1
احسب العبارات التالية:
\[K = \frac{(-2)^7 \times (-6)^5 \times (-3)^{10}}{18^4 \times (-12)^3}\]
\[L = \left[2(\sqrt{3})^{-1} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right]^2\]
💡 مساعدة:
للعبارة K: فكك الأعداد إلى عوامل أولية: \(6 = 2 \times 3\)، \(12 = 2^2 \times 3\)، \(18 = 2 \times 3^2\)
للعبارة L: استعمل \(a^{-1} = \frac{1}{a}\) وبسّط العبارة داخل القوس قبل الرفع إلى القوة 2
📋 طريقة الحل:
خطوة 1: حلل الأعداد إلى عوامل أولية
خطوة 2: طبق خاصيات القوى: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) و \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
خطوة 3: بسّط الكسور واحسب القيمة النهائية
✅ الحل الكامل:
حساب K:
\[K = \frac{(-2)^7 \times (-6)^5 \times (-3)^{10}}{18^4 \times (-12)^3}\]
\[= \frac{(-2)^7 \times ((-1) \times 2 \times 3)^5 \times (-3)^{10}}{(2 \times 3^2)^4 \times ((-1) \times 2^2 \times 3)^3}\]
\[= \frac{(-1)^7 \times 2^7 \times (-1)^5 \times 2^5 \times 3^5 \times (-1)^{10} \times 3^{10}}{2^4 \times 3^8 \times (-1)^3 \times 2^6 \times 3^3}\]
\[= \frac{(-1)^{22} \times 2^{12} \times 3^{15}}{(-1)^3 \times 2^{10} \times 3^{11}}\]
\[= \frac{2^{12} \times 3^{15}}{-2^{10} \times 3^{11}} = -2^2 \times 3^4\]
\[K = -324\]
حساب L:
\[L = \left[2 \times \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right]^2\]
\[= \left[\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right]^2\]
\[= \left[\frac{4 - 3}{2\sqrt{3}}\right]^2 = \left[\frac{1}{2\sqrt{3}}\right]^2\]
\[= \frac{1}{4 \times 3} = \frac{1}{12}\]
\[L = \frac{1}{12}\]
2
احسب العبارات التالية:
\[M = (-2)^{-3} + \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^{-2}\]
\[N = (\sqrt{3})^{-1} \times \sqrt{21} - \frac{(\sqrt{7})^{-2}}{(\sqrt{7})^{-5}}\]
💡 مساعدة:
استعمل: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) و \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
تذكر: \(\sqrt{21} = \sqrt{3 \times 7}\)
📋 طريقة الحل:
خطوة 1: حوّل القوى السالبة إلى كسور
خطوة 2: بسّط كل عبارة على حدة
خطوة 3: اجمع أو اطرح النتائج
✅ الحل الكامل:
حساب M:
\[M = \frac{1}{(-2)^3} + \left(\frac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2\]
\[= \frac{1}{-8} + \frac{9}{4 \times 2}\]
\[= -\frac{1}{8} + \frac{9}{8} = \frac{8}{8} = 1\]
\[M = 1\]
حساب N:
\[N = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{21} - \frac{(\sqrt{7})^{-2}}{(\sqrt{7})^{-5}}\]
\[= \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}} - (\sqrt{7})^{-2-(-5)}\]
\[= \sqrt{\frac{21}{3}} - (\sqrt{7})^3\]
\[= \sqrt{7} - 7\sqrt{7} = -6\sqrt{7}\]
\[N = -6\sqrt{7}\]
3
احسب العبارات التالية:
\[O = 9 \times \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} - 4\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} \times 27^{-1}\]
\[P = \left[(-\sqrt{5})^{-2}\right]^3 \times \left[\left(\frac{1}{2\sqrt{5}}\right)^{-2} - (3\sqrt{5})^2\right]\]
💡 مساعدة:
استعمل: \((a^m)^n = a^{mn}\) و \(27 = 3^3\)
انتبه للإشارات عند رفع أعداد سالبة لقوى زوجية
📋 طريقة الحل:
خطوة 1: طبق قانون \((a^m)^n = a^{mn}\)
خطوة 2: حوّل القوى السالبة
خطوة 3: بسّط واحسب
✅ الحل الكامل:
حساب O:
\[O = 9 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4 \times \left(\frac{3}{2}\right)^3 \times \frac{1}{27}\]
\[= 9 \times \frac{4}{9} - 4 \times \frac{27}{8} \times \frac{1}{27}\]
\[= 4 - \frac{4}{8} = 4 - \frac{1}{2}\]
\[O = \frac{7}{2}\]
حساب P:
\[P = (\sqrt{5})^{-6} \times \left[(2\sqrt{5})^2 - 45\right]\]
\[= \frac{1}{5^3} \times [20 - 45]\]
\[= \frac{1}{125} \times (-25) = -\frac{25}{125}\]
\[P = -\frac{1}{5}\]
4
احسب العبارات التالية:
\[Q = \left(\frac{5}{2}\right)^{-2} + 2 \times \left(\frac{5}{3}\right)^{-1} \times 3^{-1} - 5^{-2}\]
\[R = (2\sqrt{2} - \sqrt{7})^{153} \times (2\sqrt{2} + \sqrt{7})^{154}\]
💡 مساعدة:
للعبارة Q: حوّل القوى السالبة ثم وحّد المقامات
للعبارة R: استعمل \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) و \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
📋 طريقة الحل:
Q: حوّل القوى السالبة، بسّط الضرب، ثم وحّد المقامات
R: أعد كتابة كـ \((2\sqrt{2} - \sqrt{7})^{153} \times (2\sqrt{2} + \sqrt{7})^{153} \times (2\sqrt{2} + \sqrt{7})\)
✅ الحل الكامل:
حساب Q:
\[Q = \frac{4}{25} + 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{3} - \frac{1}{25}\]
\[= \frac{4}{25} + \frac{2}{5} - \frac{1}{25}\]
\[= \frac{4}{25} + \frac{10}{25} - \frac{1}{25} = \frac{13}{25}\]
\[Q = \frac{13}{25}\]
حساب R:
\[R = [(2\sqrt{2} - \sqrt{7})(2\sqrt{2} + \sqrt{7})]^{153} \times (2\sqrt{2} + \sqrt{7})\]
\[= [(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2]^{153} \times (2\sqrt{2} + \sqrt{7})\]
\[= [8 - 7]^{153} \times (2\sqrt{2} + \sqrt{7})\]
\[= 1 \times (2\sqrt{2} + \sqrt{7})\]
\[R = 2\sqrt{2} + \sqrt{7}\]
5
احسب العبارات التالية:
\[S = -3 + 3(\sqrt{2})^3 + (\sqrt{3})^2 - (-\sqrt{3})^3\]
\[T = 5^{-1} \times (\sqrt{3})^2 + 10^{-1} - (\sqrt{17})^0\]
💡 مساعدة:
تذكر: \(a^0 = 1\) لأي \(a \neq 0\)
\((\sqrt{a})^2 = a\) و \((\sqrt{a})^3 = a\sqrt{a}\)
📋 طريقة الحل:
خطوة 1: احسب قيمة كل قوة على حدة
خطوة 2: انتبه للإشارات
خطوة 3: اجمع النتائج
✅ الحل الكامل:
حساب S:
\[S = -3 + 3 \times 2\sqrt{2} + 3 - (-1)^3 \times (\sqrt{3})^3\]
\[= -3 + 6\sqrt{2} + 3 - (-1) \times 3\sqrt{3}\]
\[= 6\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\]
\[S = 6\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\]
حساب T:
\[T = \frac{1}{5} \times 3 + \frac{1}{10} - 1\]
\[= \frac{3}{5} + \frac{1}{10} - 1\]
\[= \frac{6}{10} + \frac{1}{10} - \frac{10}{10} = -\frac{3}{10}\]
\[T = -\frac{3}{10}\]
6
احسب العبارات التالية (النوطاسيون العلمي):
\[A = 7 \times 10^{12} \times 4 \times \frac{10^5}{2} \times 10^{-4}\]
\[B = \frac{25 \times 10^2 \times 121}{11 \times 750 \times 3}\]
\[C = \frac{3 \times 10^{-2}}{1,5 \times 10^{-4}} - 2 \times 10^2\]
💡 مساعدة:
استعمل: \(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\) و \(\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}\)
النوطاسيون العلمي: \(a \times 10^n\) حيث \(1 \leq a < 10\)
📋 طريقة الحل:
خطوة 1: بسّط الأعداد العادية
خطوة 2: طبق خاصيات القوى العشرية
خطوة 3: اكتب النتيجة بالنوطاسيون العلمي
✅ الحل الكامل:
حساب A:
\[A = 7 \times 4 \times \frac{1}{2} \times 10^{12+5-4}\]
\[= 14 \times 10^{13} = 1,4 \times 10^{14}\]
\[A = 1,4 \times 10^{14}\]
حساب B:
\[B = \frac{25 \times 121 \times 10^2}{11 \times 750 \times 3}\]
\[= \frac{25 \times 11 \times 11 \times 10^2}{11 \times 25 \times 30 \times 3}\]
\[= \frac{11 \times 10^2}{90} = \frac{1100}{90} = \frac{110}{9}\]
\[B = \frac{110}{9} \approx 1,22 \times 10^1\]
حساب C:
\[C = \frac{3}{1,5} \times 10^{-2-(-4)} - 2 \times 10^2\]
\[= 2 \times 10^2 - 2 \times 10^2 = 0\]
\[C = 0\]
7
احسب العبارات التالية:
\[D = \frac{3 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-2}}{8 \times 10^4}\]
\[E = \frac{3 \times 10^2 \times 1,2 \times 10^{-5}}{15 \times 10^2}\]
\[F = 10^{-4} \times \frac{10^5}{10^{-1}} \times (10^{-2})^{-1}\]
💡 مساعدة:
استعمل: \((10^a)^{-1} = 10^{-a}\)
بسّط الأعداد ثم القوى العشرية
📋 طريقة الحل:
خطوة 1: طبق خاصيات القوى
خطوة 2: بسّط الكسور
خطوة 3: اكتب بالنوطاسيون العلمي
✅ الحل الكامل:
حساب D:
\[D = \frac{3 \times 2}{8} \times 10^{5-2-4}\]
\[= \frac{6}{8} \times 10^{-1} = 0,75 \times 10^{-1}\]
\[= 7,5 \times 10^{-2}\]
\[D = 7,5 \times 10^{-2}\]
حساب E:
\[E = \frac{3 \times 1,2}{15} \times 10^{2-5-2}\]
\[= \frac{3,6}{15} \times 10^{-5}\]
\[= 0,24 \times 10^{-5} = 2,4 \times 10^{-6}\]
\[E = 2,4 \times 10^{-6}\]
حساب F:
\[F = 10^{-4} \times 10^{5-(-1)} \times 10^2\]
\[= 10^{-4+6+2} = 10^4\]
\[F = 10^4\]
8
احسب العبارات التالية:
\[G = \frac{(0,01)^3 \times \left(\frac{1}{10}\right)^{-2} \times 2^2}{5^{-2} \times 10^{-4}}\]
\[H = \frac{(0,001)^{-4} \times 10^{-6}}{10^7 \times (1000)^{-3}}\]
💡 مساعدة:
\(0,01 = 10^{-2}\)، \(0,001 = 10^{-3}\)، \(1000 = 10^3\)
📋 طريقة الحل:
خطوة 1: حوّل الأعداد العشرية إلى قوى العشرة
خطوة 2: طبق خاصيات القوى
خطوة 3: بسّط واكتب بالنوطاسيون العلمي
✅ الحل الكامل:
حساب G:
\[G = \frac{(10^{-2})^3 \times 10^2 \times 4}{25 \times 10^{-4}}\]
\[= \frac{10^{-6} \times 10^2 \times 4}{25 \times 10^{-4}}\]
\[= \frac{4 \times 10^{-4}}{25 \times 10^{-4}} = \frac{4}{25}\]
\[G = 0,16 = 1,6 \times 10^{-1}\]
حساب H:
\[H = \frac{(10^{-3})^{-4} \times 10^{-6}}{10^7 \times (10^3)^{-3}}\]
\[= \frac{10^{12} \times 10^{-6}}{10^7 \times 10^{-9}}\]
\[= 10^{12-6-7+9} = 10^8\]
\[H = 10^8\]
9
احسب العبارات التالية:
\[I = \frac{5 \times 10^5 \times (2 \times 10^{-1})^3}{24 \times 10^2}\]
\[J = \frac{(0,001)^{-2} \times \left(\frac{1}{10000}\right)^4}{10^{-2} \times \left(\frac{1}{100}\right)^{-3}}\]
💡 مساعدة:
\(10000 = 10^4\)، \(100 = 10^2\)
استعمل \((a \times 10^n)^m = a^m \times 10^{nm}\)
📋 طريقة الحل:
خطوة 1: طبق القوى على الأقواس
خطوة 2: بسّط القوى العشرية
خطوة 3: اكتب بالنوطاسيون العلمي
✅ الحل الكامل:
حساب I:
\[I = \frac{5 \times 2^3 \times 10^5 \times 10^{-3}}{24 \times 10^2}\]
\[= \frac{5 \times 8 \times 10^2}{24 \times 10^2}\]
\[= \frac{40}{24} = \frac{5}{3}\]
\[I = \frac{5}{3} \approx 1,67\]
حساب J:
\[J = \frac{10^6 \times 10^{-16}}{10^{-2} \times 10^6}\]
\[= 10^{6-16+2-6} = 10^{-14}\]
\[J = 10^{-14}\]
10
احسب العبارات التالية:
\[K = \frac{\left(\frac{1}{10}\right)^{-3} \times 10^5}{\left(\frac{1}{10000}\right)^{41} \times 100^{-5}}\]
\[J = \frac{(0,001)^{-2} \times \left(\frac{1}{10000}\right)^4}{10^{-2} \times \left(\frac{1}{100}\right)^{-3}}\]
💡 مساعدة:
\(\frac{1}{10} = 10^{-1}\)، \(\frac{1}{10000} = 10^{-4}\)، \(100 = 10^2\)
📋 طريقة الحل:
خطوة 1: حوّل كل الكسور إلى قوى العشرة
خطوة 2: طبق خاصيات القوى
خطوة 3: بسّط الأدلة
✅ الحل الكامل:
حساب K:
\[K = \frac{10^3 \times 10^5}{10^{164} \times 10^{-10}}\]
\[= 10^{3+5-164+10} = 10^{-146}\]
\[K = 10^{-146}\]
حساب J:
\[J = \frac{10^6 \times 10^{-16}}{10^{-2} \times 10^6}\]
\[= 10^{6-16+2-6} = 10^{-14}\]
\[J = 10^{-14}\]
11
نعتبر العبارات التالية:
\[a = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \times \left(-\frac{3}{2}\right)^{-2} \quad ; \quad
b = \frac{3^{-3} + 3^{-3} + 3^{-3}}{(0,03)^2} \quad ; \quad
c = \frac{2^{-3} \times (\sqrt{2})^{18} \times (\sqrt{5})^6 \times (10^{-2})^3}{5^{-3}}\]
1) بيّن أن: \(a = \frac{2}{3}\) ; \(b = \left(\frac{10}{3}\right)^4\) ; \(c = 1\)
2) استنتج أن: \(\sqrt{a^{-4} \times b} = 25\)
💡 مساعدة:
للسؤال 1: بسّط كل عبارة على حدة باستعمال خاصيات القوى
للسؤال 2: استعمل النتائج من السؤال 1: \(a^{-4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^4\)
📋 طريقة الحل:
خطوة 1: احسب a بتحويل القوى السالبة
خطوة 2: احسب b بجمع البسط وتحويل 0,03 إلى كسر
خطوة 3: احسب c بتحويل الجذور إلى قوى وتبسيط
خطوة 4: استعمل النتائج في السؤال 2
✅ الحل الكامل:
1) حساب a:
\[a = \frac{3}{2} \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{3}{2} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}\]
حساب b:
\[b = \frac{3 \times 3^{-3}}{\left(\frac{3}{100}\right)^2} = \frac{3^{1-3}}{\frac{9}{10000}}\]
\[= 3^{-2} \times \frac{10000}{9} = \frac{1}{9} \times \frac{10000}{9} = \frac{10000}{81} = \left(\frac{100}{9}\right) = \left(\frac{10}{3}\right)^4\]
حساب c:
\[c = \frac{2^{-3} \times 2^9 \times 5^3 \times 10^{-6}}{5^{-3}}\]
\[= 2^{-3+9} \times 5^{3+3} \times 10^{-6}\]
\[= 2^6 \times 5^6 \times 10^{-6} = (2 \times 5)^6 \times 10^{-6}\]
\[= 10^6 \times 10^{-6} = 1\]
2) الاستنتاج:
\[\sqrt{a^{-4} \times b} = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{-4} \times \left(\frac{10}{3}\right)^4}\]
\[= \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^4 \times \left(\frac{10}{3}\right)^4}\]
\[= \sqrt{\left(\frac{3}{2} \times \frac{10}{3}\right)^4}\]
\[= \sqrt{5^4} = 5^2 = 25\]
\[\sqrt{a^{-4} \times b} = 25\]