التصحيح التفاعلي الكامل: تمرين عدد 4

عن فرض مراقبة عدد 3 مقترح من الأستاذ عماد الدريدي (جانفي 2013)

1

تبسيط وحساب العبارة a

$a = \left[ \frac{(-2)^3}{x \sqrt{2}^8} \right]^{-2}$

أ) الخطوة 1: تبسيط داخل القوس

نحسب القوى داخل القوس أولاً: $(-2)^3 = -8$ و $\sqrt{2}^8 = (\sqrt{2}^2)^4 = 2^4 = 16$.

$a = \left[ \frac{-8}{x \times 16} \right]^{-2}$

أ) الخطوة 2: اختزال الكسر

نختزل الكسر $\frac{-8}{16}$ ليصبح $\frac{-1}{2}$.

$a = \left[ \frac{-1}{2x} \right]^{-2}$

أ) الخطوة 3: تطبيق دليل القوة السالب

دليل القوة السالب يقلب الكسر. فتصبح $\left[ \frac{2x}{-1} \right]^2$ أو ببساطة $(-2x)^2$.

$a = (-2x)^2$

أ) الخطوة 4: النتيجة النهائية للتبسيط

نحسب المربع: $(-2)^2 x^2 = 4x^2$.

$a = 4x^2$

ب) الخطوة 5: حساب قيمة x

الآن نحسب قيمة $x$ العددية: $x = 2^{-2} + 2^{-3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.

$x = \frac{3}{8}$

ب) الخطوة 6: حساب قيمة a

نعوض $x$ بقيمتها في التعبير المبسط $a = 4x^2$.

$a = 4 \times \left(\frac{3}{8}\right)^2 = 4 \times \frac{9}{64} = \frac{36}{64}$

ب) الخطوة 7: اختزال النتيجة النهائية

نختزل الكسر $\frac{36}{64}$ بقسمة البسط والمقام على 4.

$a = \frac{9}{16}$
2

احسب العبارتين التاليتين

$b = -3\sqrt{5}^0 + \sqrt{3}^3 \times 5^{-1}\sqrt{3}$

الخطوة 1: حساب الجزء الأول

نعلم أن أي عدد (غير صفري) قوته صفر يساوي 1. إذن $\sqrt{5}^0=1$.

$-3\sqrt{5}^0 = -3 \times 1 = -3$

الخطوة 2: حساب الجزء الثاني

$\sqrt{3}^3 = \sqrt{3}^2 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$. و $5^{-1} = \frac{1}{5}$.

$\sqrt{3}^3 \times 5^{-1}\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \times \frac{1}{5}\sqrt{3} = \frac{3}{5} \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \times 3 = \frac{9}{5}$

الخطوة 3: تجميع النتائج

نجمع نتيجة الجزئين: $-3 + \frac{9}{5} = -\frac{15}{5} + \frac{9}{5}$.

$b = -\frac{6}{5}$
$c = \left(\frac{10^{-3}}{\sqrt{5}}\right)^{-2} \times \frac{5}{0,01^{-3}}$

الخطوة 1: تبسيط الجزء الأول

نطبق دليل القوة -2 على البسط والمقام: $(\frac{10^{-3}}{\sqrt{5}})^{-2} = \frac{10^6}{(\sqrt{5})^{-2}} = \frac{10^6}{1/5} = 5 \times 10^6$.

الجزء الأول = $5 \times 10^6$

الخطوة 2: تبسيط الجزء الثاني

$0,01 = 10^{-2}$. إذن $0,01^{-3} = (10^{-2})^{-3} = 10^6$.

الجزء الثاني = $\frac{5}{10^6}$

الخطوة 3: تجميع النتائج

نضرب الجزئين: $(5 \times 10^6) \times (\frac{5}{10^6})$. نلاحظ أن $10^6$ تختزل.

$c = 5 \times 5 = 25$
3

اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي

$d = \frac{\sqrt{2}^3}{2} \times \sqrt{12}^4 \times \left(\sqrt{\frac{9}{2}}\right)^{-2}$

الخطوة 1: تبسيط كل جزء

الجزء الأول: $\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
الجزء الثاني: $\sqrt{12}^4 = 12^2 = 144$.
الجزء الثالث: $(\frac{3}{\sqrt{2}})^{-2} = (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{2}{9}$.

$d = \sqrt{2} \times 144 \times \frac{2}{9}$

الخطوة 2: حساب الجداء

نحسب $144 \times \frac{2}{9} = \frac{144}{9} \times 2 = 16 \times 2 = 32$.

$d = \sqrt{2} \times 32$

الخطوة 3: الكتابة في صيغة قوة

نحول كل عدد إلى قوة للأساس 2: $\sqrt{2}=2^{1/2}$ و $32=2^5$.

$d = 2^{1/2} \times 2^5 = 2^{5 + 1/2}$
$d = 2^{11/2}$
$e = 7\sqrt{3}^{-2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{7}\right)^{-2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^{-2}$

الخطوة 1: حساب كل جزء

الجزء الأول: $7\sqrt{3}^{-2} = 7 \times \frac{1}{(\sqrt{3})^2} = 7 \times \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
الجزء الثاني: $(\frac{7}{\sqrt{3}})^2 = \frac{49}{3}$.
الجزء الثالث: $(\frac{5}{\sqrt{3}})^2 = \frac{25}{3}$.

$e = \frac{7}{3} + \frac{49}{3} + \frac{25}{3}$

الخطوة 2: تجميع النتائج

نجمع البسوط لأن المقام موحد.

$e = \frac{7+49+25}{3} = \frac{81}{3} = 27$

الخطوة 3: الكتابة في صيغة قوة

نلاحظ أن 27 هو قوة للعدد 3.

$e = 3^3$