أحسب العبارات التالية:
$$ a = 5^{-1} \times \sqrt{2}^{2} - \sqrt{3}^{2} $$
$$ b = \frac{1}{(\sqrt{5}-2)^{-2012}} \times (\sqrt{5}+2)^{2012} $$
$$ c = \frac{2\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}+1} + \frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}-1} $$
لـ ($a$): تذكر أن $x^{-1} = \frac{1}{x}$ وأن $(\sqrt{x})^2 = x$
لـ ($b$): يمكن كتابة $(\sqrt{5}-2)^{-2012}$ على شكل $(\frac{1}{\sqrt{5}-2})^{2012}$. حاول تبسيط الكسر $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ بضرب البسط والمقام في المرافق.
لـ ($c$): هذه العبارة هي مجموع كسرين. وحد المقامات لجمع الكسرين. المقام المشترك هو $(2\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-1)$.
1. حساب $a$:
2. حساب $b$:
3. حساب $c$:
1. حساب $a$:
$$ a = 5^{-1} \times \sqrt{2}^{2} - \sqrt{3}^{2} $$
$$ a = \frac{1}{5} \times 2 - 3 $$
$$ a = \frac{2}{5} - 3 = \frac{2}{5} - \frac{15}{5} $$
$$ a = -\frac{13}{5} $$
2. حساب $b$:
$$ b = \frac{1}{(\sqrt{5}-2)^{-2012}} \times (\sqrt{5}+2)^{2012} $$
$$ b = (\sqrt{5}-2)^{2012} \times (\sqrt{5}+2)^{2012} $$
$$ b = ((\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2))^{2012} $$
$$ b = (\sqrt{5}^{2} - 2^{2})^{2012} = (5-4)^{2012} $$
$$ b = (1)^{2012} = 1 $$
3. حساب $c$:
$$ c = \frac{2\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}+1} + \frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}-1} $$
$$ c = \frac{(2\sqrt{2}-1)^{2} + (2\sqrt{2}+1)^{2}}{(2\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-1)} $$
$$ c = \frac{(4\times2 - 4\sqrt{2} + 1) + (4\times2 + 4\sqrt{2} + 1)}{(2\sqrt{2})^{2} - 1^{2}} $$
$$ c = \frac{(9 - 4\sqrt{2}) + (9 + 4\sqrt{2})}{8 - 1} $$
$$ c = \frac{18}{7} $$
$$ (\frac{\sqrt{2}}{3})^{-7} \times (\frac{2}{9})^{2} = $$
$$ \frac{0.00001^{3} \times \frac{3}{100}}{0.0003 \times \frac{1}{10^{10}}} = $$
$$ \frac{-5\sqrt{5} \times \sqrt{5}^{4}}{25^{3}} = $$
بالنسبة للتعبير الأول، تذكر أن $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ وأن $2 = (\sqrt{2})^2$.
بالنسبة للتعبير الثاني، حول جميع الأعداد العشرية إلى قوى للعدد 10. تذكر أن $0.00001 = 10^{-5}$ و $0.0003 = 3 \times 10^{-4}$.
بالنسبة للتعبير الثالث، اكتب كل الحدود بدلالة قوة العدد 5. تذكر أن $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ وأن $25 = 5^2$.
1. التعبير الأول:
2. التعبير الثاني:
3. التعبير الثالث:
1. التعبير الأول:
$$ (\frac{\sqrt{2}}{3})^{-7} \times (\frac{2}{9})^{2} = (\frac{3}{\sqrt{2}})^{7} \times (\frac{2}{9})^{2} $$
$$ = (\frac{3}{\sqrt{2}})^{7} \times (\frac{(\sqrt{2})^2}{3^2})^{2} = (\frac{\sqrt{2}}{3})^{-7} \times (\frac{\sqrt{2}}{3})^{4} $$
$$ = (\frac{\sqrt{2}}{3})^{-7+4} = (\frac{\sqrt{2}}{3})^{-3} $$
$$ = (\frac{3}{\sqrt{2}})^{3} $$
2. التعبير الثاني:
$$ \frac{0.00001^{3} \times \frac{3}{100}}{0.0003 \times \frac{1}{10^{10}}} = \frac{(10^{-5})^{3} \times 3 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-4} \times 10^{-10}} $$
$$ = \frac{10^{-15} \times 3 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-14}} = \frac{3 \times 10^{-17}}{3 \times 10^{-14}} $$
$$ = 10^{-17 - (-14)} = 10^{-3} $$
3. التعبير الثالث:
$$ \frac{-5\sqrt{5} \times \sqrt{5}^{4}}{25^{3}} = - \frac{5^{1} \times 5^{1/2} \times (5^{1/2})^{4}}{(5^2)^{3}} $$
$$ = - \frac{5^{1} \times 5^{0.5} \times 5^{2}}{5^{6}} = - \frac{5^{1+0.5+2}}{5^{6}} = - \frac{5^{3.5}}{5^{6}} $$
$$ = -5^{3.5-6} = -5^{-2.5} $$
لتكن العبارة $F$ حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان و مخالفان للصفر:
$$ F = \frac{(a^{-2}b)^{-3} a^{-3}b^{2}}{a^{2}b^{-5}(ab^{-6})^{-1}} $$
بين أن $F = a^{2}b^{-2}$.
استخدم خصائص قوى الأعداد الحقيقية. تذكر أن $(x^n)^m = x^{n \times m}$ وأن $(xy)^n = x^n y^n$.
لتبسيط الكسر، قم بتبسيط البسط والمقام بشكل منفصل أولاً، ثم قم بجمع وطرح الأدلة المتشابهة.
1. تبسيط البسط:
2. تبسيط المقام:
3. تبسيط الكسر:
$$ F = \frac{(a^{-2}b)^{-3} a^{-3}b^{2}}{a^{2}b^{-5}(ab^{-6})^{-1}} $$
تبسيط البسط:
$$ (a^{-2}b)^{-3} a^{-3}b^{2} = (a^{-2 \times (-3)} b^{-3}) a^{-3}b^{2} $$
$$ = (a^{6} b^{-3}) a^{-3}b^{2} = a^{6+(-3)} b^{-3+2} = a^{3} b^{-1} $$
تبسيط المقام:
$$ a^{2}b^{-5}(ab^{-6})^{-1} = a^{2}b^{-5}(a^{-1}b^{-6 \times (-1)}) $$
$$ = a^{2}b^{-5}a^{-1}b^{6} = a^{2+(-1)} b^{-5+6} = a^{1} b^{1} $$
تبسيط الكسر:
$$ F = \frac{a^{3} b^{-1}}{a^{1} b^{1}} = a^{3-1} b^{-1-1} = a^{2}b^{-2} $$
أحسب $F$ إذا علمت أن: $$ \frac{a}{b} = 3\sqrt{2}-5 $$ ثم إذا علمت أن: $$ a = b $$
استخدم النتيجة من السؤال السابق: $F = a^2b^{-2}$.
تذكر أن $b^{-2} = \frac{1}{b^2}$، مما يعني أن $F = \frac{a^2}{b^2}$.
يمكن كتابة $\frac{a^2}{b^2}$ على شكل $(\frac{a}{b})^2$.
1. الحالة الأولى:
2. الحالة الثانية:
من السؤال السابق، لدينا $F = a^{2}b^{-2}$.
$$ F = a^{2} \times \frac{1}{b^{2}} = \frac{a^{2}}{b^{2}} = (\frac{a}{b})^{2} $$
1. إذا علمت أن $\frac{a}{b} = 3\sqrt{2}-5$:
$$ F = (\frac{a}{b})^{2} = (3\sqrt{2}-5)^{2} $$
$$ = (3\sqrt{2})^{2} - 2(3\sqrt{2})(5) + 5^{2} $$
$$ = (9 \times 2) - 30\sqrt{2} + 25 = 18 - 30\sqrt{2} + 25 $$
$$ F = 43 - 30\sqrt{2} $$
2. إذا علمت أن $a=b$:
بما أن $a$ و $b$ عددان غير صفريين، فإن:
$$ \frac{a}{b} = 1 $$
إذن:
$$ F = (\frac{a}{b})^{2} = 1^{2} = 1 $$