الجمنازيوم التفاعلي للجذور والقوى

اختر أي تمرين، واكتشف طرقًا متعددة لحله. كل بطاقة هي ورشة عمل مستقلة.

d
$d = -2 + 2\sqrt{2}^3 + \sqrt{2}^2 - (-\sqrt{2})^3$

الخطوة 1: حساب كل حد

نقوم بحساب قيمة كل حد على حدة. $\sqrt{2}^2=2$ و $(-\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$. و $2\sqrt{2}^3 = 2 \times (2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$.

$d = -2 + 4\sqrt{2} + 2 - (-2\sqrt{2})$

الخطوة 2: جمع الحدود

نجمع الأعداد معًا، والجذور معًا. نرى أن -2 و +2 يلغيان بعضهما.

$d = (-2+2) + (4\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 0 + 6\sqrt{2}$

النتيجة

النتيجة النهائية هي $6\sqrt{2}$.

$d = 6\sqrt{2}$

الخطوة 1: ملاحظة الإلغاء

قبل الحساب، نلاحظ أن لدينا $-2$ والحد $\sqrt{2}^2$ الذي يساوي $+2$. هذان الحدان سيلغيان بعضهما.

$d = \underbrace{-2 + \sqrt{2}^2}_{0} + 2\sqrt{2}^3 - (-\sqrt{2})^3$

الخطوة 2: ملاحظة التناظر

الحد $-(-\sqrt{2})^3$ يساوي $+\sqrt{2}^3$. إذن التمرين هو في الحقيقة $2\sqrt{2}^3 + \sqrt{2}^3$.

$d = 2\sqrt{2}^3 + \sqrt{2}^3 = (2+1)\sqrt{2}^3 = 3\sqrt{2}^3$

النتيجة

نحسب $3 \times (2\sqrt{2})$. التفكير قبل الحساب يوفر الكثير من الوقت!

$d = 6\sqrt{2}$
e
$e = \left(\frac{-3}{5}\right)^{-1} \times \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{-2} \times \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2$

الخطوة 1: التخلص من دليل القوة السالبة

نقلب الكسور ذات دليل القوة السالبة.

$e = \left(\frac{5}{-3}\right) \times \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2} \times \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2$

الخطوة 2: حساب التربيعات

نحسب القوى التربيعية.

$e = \frac{-5}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{9}{2}$

الخطوة 3: الضرب والاختزال

نضرب كل شيء ونختزل. نلاحظ أن 5 تختزل مع 5، و 9/3=3، و 4/2=2.

$e = -1 \times 2 \times 3$

النتيجة

النتيجة النهائية هي -6.

$e = -6$

الخطوة 1: تفكيك كل شيء

نفكك كل حد إلى قوى أعداد أولية.

$e = (-3)^{-1} \cdot 5^{-(-1)} \cdot (\sqrt{5})^{-2} \cdot 2^{-(-2)} \cdot 3^2 \cdot (\sqrt{2})^{-2}$

الخطوة 2: تجميع حسب أساس

نجمع القوى لكل أساس: 3، 5، 2.

$e = \underbrace{(-3^{-1} \cdot 3^2)}_{-3^1} \times \underbrace{(5^1 \cdot 5^{-1})}_{5^0=1} \times \underbrace{(2^2 \cdot 2^{-1})}_{2^1=2}$

النتيجة

نضرب نتائج التجميع. هذا يوضح أن التمرين مصمم للإلغاء المتبادل.

$e = -3 \times 1 \times 2 = -6$
z
$z = \frac{\left(\frac{-2\sqrt{3}}{3}\right)^{-1} + \sqrt{12}}{\left(\sqrt{27}\right)^{-1}}$

الخطوة 1: تبسيط الجذور

لنجعل الأرقام أبسط. $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ و $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

$z = \frac{\left(\frac{-2\sqrt{3}}{3}\right)^{-1} + 2\sqrt{3}}{\left(3\sqrt{3}\right)^{-1}}$

الخطوة 2: تطبيق دليل القوة -1

نقلب كل كسر له هذا دليل القوة.

$z = \frac{\frac{3}{-2\sqrt{3}} + 2\sqrt{3}}{\frac{1}{3\sqrt{3}}}$

الخطوة 3: توحيد مقامات البسط

لجمع $\frac{3}{-2\sqrt{3}}$ مع $2\sqrt{3}$, نوحد المقامات.

$\text{البسط} = \frac{3 - 12}{-2\sqrt{3}} = \frac{9}{2\sqrt{3}}$

الخطوة 4: قسمة الكسور

نقسم نتيجة البسط على المقام بالضرب في المقلوب.

$z = \frac{9}{2\sqrt{3}} \times \frac{3\sqrt{3}}{1}$

النتيجة النهائية

نختزل $\sqrt{3}$ ويبقى لنا حساب بسيط.

$z = \frac{9 \times 3}{2} = \frac{27}{2}$

الخطوة 1: ملاحظة البنية الكبرى

الكسر على شكل $\frac{A}{B^{-1}}$, وهذا يساوي $A \times B$.

$z = \left( \left(\frac{-2\sqrt{3}}{3}\right)^{-1} + \sqrt{12} \right) \times \sqrt{27}$

الخطوة 2: التوزيع

نوزع $\sqrt{27}$ على القوس.

$z = \left(\frac{-2\sqrt{3}}{3}\right)^{-1} \times \sqrt{27} + \sqrt{12} \times \sqrt{27}$

الخطوة 3: حساب كل جزء

الجزء الأول: $\frac{3}{-2\sqrt{3}} \times 3\sqrt{3} = -\frac{9}{2}$. الجزء الثاني: $\sqrt{12 \times 27} = \sqrt{324} = 18$.

$z = -\frac{9}{2} + 18$

النتيجة النهائية

نجمع النتائج.

$z = \frac{-9+36}{2} = \frac{27}{2}$

الخطوة 1: اكتشاف البطل الخفي (√3)

كل الحدود تحتوي على $\sqrt{3}$. نعيد كتابة كل شيء بدلالته.

$z = \frac{\left(\frac{-2\sqrt{3}}{3}\right)^{-1} + 2\sqrt{3}}{\left(3\sqrt{3}\right)^{-1}}$

الخطوة 2: تبسيط البسط

البسط هو $\frac{-\sqrt{3}}{2} + 2\sqrt{3} = \frac{3}{2}\sqrt{3}$.

$\text{البسط} = \frac{3}{2}\sqrt{3}$

الخطوة 3: تجميع كل شيء

لدينا $\frac{\text{البسط}}{\text{المقام}} = \frac{\frac{3}{2}\sqrt{3}}{(3\sqrt{3})^{-1}} = \left( \frac{3}{2}\sqrt{3} \right) \times \left( 3\sqrt{3} \right)$.

$z = \frac{3}{2} \times 3 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3})$

النتيجة النهائية

$\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$. الحساب الآن خال من الجذور!

$z = \frac{3}{2} \times 9 = \frac{27}{2}$