ABC مثلث قائم الزاوية في A بحيث AB = 3 cm و AC = 4 cm، و H المسقط العمودي لـ A على (BC).
1) أحسب BH و CH.
2) المستقيم المارّ من C والعمودي على (AC) يقطع (AH) في E. أحسب EC، وعيّن النقطة P منتصف [CE] و I منتصف [EH]. بيّن أنّ IPCH شبه منحرف ثمّ أحسب مساحته.
3) المستقيمان (HP) و (CI) يتقاطعان في M. أحسب MH.
4) (IP) يقطع (AC) في N. بيّن أنّ (AP) و (NE) متعامدان.
الخطوة 1 : فيثاغور في ABC القائم في A يعطي BC. ثمّ العلاقة المتريّة AH·BC = AB·AC تعطي الارتفاع AH.
الخطوة 2 : فيثاغور في ABH القائم في H يعطي BH، و CH = BC − BH.
الخطوة 3 : مبرهنة طالس في المثلث ABH مع (EC) ∥ (AB) تعطي CE.
الخطوة 4 : مبرهنة المنتصفين في ECH : \(IP=\dfrac{CH}{2}\) و (IP) ∥ (CH) ⟹ IPCH شبه منحرف. المساحة \(=\dfrac{(CH+IP)\times IH}{2}\).
الخطوة 5 : [HP] و [CI] متوسطان ⟹ M مركز ثقل ECH ⟹ \(HM=\dfrac{2}{3}HP\).
الخطوة 6 : في المثلث AEN، [EC] و [NI] ارتفاعان يتقاطعان في P ⟹ P هو المركز القائم ⟹ (AP) هو الارتفاع الثالث ⟹ (AP) ⊥ (EN).
1) حساب BH و CH
ABC قائم في A، حسب نظرية فيثاغور :
\[BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=9+16=25=5^{2}\quad\Longrightarrow\quad BC=5\]
AH هو الارتفاع الصادر من A، إذن \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\) :
\[AH=\frac{3\times 4}{5}=2{,}4\]
المثلث ABH قائم في H، إذن \(AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}\) :
\[BH^{2}=9-5{,}76=3{,}24\quad\Longrightarrow\quad \boxed{BH=1{,}8}\]
\[\boxed{CH=BC-BH=5-1{,}8=3{,}2}\]
2) حساب EC ومساحة IPCH
في المثلث ABH لدينا (EC) ∥ (AB)، حسب مبرهنة طالس :
\[\frac{CE}{AB}=\frac{CH}{BH}\;\Longrightarrow\;\frac{CE}{3}=\frac{3{,}2}{1{,}8}\;\Longrightarrow\;\boxed{CE=3\times\frac{3{,}2}{1{,}8}=\frac{16}{3}}\]
في المثلث ECH لدينا P منتصف [EC] و I منتصف [EH]، حسب مبرهنة المنتصفين :
\[IP=\frac{CH}{2}=1{,}6\qquad\text{و}\qquad (IP)\parallel(CH)\]
ضلعان متوازيان، إذن IPCH شبه منحرف.
ECH قائم في H، إذن \(CE^{2}=EH^{2}+CH^{2}\) :
\[EH=\sqrt{\left(\frac{16}{3}\right)^{2}-3{,}2^{2}}=\frac{64}{15} \qquad\Longrightarrow\qquad IH=\frac{EH}{2}=\frac{32}{15}\]
\[S_{IPCH}=\frac{(CH+IP)\times IH}{2} =\frac{(3{,}2+1{,}6)\times\frac{32}{15}}{2}=\boxed{\frac{128}{25}}\]
3) حساب MH
في المثلث ECH : P منتصف [EC] إذن [HP] متوسط، و I منتصف [EH] إذن [CI] متوسط.
يتقاطعان في M، إذن M هي مركز ثقل المثلث ECH، ومنه \(HM=\dfrac{2}{3}HP\).
وبما أنّ ECH قائم في H و P منتصف وتره، فإنّ \(HP=\dfrac{EC}{2}\) :
\[HM=\frac{2}{3}\times\frac{HP}{1}=\frac{2}{3}\times\frac{EC}{2}=\frac{2}{3}\times\frac{8}{3}=\boxed{\frac{16}{9}}\]
4) (AP) ⊥ (NE)
(CE) ⊥ (AC) إذن [EC] هو الارتفاع الصادر من E في المثلث AEN.
(IP) ∥ (CH) و (CH) ⊥ (AE)، إذن [NI] هو الارتفاع الصادر من N.
[IN] و [EC] يتقاطعان في P، إذن P هو المركز القائم للمثلث AEN.
إذن (AP) هو المستقيم الحامل للارتفاع الصادر من A، ومنه (AP) ⊥ (EN).