(AC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).

2) أ) بيّن أن المثلث BDC قائم

• نطبق المبرهنة العكسية لفيثاغورس.
  \(BD^2 + CD^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = (9\times 2) + (9\times 2) = 18 + 18 = 36\).
  \(BC^2 = 6^2 = 36\).
  بما أن \(BD^2+CD^2 = BC^2\)، فإن المثلث \(BDC\) قائم في \(D\).

2) ب) استنتج أن النقاط A, B, C, D تنتمي لنفس الدائرة

• لدينا المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، إذن النقاط \(A,B,C\) تنتمي للدائرة التي قطرها \([BC]\).
• لدينا المثلث \(BDC\) قائم في \(D\)، إذن النقاط \(D,B,C\) تنتمي للدائرة التي قطرها \([BC]\).
• إذن النقاط الأربع تنتمي لنفس الدائرة \(\mathcal{C}\) التي قطرها \([BC]\).
  مركزها هو \(O\) منتصف \([BC]\).
  شعاعها هو \(R = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3\).

2) ج) احسب AH

• \(H\) هو المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\). \([AH]\) هو الارتفاع الصادر من \(A\) في المثلث القائم \(ABC\).
  باستخدام العلاقة: \(AH \cdot BC = AB \cdot AC\).
• \(AH \cdot 6 = 3 \cdot 3\sqrt{3} \implies AH = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\).

3) حدد طبيعة الرباعي HAOD ثم أحسب مساحته

• لدينا \((AH) \perp (BC)\) (أي \((HO)\)) و \((OD)\) هو موسط في \(\triangle BDC\). بما أن \(\triangle BDC\) متساوي الساقين في \(D\)، فإن الموسط \([OD]\) هو أيضاً ارتفاع. إذن \((OD) \perp (BC)\).
• بما أن \((AH) \perp (HO)\) و \((OD) \perp (HO)\)، فإن \((AH) // (OD)\).
• الرباعي \(HAOD\) له ضلعان متقابلان متوازيان، إذن هو شبه منحرف. وبما أن \(\angle AHO = 90^\circ\)، فهو شبه منحرف قائم.
• لحساب المساحة: مساحة شبه المنحرف = \(\frac{(\text{القاعدة الكبرى} + \text{القاعدة الصغرى}) \times \text{الارتفاع}}{2}\).
  القاعدتان هما \([AH]\) و \([OD]\). الارتفاع هو \([HO]\).
  \(AH = \frac{3\sqrt{3}}{2}\).
  \(OD=3\) (شعاع الدائرة).
  في المثلث القائم \(ABO\)، \(O\) منتصف \(BC\). \(AO\) موسط. \(AO = \frac{BC}{2}=3\).
  في المثلث القائم \(AHO\): \(HO^2 = AO^2 - AH^2 = 3^2 - (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 = 9 - \frac{27}{4} = \frac{9}{4}\). إذن \(HO = \frac{3}{2}\).
  مساحة \(HAOD = \frac{(AH + OD) \times HO}{2} = \frac{(\frac{3\sqrt{3}}{2} + 3) \times \frac{3}{2}}{2} = \frac{\frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{9}{2}}{2} = \frac{9\sqrt{3}+18}{8}\).