أسرار القوى والجذور

تمرين تفاعلي كامل لكشف حيل الحساب
المهمة 1

فك شيفرة العددين a و b

1. بيّن أن الكتابات المعقدة أدناه تخفي وراءها $a = 5 + 2\sqrt{6}$ و $b = 5 - 2\sqrt{6}$. (ملاحظة: النص الأصلي يحتوي على أخطاء، سنعمل مباشرة مع النتائج المعطاة لإكمال المهمة)

2. اكتشف العلاقة الخفية بين $a$ و $b$ عبر إثبات أنهما مقلوبان.

3. استخدم هذا الاكتشاف لتبسيط العبارة $M$ بأسرع طريقة ممكنة:

\[ M = \frac{ (ab^{-1}c^3)^2 \ (abc^2)^{-3} }{ ab^{-3} \ (a^2b^2)^{-2} } \]

💡 السر الأول: المتطابقات الهامة والتبسيط أولاً

  • لإثبات أن a و b مقلوبان، احسب جداءهما. هل يذكرك شكله بشيء؟ $(x+y)(x-y)$...
  • بالنسبة لـ $M$: لا تعوض $a$ و $b$ الآن! قم بتبسيط $M$ باستعمال قواعد القوى فقط. هذا هو مفتاح النجاح.

🗺️ خريطة الحل: اتبع الخطوات

1. لإثبات أن a و b مقلوبان: احسب الجداء $a \times b = (5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})$ باستخدام المتطابقة الهامة $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. إذا كان الناتج 1، فهما مقلوبان.

2. لتبسيط M: طبّق قواعد القوى لتبسيط البسط والمقام كل على حدة، ثم ادمجهما. في النهاية فقط، استخدم حقيقة أن $ab=1$.

🎯 الحل الكامل للمهمة 1

1. تبيين أن $a$ و $b$ مقلوبان:

\[ a \times b = (5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \times 6) = 25 - 24 = 1 \]

بما أن $a \times b = 1$، فإن $a$ و $b$ مقلوبان. إذن $b = a^{-1}$.

2. استنتاج حساب $M$:

\[ M = \frac{ a^2 b^{-2} c^6 \cdot a^{-3} b^{-3} c^{-6} }{ a b^{-3} \cdot a^{-4}b^{-4} } = \frac{ a^{-1} b^{-5} c^0 }{ a^{-3} b^{-7} } = a^{-1 - (-3)} b^{-5 - (-7)} = a^2 b^2 = (ab)^2 \]

والآن نستخدم اكتشافنا: $ab=1$.

\[ M = (1)^2 = 1 \]
💡 الإستنتاج الثوري: الحسابات الطويلة هي وهم. بالتبسيط أولاً، تحولنا من عملية مرعبة إلى حساب بسيط: $(1)^2 = 1$. القوة في الرياضيات هي الاستراتيجية، وليس الحساب!
المهمة 2

فن التفكيك والتجميع

أحسب العبارات التالية، مبيناً كل مراحل التبسيط:

\[ a = \left( -\frac{3}{2} \right)^{-2} \times \left( \frac{3}{2} \right)^{-3} \times \frac{27}{8} \]
\[ b = \left[ \left( -\sqrt{2} \right)^3 \right]^2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \]
\[ c = \frac{ 2^{-7} \times 3^2 }{ \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} \times (2^{-3})^2 } \]

💡 السر الثاني: العودة إلى الأصول (الأعداد الأولية)

السر هنا هو تفكيك كل الأعداد إلى قوى من أعدادها الأولية. $27 = 3^?$, $8 = 2^?$. ولا تنسى أن دليل القوة الزوجي يلغي الإشارة السالبة!

🗺️ خريطة الحل: اتبع الخطوات

لكل عبارة: 1. تعامل مع الإشارات السالبة أولاً. 2. حوّل كل الأعداد (مثل 27, 8, 1/3) إلى قوى من 2 و 3. 3. طبّق قواعد القوى $(x^a)^b = x^{ab}$ و $x^a x^b=x^{a+b}$. 4. جمّع كل قوى 2 معًا وكل قوى 3 معًا.

🎯 الحل الكامل للمهمة 2

حساب a:

\[ a = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \times \left(\frac{3}{2}\right)^{-3} \times \frac{3^3}{2^3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2-3} \times \frac{3^3}{2^3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-5} \times \frac{3^3}{2^3} = \frac{3^{-5}}{2^{-5}} \times \frac{3^3}{2^3} = \frac{3^{-5+3}}{2^{-5+3}} = \frac{3^{-2}}{2^{-2}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]

حساب b:

\[ b = \left( (-\sqrt{2})^3 \right)^2 \times (2^{-1})^{-2} = (-\sqrt{2})^{3 \times 2} \times 2^{(-1) \times (-2)} = (-\sqrt{2})^6 \times 2^2 = (\sqrt{2})^6 \times 2^2 = (2^{1/2})^6 \times 2^2 = 2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32 \]

حساب c:

\[ c = \frac{2^{-7} \times 3^2}{(3^{-1})^{-2} \times 2^{-3 \times 2}} = \frac{2^{-7} \times 3^2}{3^2 \times 2^{-6}} = 2^{-7 - (-6)} \times 3^{2-2} = 2^{-1} \times 3^0 = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \]
المهمة 3

قوة الملاحظة

أكتب العبارتين التاليتين في صيغة قوة لعدد حقيقي واحد، باستخدام الكتابة الرياضية الدقيقة:

\[ e = \left(\sqrt{ \frac{3}{7} }\right)^{-2} - \left( \sqrt{ \frac{3}{7} } \right)^{-2} + 2 \left( \sqrt{ \frac{5}{3} } \right)^{-2} \]
\[ d = \left(\sqrt{2}\right)^{-2} \times \left( \frac{1}{12} \right)^{-4} \times \left( \frac{\sqrt{9}}{2} \right)^{-4} \]

💡 السر الثالث: عين الصقر

لعبارة e: انظر جيداً للحدين الأولين. الآن وبعد أن أصبحت الكتابة دقيقة، ماذا تلاحظ؟

لعبارة d: هل ترى دليل القوة المشترك (-4)؟ استخدم القاعدة السحرية $x^n \times y^n = (x \times y)^n$ لتجميع ما يمكن تجميعه.

🗺️ خريطة الحل: اتبع الخطوات

لعبارة e: 1. لاحظ أن الحد الأول والثاني يلغيان بعضهما البعض تماماً. 2. بسّط الحد المتبقي باستخدام القاعدة $(\sqrt{x})^{-2} = (x^{1/2})^{-2} = x^{-1} = 1/x$.

لعبارة d: 1. بسّط $\sqrt{9}$ إلى 3. 2. جمّع الحدود ذات دليل القوة -4 معًا. 3. بسّط ما بداخل الأقواس. 4. ادمج مع الحد المتبقي.

🎯 الحل الكامل للمهمة 3

حساب e:
بفضل كتابتنا الدقيقة، نرى الآن بوضوح أن الحدين الأولين متطابقان ومطروحان من بعضهما، إذن مجموعهما صفر.

\[ \underbrace{\left(\sqrt{ \frac{3}{7} }\right)^{-2} - \left( \sqrt{ \frac{3}{7} } \right)^{-2}}_{=0} + 2 \left( \sqrt{ \frac{5}{3} } \right)^{-2} \]
\[ e = 2 \left( \frac{5}{3} \right)^{-1} = 2 \times \frac{3}{5} = \frac{6}{5} \]

لكتابته كقوة لعدد واحد: $e = \left(\frac{6}{5}\right)^1$.

حساب d:

\[ d = \left(\sqrt{2}\right)^{-2} \times \left( \frac{1}{12} \times \frac{\sqrt{9}}{2} \right)^{-4} = \left(2^{1/2}\right)^{-2} \times \left( \frac{1}{12} \times \frac{3}{2} \right)^{-4} \]
\[ d = 2^{-1} \times \left( \frac{3}{24} \right)^{-4} = 2^{-1} \times \left( \frac{1}{8} \right)^{-4} \]
\[ d = \frac{1}{2} \times (8)^4 = \frac{1}{2} \times (2^3)^4 = \frac{1}{2} \times 2^{12} = 2^{-1} \times 2^{12} = 2^{11} \]
💡 الإستنتاج الثوري: دقيقة من الملاحظة توفر ساعة من الحساب. البحث عن الأنماط والتطابقات هو ما يميز الخبير عن المبتدئ.