تعريف القوة
التعريف: إذا كان $$a$$ عدداً حقيقياً و $$n$$ عدداً طبيعياً، فإن:
$$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ مرة}}$$
حيث $$a$$ يسمى دليل القوة و $$n$$ يسمى دليل القوة
قوانين العمليات على القوى
1. ضرب القوى ذات دليل القوة الواحد
$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$
مثال أساسي:
$$2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$$
أمثلة مع الأعداد السالبة:
مثال 1: دليل القوة سالب
$$(-3)^2 \times (-3)^4 = (-3)^{2+4} = (-3)^6 = 729$$
ملاحظة: دليل القوة زوجي، لذا النتيجة موجبة
مثال 2: دليل القوة سالب
$$5^{-2} \times 5^{-3} = 5^{(-2)+(-3)} = 5^{-5} = \frac{1}{5^5} = \frac{1}{3125}$$
أمثلة مع الجذور:
مثال 3: ضرب الجذور
$$\sqrt{2} \times 2^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} = 2^2 = 4$$
مثال 4: جذور مختلطة
$$\sqrt[3]{7} \times \sqrt[3]{7^2} = 7^{\frac{1}{3}} \times 7^{\frac{2}{3}} = 7^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} = 7^1 = 7$$
مثال معقد:
حساب معقد
$$(-2)^3 \times (-2)^{-1} \times \sqrt{(-2)^2} = (-2)^{3-1} \times \sqrt{4} = (-2)^2 \times 2 = 4 \times 2 = 8$$
2. قسمة القوى ذات دليل القوة الواحد
$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$$
مثال أساسي:
$$\frac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 27$$
أمثلة مع الأعداد السالبة:
مثال 1: دليل القوة سالب
$$\frac{(-4)^5}{(-4)^2} = (-4)^{5-2} = (-4)^3 = -64$$
تفسير: $$(-4)^3 = (-4) \times (-4) \times (-4) = -64$$
مثال 2: قسمة الأدلة السالبة
$$\frac{6^{-2}}{6^{-5}} = 6^{(-2)-(-5)} = 6^{-2+5} = 6^3 = 216$$
أمثلة مع الجذور:
مثال 3: قسمة الجذور
$$\frac{\sqrt[3]{8^4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{8^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{1}{3}}} = 8^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}} = 8^1 = 8$$
مثال 4: جذور معقدة
$$\frac{\sqrt{27^3}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{27^{\frac{3}{2}}}{27^{\frac{1}{3}}} = 27^{\frac{3}{2}-\frac{1}{3}} = 27^{\frac{9-2}{6}} = 27^{\frac{7}{6}}$$
$$= (3^3)^{\frac{7}{6}} = 3^{\frac{21}{6}} = 3^{\frac{7}{2}} = 3^3 \times 3^{\frac{1}{2}} = 27\sqrt{3}$$
3. قوة القوة
$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$
مثال أساسي:
$$(5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6 = 15625$$
أمثلة مع الأعداد السالبة:
مثال 1: دليل القوة سالب
$$((-2)^3)^2 = (-2)^{3 \times 2} = (-2)^6 = 64$$
تحقق: $$(-2)^3 = -8$$، إذن $$(-8)^2 = 64$$ ✓
مثال 2: دليل القوة السالب
$$(3^{-2})^{-4} = 3^{(-2) \times (-4)} = 3^8 = 6561$$
تحقق: $$3^{-2} = \frac{1}{9}$$، إذن $$\left(\frac{1}{9}\right)^{-4} = 9^4 = 6561$$ ✓
أمثلة مع الجذور:
مثال 3: قوة الجذر
$$(\sqrt{16})^6 = (16^{\frac{1}{2}})^6 = 16^{\frac{1}{2} \times 6} = 16^3 = 4096$$
تفسير: $$\sqrt{16} = 4$$، إذن $$4^6 = 4096$$ ✓
مثال 4: قوة الجذر الكسري
$$\left(8^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} = 8^{\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}} = 8^1 = 8$$
تحقق: $$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$$، إذن $$4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$$ ✓
مثال معقد:
حساب معقد متعدد الخطوات
$$\left(\left((-1)^2\right)^3\right)^{-2} = \left((1)^3\right)^{-2} = (1)^{-2} = 1$$
أو بشكل مباشر: $$((-1)^2)^{3 \times (-2)} = (-1)^{-6} = \frac{1}{(-1)^6} = \frac{1}{1} = 1$$
4. قوة الجداء
$$(ab)^n = a^n \times b^n$$
مثال أساسي:
$$(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 = 16 \times 81 = 1296$$
أمثلة مع الأعداد السالبة:
مثال 1: عدد سالب × عدد موجب
$$((-2) \times 3)^3 = (-2)^3 \times 3^3 = (-8) \times 27 = -216$$
تحقق: $$(-2 \times 3)^3 = (-6)^3 = -216$$ ✓
مثال 2: عددين سالبين
$$((-2) \times (-5))^4 = (-2)^4 \times (-5)^4 = 16 \times 625 = 10000$$
تحقق: $$((-2) \times (-5))^4 = (10)^4 = 10000$$ ✓
أمثلة مع الجذور:
مثال 3: جداء جذرين
$$(\sqrt{2} \times \sqrt{8})^2 = (\sqrt{2})^2 \times (\sqrt{8})^2 = 2 \times 8 = 16$$
تحقق: $$\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$$، إذن $$4^2 = 16$$ ✓
مثال 4: جداء معقد
$$(2^{\frac{1}{3}} \times 4^{\frac{1}{2}})^6 = (2^{\frac{1}{3}})^6 \times (4^{\frac{1}{2}})^6 = 2^2 \times 4^3 = 4 \times 64 = 256$$
5. قوة الحاصل
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$$
مثال أساسي:
$$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$$
أمثلة مع الأعداد السالبة:
مثال 1: البسط سالب
$$\left(\frac{-3}{4}\right)^4 = \frac{(-3)^4}{4^4} = \frac{81}{256}$$
ملاحظة: دليل القوة زوجي، لذا النتيجة موجبة
مثال 2: دليل القوة سالب
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \frac{2^{-3}}{5^{-3}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{125}} = \frac{125}{8}$$
أو: $$\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{125}{8}$$ ✓
أمثلة مع الجذور:
مثال 3: كسر الجذور
$$\left(\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}}\right)^3 = \frac{(\sqrt{16})^3}{(\sqrt{4})^3} = \frac{4^3}{2^3} = \frac{64}{8} = 8$$
مثال 4: كسر معقد
$$\left(\frac{8^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{2}}}\right)^6 = \frac{(8^{\frac{1}{3}})^6}{(4^{\frac{1}{2}})^6} = \frac{8^2}{4^3} = \frac{64}{64} = 1$$
تفسير: $$8^{\frac{1}{3}} = 2$$ و $$4^{\frac{1}{2}} = 2$$، إذن $$\left(\frac{2}{2}\right)^6 = 1^6 = 1$$ ✓
القوى السالبة
بالنسبة لأي عدد حقيقي $$a \neq 0$$ وأي عدد طبيعي $$n$$:
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
أمثلة أساسية:
$$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$
$$\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$$
أمثلة مع الأعداد السالبة:
مثال 1: أساس سالب ودليل سالب زوجي
$$(-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^4} = \frac{1}{81}$$
تفسير: $$(-3)^4 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 81$$
مثال 2: أساس سالب ودليل سالب فردي
$$(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$$
تفسير: $$(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$$
مثال 3: كسر بأساس سالب
$$\left(\frac{-2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{-2}\right)^3 = \frac{3^3}{(-2)^3} = \frac{27}{-8} = -\frac{27}{8}$$
أمثلة مع الجذور والأدلة السالبة:
مثال 4: جذر مع دليل سالب
$$(\sqrt{16})^{-2} = (16^{\frac{1}{2}})^{-2} = 16^{-1} = \frac{1}{16}$$
أو: $$(\sqrt{16})^{-2} = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$$ ✓
مثال 5: جذر كسري مع دليل سالب
$$(27^{\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{2}} = 27^{-1} = \frac{1}{27}$$
التحقق خطوة بخطوة:
$$27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$$
إذن $$9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{9})^3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$$ ✓
أمثلة معقدة:
مثال 6: عملية مختلطة معقدة
$$\frac{(-4)^{-2} \times 8^{-1}}{(-2)^{-3}} = \frac{\frac{1}{16} \times \frac{1}{8}}{\frac{1}{-8}} = \frac{\frac{1}{128}}{-\frac{1}{8}} = \frac{1}{128} \times (-8) = -\frac{1}{16}$$
مثال 7: تطبيق قوانين القوى مع الأدلة السالبة
$$\left(\frac{3^{-2} \times 9^{-1}}{27^{-\frac{1}{3}}}\right)^{-2} = \left(\frac{\frac{1}{9} \times \frac{1}{9}}{\frac{1}{\sqrt[3]{27}}}\right)^{-2} = \left(\frac{\frac{1}{81}}{\frac{1}{3}}\right)^{-2} = \left(\frac{1}{27}\right)^{-2} = 27^2 = 729$$
القوى الكسرية (الجذور)
الجذور هي عمليات عكسية للقوى:
$$\sqrt[n]{a} \text{ هو العدد الذي إذا رُفع للقوة } n \text{ يعطي } a$$
أي أن: $$(\sqrt[n]{a})^n = a$$
أمثلة أساسية:
$$\sqrt{16} = 4 \text{ لأن } 4^2 = 16$$
$$\sqrt[3]{27} = 3 \text{ لأن } 3^3 = 27$$
أمثلة مع الجذور المختلفة:
مثال 1: جذور مختلفة
$$\sqrt{64} = 8, \quad \sqrt[3]{64} = 4, \quad \sqrt[4]{64} = 2\sqrt{2}$$
التحقق: $$8^2 = 64$$, $$4^3 = 64$$, $$(2\sqrt{2})^4 = 64$$ ✓
مثال 2: ضرب الجذور
$$\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6$$
أو: $$\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$$ ✓
مثال 3: قسمة الجذور
$$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}} = \frac{6}{2} = 3$$
أو: $$\sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3$$ ✓
أمثلة مع الأعداد السالبة في الجذور:
مثال 4: جذر فردي لعدد سالب
$$\sqrt[3]{-8} = -2 \text{ لأن } (-2)^3 = -8$$
تفسير: الجذر الفردي للعدد السالب سالب
مثال 5: جذور فردية أخرى
$$\sqrt[3]{-27} = -3, \quad \sqrt[5]{-32} = -2$$
التحقق: $$(-3)^3 = -27$$, $$(-2)^5 = -32$$ ✓
أمثلة معقدة:
مثال 6: جذر من جذر
$$\sqrt{\sqrt{256}} = \sqrt{16} = 4$$
تحقق: $$\sqrt{256} = 16$$، ثم $$\sqrt{16} = 4$$ ✓
مثال 7: عمليات مختلطة
$$\frac{\sqrt[3]{125} \times \sqrt{16}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$$
تذكير مهم: الجذر الزوجي للعدد السالب غير معرف في الأعداد الحقيقية. مثلاً $$\sqrt{-4}$$ غير معرف في $$\mathbb{R}$$.
خصائص إضافية مهمة
مقلوب القوة السالبة
$$\frac{1}{a^{-n}} = a^n$$
القوة السالبة للكسر
$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$
توزيع دليل القوة السالب
$$(ab)^{-n} = a^{-n} \times b^{-n} = \frac{1}{a^n \times b^n}$$
تحذيرات مهمة
انتباه: $$0^0$$ غير معرف في الرياضيات
انتباه: الجذر الزوجي للعدد السالب غير معرف في الأعداد الحقيقية
$$\sqrt[2n]{a} \text{ غير معرف إذا كان } a < 0$$
انتباه: عند تطبيق قوانين القوى، تأكد من أن دليل القوة غير صفر عندما يكون دليل القوة سالباً
تمارين تطبيقية شاملة
💪 تمارين متدرجة الصعوبة
تمرين 1: مبسط
$$(-2)^3 \times (-2)^{-5} \times \sqrt{(-2)^4} = (-2)^{3-5} \times \sqrt{16} = (-2)^{-2} \times 4 = \frac{1}{4} \times 4 = 1$$
تمرين 2: متوسط
$$\frac{(3^2)^{-1} \times \sqrt[3]{27^2}}{3^{-\frac{1}{3}}} = \frac{3^{-2} \times (3^3)^{\frac{2}{3}}}{3^{-\frac{1}{3}}} = \frac{3^{-2} \times 3^2}{3^{-\frac{1}{3}}} = \frac{3^0}{3^{-\frac{1}{3}}} = 1 \times 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$$
تمرين 3: صعب
$$\left(\frac{(-8)^{\frac{2}{3}} \times 16^{-\frac{1}{4}}}{4^{\frac{3}{2}}}\right)^{-2} = \left(\frac{((-8)^{\frac{1}{3}})^2 \times (2^4)^{-\frac{1}{4}}}{(2^2)^{\frac{3}{2}}}\right)^{-2} = \left(\frac{(-2)^2 \times 2^{-1}}{2^3}\right)^{-2} = \left(\frac{4 \times \frac{1}{2}}{8}\right)^{-2} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 16$$
🔢 تمارين خاصة بالأعداد السالبة
تمرين 4: أدلة زوجية وفردية
احسب: $$(-3)^2 + (-3)^3 + (-3)^4 + (-3)^5$$
$$(-3)^2 + (-3)^3 + (-3)^4 + (-3)^5 = 9 + (-27) + 81 + (-243) = 90 - 270 = -180$$
تمرين 5: كسور مع أعداد سالبة
بسط: $$\left(\frac{-2}{3}\right)^3 \times \left(\frac{3}{-2}\right)^{-2}$$
$$\left(\frac{-2}{3}\right)^3 \times \left(\frac{3}{-2}\right)^{-2} = \frac{(-2)^3}{3^3} \times \left(\frac{-2}{3}\right)^2 = \frac{-8}{27} \times \frac{4}{9} = \frac{-32}{243}$$
√ تمارين الجذور والقوى الكسرية
تمرين 6: جذور متداخلة
احسب: $$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{4096}}}$$
$$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{4096}}} = \sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt{4} = 2$$
أو بالأدلة: $$(4096^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} = 4096^{\frac{1}{12}} = (2^{12})^{\frac{1}{12}} = 2$$
تمرين 7: عمليات مختلطة
بسط: $$\frac{\sqrt[3]{-125} \times \sqrt{25}}{\sqrt[4]{16}}$$
$$\frac{\sqrt[3]{-125} \times \sqrt{25}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{(-5) \times 5}{2} = \frac{-25}{2} = -12.5$$
تمرين 8: قوى كسرية سالبة
احسب: $$32^{-\frac{3}{5}} + 16^{-\frac{3}{4}}$$
$$32^{-\frac{3}{5}} + 16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{(2^5)^{\frac{3}{5}}} + \frac{1}{(2^4)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$$
🎯 تحديات رياضية متقدمة
تحدٍ 1: معادلة معقدة
أوجد $$x$$ إذا كان: $$(2^x)^3 \times 2^{-2x} = 8^{\frac{2}{3}}$$
$$2^{3x} \times 2^{-2x} = (2^3)^{\frac{2}{3}} \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2$$
تحقق: $$(2^2)^3 \times 2^{-4} = 2^6 \times 2^{-4} = 2^2 = 4$$، و $$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$$ ✓
تحدٍ 2: تبسيط شامل
بسط إلى أبسط صورة:
$$\frac{(a^{\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{4}} \times (a^{-\frac{1}{2}})^4}{(a^{\frac{1}{6}})^{-3}} = \frac{a^{-\frac{1}{2}} \times a^{-2}}{a^{-\frac{1}{2}}} = a^{-\frac{1}{2}-2+\frac{1}{2}} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$$
تحدٍ 3: مسألة تطبيقية
إذا كان حجم مكعب هو $$64$$ سم³، فما مساحة وجهه؟
الحل: إذا كان حجم المكعب $$V = 64$$، فطول الضلع $$a$$ يحقق $$a^3 = 64$$
$$a = 64^{\frac{1}{3}} = (4^3)^{\frac{1}{3}} = 4 \text{ سم}$$
مساحة الوجه = $$a^2 = 4^2 = 16$$ سم²
💡 نصائح لحل التمارين:
- ✅ تأكد دائماً من أن دليل القوة غير صفر عند الأدلة السالبة
- ✅ انتبه لإشارة النتيجة مع الأدلة الفردية والزوجية
- ✅ استخدم خصائص القوى لتبسيط العمليات المعقدة
- ✅ تحقق من إجابتك بالتعويض العكسي