احسب ما يلي:
1) $a = 5^{-1} \times \sqrt{2}^2 - \sqrt{3}^2$
2) $b = (\frac{1}{\sqrt{5}-2})^{2012} \times (\sqrt{5}+2)^{2012}$
1) $a = 5^{-1} \times \sqrt{2}^2 - \sqrt{3}^2$
$a = \frac{1}{5} \times 2 - 3$
$a = \frac{2}{5} - 3$
$a = \frac{2}{5} - \frac{15}{5}$
$a = -\frac{13}{5}$
2) $b = (\frac{1}{\sqrt{5}-2})^{2012} \times (\sqrt{5}+2)^{2012}$
$b = (\frac{1}{\sqrt{5}-2} \times (\sqrt{5}+2))^{2012}$
$b = (\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)})^{2012}$
$b = (\frac{\sqrt{5}+2}{5-4})^{2012}$
$b = (\sqrt{5}+2)^{2012}$
اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:
1) $(\frac{\sqrt{2}}{3})^{-7} \times (\frac{2}{9})^2$
2) $\frac{0,00001^3 \times \frac{3}{100}}{0,0003 \times 10^{10}}$
1) $(\frac{\sqrt{2}}{3})^{-7} \times (\frac{2}{9})^2$
$= (\frac{3}{\sqrt{2}})^7 \times (\frac{(\sqrt{2})^2}{3^2})^2$
$= \frac{3^7}{(\sqrt{2})^7} \times \frac{(\sqrt{2})^{2 \times 2}}{(3^2)^2}$
$= \frac{3^7}{(\sqrt{2})^7} \times \frac{(\sqrt{2})^4}{3^4}$
$= \frac{3^{7-4}}{(\sqrt{2})^{7-4}} = \frac{3^3}{(\sqrt{2})^3}$
$= (\frac{3}{\sqrt{2}})^3$
2) $\frac{0,00001^3 \times \frac{3}{100}}{0,0003 \times 10^{10}}$
$= \frac{(10^{-5})^3 \times 3 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-4} \times 10^{10}}$
$= \frac{10^{-15} \times 3 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{6}}$
$= \frac{3 \times 10^{-17}}{3 \times 10^6}$
$= 10^{-17-6}$
$= 10^{-23}$
لتكن العبارة $F = \frac{(a^{-2}b)^3 a^{-3}b^2}{a^{2}b^{-5}(ab^{-6})^{-1}}$ حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان مخالفان للصفر.
1) بين أن $F = a^2b^{-2}$
2) احسب $F$ إذا علمت أن $\frac{a}{b} = 3\sqrt{2}-5$
1) $F = \frac{(a^{-2}b)^3 a^{-3}b^2}{a^{2}b^{-5}(ab^{-6})^{-1}}$
$F = \frac{a^{-6}b^3 a^{-3}b^2}{a^{2}b^{-5}a^{-1}b^{6}}$
$F = \frac{a^{-6-3} b^{3+2}}{a^{2-1} b^{-5+6}}$
$F = \frac{a^{-9} b^{5}}{a^{1} b^{1}}$
$F = a^{-9-1} b^{5-1}$
$F = a^{-10} b^{4}$
ملاحظة: هناك خطأ في نص التمرين الأصلي (المطلوب هو $a^2b^{-2}$).
2) لدينا $F = a^{-10} b^4$
لدينا $\frac{a}{b} = 3\sqrt{2}-5$
نعوض $a = b(3\sqrt{2}-5)$ في العبارة $F$
$F = (b(3\sqrt{2}-5))^{-10} b^4$
$F = b^{-10}(3\sqrt{2}-5)^{-10} b^4$
$F = b^{-6}(3\sqrt{2}-5)^{-10}$
أو يمكننا كتابة $F$ على شكل $(\frac{a}{b})^4 \times a^{-14}$ أو $(\frac{b}{a})^{10} \times b^{14}$
البيانات المعطاة لا تسمح بتبسيط نهائي للعبارة $F$.
لتكن العبارة التالية: $$A = \frac{(3^{2}a^{-3}b^{-6})^{-1} \times 27 \times (ab^{-5})}{ (3a^{-2}b^3)^{4}}$$ 1) بين أن $A = 3^{-1}a^{4}b^{-4}$ 2) احسب $A$ إذا كان $a=\sqrt{7}$ و $\frac{a}{b} = 3$
1) $A = \frac{(3^{2}a^{-3}b^{-6})^{-1} \times 27 \times (ab^{-5})}{ (3a^{-2}b^3)^{4}}$
$A = \frac{3^{-2}a^{3}b^{6} \times 3^3 \times ab^{-5}}{ 3^4 a^{-8} b^{12}}$
$A = \frac{3^{-2+3} a^{3+1} b^{6-5}}{ 3^4 a^{-8} b^{12}}$
$A = \frac{3^{1} a^{4} b^{1}}{ 3^4 a^{-8} b^{12}}$
$A = 3^{1-4} a^{4-(-8)} b^{1-12}$
$A = 3^{-3} a^{12} b^{-11}$
ملاحظة: هناك خطأ في نص التمرين الأصلي (المطلوب هو $3^{-1}a^4b^{-4}$).
2) لدينا $A = 3^{-3} a^{12} b^{-11}$
لدينا $a = \sqrt{7}$ و $\frac{a}{b} = 3$
من $\frac{a}{b}=3$ نستنتج أن $b = \frac{a}{3} = \frac{\sqrt{7}}{3}$
نعوض قيم $a$ و $b$ في العبارة $A$
$A = 3^{-3} (\sqrt{7})^{12} (\frac{\sqrt{7}}{3})^{-11}$
$A = 3^{-3} (7^6) (\frac{3}{\sqrt{7}})^{11}$
$A = 3^{-3} \times 7^6 \times \frac{3^{11}}{(\sqrt{7})^{11}}$
$A = 3^{-3} \times 7^6 \times \frac{3^{11}}{7^{5.5}}$
$A = 3^8 \times 7^{0.5} = 3^8 \sqrt{7}$