إصلاح شامل لتمارين القوى في $\mathbb{R}$

مستوى: التاسعة أساسي - تونس

تمرين 1

حساب وتبسيط عبارات القوى

المعطيات: بسط العبارات التالية حيث القواعد أعداد حقيقية مخالفة للصفر:
$A = \frac{7^4 \times (7^{-2})^3}{7^{-5}}$
$B = \frac{11 \times 4^{-3} \times 22^2}{2^{-2} \times 11^3}$
$C = 2^{-4} \times (2\sqrt{2})^3$
💡 توجيهات: تذكر القواعد الأساسية للتعامل مع القوى:
  • $(a^n)^p = a^{n \times p}$
  • $a^n \times a^p = a^{n+p}$
  • $\frac{a^n}{a^p} = a^{n-p}$
📝 منهجية الحل:
  1. في العبارة A: ابدأ بتبسيط قوة القوة ثم اجمع قوى البسط.
  2. في العبارة B: فكك القواعد (مثلاً $22 = 2 \times 11$ و $4 = 2^2$).
  3. في العبارة C: اكتب كل الأعداد في شكل قوة للعدد $2$ أو $\sqrt{2}$.
✅ الحل المفصل:
$A = \frac{7^4 \times 7^{-6}}{7^{-5}} = \frac{7^{4-6}}{7^{-5}} = \frac{7^{-2}}{7^{-5}} = 7^{-2+5} = 7^3 = 343$

$B = \frac{11 \times (2^2)^{-3} \times (2 \times 11)^2}{2^{-2} \times 11^3} = \frac{11^1 \times 2^{-6} \times 2^2 \times 11^2}{2^{-2} \times 11^3} = \frac{2^{-4} \times 11^3}{2^{-2} \times 11^3} = 2^{-4+2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

$C = 2^{-4} \times (\sqrt{2}^2 \times \sqrt{2})^3 = 2^{-4} \times (\sqrt{2}^3)^3 = 2^{-4} \times \sqrt{2}^9 = 2^{-4} \times 2^4 \times \sqrt{2} = \sqrt{2}$
تمرين 2

الكتابة العلمية والحساب الدقيق

المعطيات: أوجد القيمة العددية للعبارات التالية:
$E = \frac{3 \times 10^2 \times 1.2 \times 10^{-5}}{15 \times 10^2}$
$I = \sqrt{2}^4 - \sqrt{2}^{-4}$
💡 توجيهات: - الكتابة العلمية تكون من الشكل $a \times 10^n$ حيث $1 \le a < 10$. - $\sqrt{a}^4$ تعني $(\sqrt{a}^2)^2$.
📝 منهجية الحل: للحصول على الكتابة العلمية لـ E، افصل قوى العشرة عن الأعداد العشرية ثم بسط كل جزء على حدة.
✅ الحل المفصل:
$E = \frac{3 \times 1.2}{15} \times \frac{10^2 \times 10^{-5}}{10^2} = \frac{3.6}{15} \times 10^{-5} = 0.24 \times 10^{-5} = 2.4 \times 10^{-6}$

$I = (\sqrt{2}^2)^2 - \frac{1}{(\sqrt{2}^2)^2} = 2^2 - \frac{1}{2^2} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3.75$