📐 تمرين عدد 5 - الهندسة المستوية

دراسة هندسية شاملة للمربع والموسط العمودي

ليكن $ABCD$ مربع طول ضلعه $a$ حيث $a \in \mathbb{R}^*_+$

و $M \in [AB]$ حيث $AM = x$ و $x \in [0, a[$.

الموسط العمودي لـ $[AM]$ يقطع $[AB]$ و $[AC]$ و $[DC]$ على التوالي في $I$ و $N$ و $E$.

  1. أ) بيّن أن $ADEI$ مستطيل
  2. ب) بيّن أن $DN^2 = \frac{x^2}{2} - ax + a^2$
  1. أ) بيّن أن $x^2 + 2ax - 2a^2 = (x + a)^2 - 3a^2$
  2. ب) حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $x^2 + 2ax - 2a^2 = 0$
  1. أ) أوجد $x$ إذا علمت أن $DN = AM$
  2. ب) لتكن $F$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $E$. بيّن أن ($DN = AM$ يعني $\angle EDN = 60°$)
  3. ج) أنجز الرسم إذا علمت أن $AM = DN$

🎯 التصحيح المفصل (بطريقة الهندسة المستوية)

📋 المعطيات الأولية:
  • لدينا $ABCD$ مربع طول ضلعه $a$. إذن $(AB) \parallel (DC)$ و $(AD) \perp (AB)$.
  • المستقيم $(IE)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AM]$. إذن $I$ هي منتصف $[AM]$ والمستقيم $(IE) \perp (AM)$، وبالتالي $(IE) \perp (AB)$.
  • بما أن $I$ منتصف $[AM]$، فإن $AI = IM = \frac{x}{2}$.

1) أ) بيّن أن ADEI مستطيل

لكي نثبت أن الرباعي $ADEI$ مستطيل، يكفي أن نثبت أن له ثلاث زوايا قائمة.

1. الزاوية $\angle DAI$: الزاوية $\angle DAI$ هي نفسها زاوية المربع $\angle DAB$.
إذن، قياس الزاوية $\angle DAI = 90°$
2. الزاوية $\angle ADE$: المستقيم $(AD) \perp (DC)$ لأن $ABCD$ مربع. وبما أن النقطة $E \in (DC)$، فإن المستقيم $(DE)$ هو نفسه $(DC)$.
إذن، $(AD) \perp (DE)$، مما يعني أن $\angle ADE = 90°$
3. الزاوية $\angle EIA$: من تعريف الموسط العمودي، $(IE) \perp (AM)$. بما أن $I$ و $A$ تنتميان إلى $(AB)$، فإن $(AI)$ هو نفسه $(AB)$.
إذن $(IE) \perp (AI)$، مما يعني أن $\angle EIA = 90°$

بما أن للرباعي $ADEI$ ثلاث زوايا قائمة، فهو إذن مستطيل.

1) ب) بيّن أن $DN^2 = \frac{x^2}{2} - ax + a^2$

لإيجاد الطول $DN$، سنستخدم مبرهنة فيثاغورس. للقيام بذلك، سنبني مثلثًا قائم الزاوية.

ليكن $H$ المسقط العمودي للنقطة $N$ على المستقيم $(DC)$. المثلث $DNH$ هو مثلث قائم الزاوية في $H$.

بتطبيق مبرهنة فيثاغورس: $DN^2 = DH^2 + NH^2$
🔹 حساب $NH$: الزاوية $\angle IAN$ هي نفسها الزاوية $\angle CAB$ التي تساوي $45°$ (لأن $[AC]$ قطر المربع). المثلث $AIN$ قائم الزاوية في $I$. إذن هو مثلث قائم ومتساوي الساقين.
وبالتالي، $IN = AI = \frac{x}{2}$
المسافة $NH$ تساوي المسافة العمودية بين $N$ والمستقيم $(DC)$.
$NH = a - \frac{x}{2}$
🔹 حساب $DH$: المسافة $DH$ تساوي المسافة الأفقية بين $D$ و $H$. بما أن $H$ هو المسقط العمودي لـ $N$، فإن $DH$ تساوي المسافة الأفقية من $D$ إلى الخط العمودي المار بـ $N$.
$DH = AI = \frac{x}{2}$
🔹 تطبيق فيثاغورس:
$DN^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(a - \frac{x}{2}\right)^2$
$DN^2 = \frac{x^2}{4} + \left(a^2 - 2a \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4}\right)$
$DN^2 = \frac{x^2}{4} + a^2 - ax + \frac{x^2}{4}$
$DN^2 = \frac{x^2}{2} - ax + a^2$

2) أسئلة جبرية

أ) بيّن أن $x^2 + 2ax - 2a^2 = (x + a)^2 - 3a^2$:

بنشر الطرف الأيمن:

$(x + a)^2 - 3a^2 = (x^2 + 2ax + a^2) - 3a^2 = x^2 + 2ax - 2a^2$

وهو بالفعل الطرف الأيسر. ✅

ب) حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $x^2 + 2ax - 2a^2 = 0$:

هذه معادلة من الدرجة الثانية. نحسب المميز:

$\Delta = (2a)^2 - 4(1)(-2a^2) = 4a^2 + 8a^2 = 12a^2$

الحلول هي:

$x = \frac{-2a \pm \sqrt{12a^2}}{2} = \frac{-2a \pm 2a\sqrt{3}}{2}$
$x_1 = a(-1 - \sqrt{3})$ و $x_2 = a(\sqrt{3} - 1)$

3) أ) أوجد x إذا علمت أن DN = AM

الشرط $DN = AM$ يكافئ $DN^2 = AM^2$.

نعلم أن $AM = x$ و $DN^2 = \frac{x^2}{2} - ax + a^2$. تصبح المعادلة:

$\frac{x^2}{2} - ax + a^2 = x^2$

بضرب الطرفين في 2:

$x^2 - 2ax + 2a^2 = 2x^2$

بإعادة ترتيب الحدود:

$x^2 + 2ax - 2a^2 = 0$

هذه هي نفس المعادلة التي تم حلها في السؤال 2.ب). الحلان هما $x = a(-1 - \sqrt{3})$ و $x = a(\sqrt{3} - 1)$.

حسب نص التمرين، $x \in [0, a[$. الحل $a(-1 - \sqrt{3})$ سالب، إذن هو حل مرفوض.

بما أن $1 < \sqrt{3} < 2$، فإن $0 < \sqrt{3} - 1 < 1$، وهذا يقتضي أن $0 < a(\sqrt{3} - 1) < a$. إذن هذا الحل مقبول.
إذن، الحل الوحيد هو $x = a(\sqrt{3} - 1)$

3) ب) بيّن أن (DN = AM يعني أن قياس الزاوية ∠EDN = 60°)

نفترض أن $DN = AM$. هذا يعني أن $x = a(\sqrt{3} - 1)$.

لنعتبر المثلث $EDN$.

تحليل المثلث $EDN$:
  • المستقيم $(DE)$ جزء من المستقيم $(DC)$.
  • المستقيم $(EN)$ جزء من الموسط العمودي $(IE)$.
  • نعلم أن $(DC) \parallel (AB)$ وأن الموسط العمودي $(IE) \perp (AB)$.
  • وبالتالي، فإن $(IE) \perp (DC)$.
هذا يعني أن الزاوية في $E$، أي $\angle DEN = 90°$

إذن المثلث $EDN$ هو مثلث قائم الزاوية في $E$.

حساب أطوال أضلاع المثلث القائم:
  • الوتر $DN$: الشرط هو $DN = AM = x$. إذن $DN = x$.
  • الضلع $DE$: بما أن $ADEI$ مستطيل، فإن $DE = AI = \frac{x}{2}$.

نحن الآن في المثلث $EDN$ القائم في $E$، ووجدنا أن الضلع $DE$ (أحد ضلعي الزاوية القائمة) يساوي نصف طول الوتر $DN$ (لأن $DE = \frac{x}{2}$ و $DN = x$).

الخاصية الهندسية المهمة:

في المثلث القائم، الخاصية التي تقول إن طول أحد ضلعي الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر لا تتحقق إلا إذا كانت الزاوية المقابلة لهذا الضلع تساوي $30°$.

الزاوية المقابلة للضلع $[DE]$ هي الزاوية $\angle DNE$. إذن، $\angle DNE = 30°$

مجموع زوايا المثلث $EDN$ هو $180°$. إذن:

$\angle EDN = 180° - 90° - 30° = 60°$

🎉 تم إنجاز التصحيح بنجاح! 🎉