تصحيح تفاعلي كامل - تمرين رقم 3

تبسيط وحساب العبارة A

$A = \frac{(3^2a^{-3}b^{-6})^{-1} \times 27(ab^{-2})^{-5}}{(3a^{-2}b^5)^4}$

1) الخطوة 1: تجميع القوى حسب دليل القوة

الاستراتيجية الأقوى هي فصل الكسر إلى 3 فرق: فريق دليل القوة 3، فريق دليل القوة a، وفريق دليل القوة b.

$A = \left(\frac{(3^2)^{-1} \times 3^3}{3^4}\right) \times \left(\frac{(a^{-3})^{-1} \times a^{-5}}{(a^{-2})^4}\right) \times \left(\frac{(b^{-6})^{-1} \times (b^{-2})^{-5}}{(b^5)^4}\right)$

1) الخطوة 2: حل فريق دليل القوة 3

$\frac{3^{-2} \times 3^3}{3^4} = \frac{3^1}{3^4} = 3^{1-4} = 3^{-3}$

فريق 3 $\implies 3^{-3}$

1) الخطوة 3: حل فريق دليل القوة a

$\frac{a^3 \times a^{-5}}{a^{-8}} = \frac{a^{-2}}{a^{-8}} = a^{-2 - (-8)} = a^6$

فريق a $\implies a^6$

1) الخطوة 4: حل فريق دليل القوة b

$\frac{b^6 \times b^{10}}{b^{20}} = \frac{b^{16}}{b^{20}} = b^{16-20} = b^{-4}$

فريق b $\implies b^{-4}$

1) الخطوة 5: تجميع النتائج

نضرب نتائج الفرق الثلاثة معًا للحصول على التعبير المبسط.

$A = 3^{-3}a^6b^{-4}$

2) الخطوة 6: حساب قيمة A

لدينا $A = 3^{-3} (a^6) (b^{-4})$. يمكننا إعادة كتابتها كـ $3^{-3} \times (a^6) \times (b^4)^{-1} = 3^{-3} \times (a^6) \times \frac{1}{b^4} = 3^{-3} \frac{a^6}{b^4} = 3^{-3} (\frac{a}{b})^4 a^2$.

$A = 3^{-3} \left(\frac{a}{b}\right)^4 a^2$

2) الخطوة 7: التعويض بالقيم

نعوض بالقيم المعطاة: $a=\sqrt{7}$ و $\frac{a}{b}=3$.

$A = 3^{-3} \times (3)^4 \times (\sqrt{7})^2 = 3^{-3+4} \times 7 = 3^1 \times 7$

2) الخطوة 8: النتيجة النهائية

نحسب الجداء الأخير.

$A = 21$

حسابات وكتابات مبسطة

1) اكتب العبارات التالية في شكل قوة لعدد حقيقي:

$a = (-\sqrt{3})^5 \times 3^7$

الخطوة 1: تبسيط $(-\sqrt{3})^5$

دليل القوة فردي، إذن الإشارة سالبة. $(-\sqrt{3})^5 = -(\sqrt{3})^5 = -(3^{1/2})^5 = -3^{5/2}$.

$a = -3^{5/2} \times 3^7$

الخطوة 2: جمع الأدلة

$a = -3^{5/2 + 7} = -3^{5/2 + 14/2}$

$a = -3^{19/2}$

$b = 36 \times 15^{-2}$

الخطوة 1: تفكيك الأعداد

$36=6^2$ و $15^{-2} = (3 \times 5)^{-2} = 3^{-2} \times 5^{-2}$.

$b = 6^2 \times 3^{-2} \times 5^{-2}$

الخطوة 2: تجميع الأدلة

$b = (2 \times 3)^2 \times 3^{-2} \times 5^{-2} = 2^2 \times 3^2 \times 3^{-2} \times 5^{-2} = 2^2 \times 3^0 \times 5^{-2}$.

$b = 2^2 \times 5^{-2} = (\frac{2}{5})^2$

$b = 0.4^2$

$c = \sqrt{\frac{8^{10} + 4^{10}}{2^{10} + 1}}$

الخطوة 1: توحيد دليل القوة داخل الجذر

نحول كل الأعداد إلى قوى 2: $8=(2^3)$ و $4=(2^2)$.

$c = \sqrt{\frac{(2^3)^{10} + (2^2)^{10}}{2^{10} + 1}} = \sqrt{\frac{2^{30} + 2^{20}}{2^{10} + 1}}$

الخطوة 2: أخذ العامل المشترك

في البسط، نأخذ $2^{20}$ كعامل مشترك.

$c = \sqrt{\frac{2^{20}(2^{10} + 1)}{2^{10} + 1}}$

الخطوة 3: الاختزال

نختزل القوس $(2^{10}+1)$ من البسط والمقام.

$c = \sqrt{2^{20}}$

الخطوة 4: حساب الجذر

$\sqrt{x^n} = x^{n/2}$.

$c = 2^{10}$

2) احسب العبارات التالية:

$e = \sqrt{5}^2 - (-\sqrt{5})^4 \times (-1)^7$

الخطوة 1: حساب كل حد

$\sqrt{5}^2 = 5$.
$(-\sqrt{5})^4 = (\sqrt{5})^4 = 5^2=25$.
$(-1)^7 = -1$.

$e = 5 - (25) \times (-1)$

الخطوة 2: حساب الجداء والجمع

نحترم أولوية العمليات.

$e = 5 - (-25) = 5 + 25$

$e = 30$

$f = \sqrt{0,00005} \times \sqrt{0,02}$

الخطوة 1: تجميع تحت جذر واحد

$\sqrt{x} \times \sqrt{y} = \sqrt{xy}$.

$f = \sqrt{0,00005 \times 0,02}$

الخطوة 2: تحويل إلى كتابة علمية

$0,00005 = 5 \times 10^{-5}$ و $0,02 = 2 \times 10^{-2}$.

$f = \sqrt{(5 \times 10^{-5}) \times (2 \times 10^{-2})}$

الخطوة 3: حساب الجداء وتبسيط الجذر

نجمع قوى العدد 10: $10^{-5} \times 10^{-2} = 10^{-7}$.

$f = \sqrt{10 \times 10^{-7}} = \sqrt{10^{-6}}$

الخطوة 4: تبسيط الجذر التربيعي

$\sqrt{10^{-6}} = (10^{-6})^{\frac{1}{2}} = 10^{-3}$.

$f = 10^{-3}$

الخطوة 5: النتيجة النهائية

نكتب النتيجة النهائية على شكل عشري.

$f = 0.001$

التصحيح التفاعلي الكامل: تمرين رقم 3