استكشاف أسرار الرياضيات المتقدمة في عالم القوى والجذور
اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:
$$A = \left(2\sqrt{3}^{-1} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$
$$B = \frac{\left(\frac{-2\sqrt{3}}{3}\right)^{-1} + \sqrt{12}}{\sqrt{27}^{-1}}$$
للتعبير A: لاحظ أن $\sqrt{3}^{-1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ و $2\sqrt{3}^{-1} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
للتعبير B: استخدم $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ و $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
عندما تواجه جذور معقدة، ابحث عن العوامل المربعة الكاملة! $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ هذا يبسط كل شيء!
$A = \left(2\sqrt{3}^{-1} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$
$= \left(\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$
لتوحيد المقامات، نضرب الجزء الأول في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$:
$= \left(\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$
المقام المشترك هو 6:
$= \left(\frac{4\sqrt{3}}{6} - \frac{3\sqrt{3}}{6}\right)^2$
$= \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$
$B = \frac{\left(\frac{-2\sqrt{3}}{3}\right)^{-1} + \sqrt{12}}{\sqrt{27}^{-1}}$
البسط: $\left(\frac{-2\sqrt{3}}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{-2\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}}$
و $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
البسط = $\frac{-3}{2\sqrt{3}} + 2\sqrt{3}$
لتوحيد: $= \frac{-3 + 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{-3 + 12}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{2\sqrt{3}}$
المقام: $\sqrt{27}^{-1} = \frac{1}{\sqrt{27}} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$
$B = \frac{\frac{9}{2\sqrt{3}}}{\frac{1}{3\sqrt{3}}} = \frac{9}{2\sqrt{3}} \times 3\sqrt{3} = \frac{27}{2} = 13.5$
$A = \frac{1}{12} = 12^{-1}$
أو يمكن كتابتها كـ: $A = 3^{-1} \times 4^{-1} = 3^{-1} \times 2^{-2}$
الشكل الأبسط: $A = 12^{-1}$
$B = \frac{27}{2} = 27 \times 2^{-1}$
$= 3^3 \times 2^{-1}$
الشكل النهائي: $B = \frac{27}{2}$ أو $27 \times 2^{-1}$
لاحظ كيف حولنا تعابير معقدة جداً إلى أرقام بسيطة! السر في التعامل مع الجذور هو إيجاد العوامل المربعة الكاملة، والسر في القوى السالبة هو قلب الكسور. عندما نجمع هذين السرين، تصبح أصعب المسائل سهلة!
المعطيات: $a \in \mathbb{R}^*$ و $b \in \mathbb{R}^*$
$$E = \frac{\left(-\sqrt{2a^2}\right)^3 \times \sqrt{3} \cdot a^{-4}}{\sqrt{6 \cdot a^{-2}}}$$
$$F = \frac{(a^2b^3)^3 \times a^2 b^{-11}}{a^{-3}\left(\frac{b}{a}\right)^{-2}}$$
خدعة الجذور: $\sqrt{a^2} = |a|$، وإذا كان $a > 0$ فإن $\sqrt{a^2} = a$
سر القسمة: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ هذا يبسط القوى!
في التعابير المعقدة، ابدأ بتبسيط القوى أولاً، ثم الجذور، ثم اجمع الأدلة المتشابهة. هذا الترتيب يوفر الكثير من الوقت!
$E = \frac{\left(-\sqrt{2a^2}\right)^3 \times \sqrt{3} \cdot a^{-4}}{\sqrt{6 \cdot a^{-2}}}$
البسط: $(-\sqrt{2a^2})^3 = -(\sqrt{2})^3 \times (a^2)^{3/2} = -2\sqrt{2} \times a^3$
البسط كاملاً: $-2\sqrt{2} \times a^3 \times \sqrt{3} \times a^{-4} = -2\sqrt{6} \times a^{-1}$
المقام: $\sqrt{6 \cdot a^{-2}} = \sqrt{6} \times a^{-1}$
$E = \frac{-2\sqrt{6} \times a^{-1}}{\sqrt{6} \times a^{-1}} = -2$
$E = \frac{(-\sqrt{2a^2})^3 \times \sqrt{3} \cdot a^{-4}}{\sqrt{6a^{-2}}}$
لنفترض أن $a > 0$: $\sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
البسط: $(-a\sqrt{2})^3 = -a^3 \times 2\sqrt{2}$
البسط كاملاً: $-a^3 \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{3} \times a^{-4} = -2\sqrt{6} \times a^{-1}$
المقام: $\sqrt{6a^{-2}} = \sqrt{6} \times a^{-1}$
$E = \frac{-2\sqrt{6} \times a^{-1}}{\sqrt{6} \times a^{-1}} = -2$
$F = \frac{(a^2b^3)^3 \times a^2 b^{-11}}{a^{-3}(\frac{b}{a})^{-2}}$
البسط: $(a^2b^3)^3 = a^6b^9$ و $a^2b^{-11}$
البسط كاملاً: $a^6b^9 \times a^2b^{-11} = a^8b^{-2}$
المقام: $a^{-3} \times (\frac{b}{a})^{-2} = a^{-3} \times \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^{-1}}{b^2}$
$F = \frac{a^8b^{-2}}{\frac{a^{-1}}{b^2}} = a^8b^{-2} \times \frac{b^2}{a^{-1}} = a^9$
إذا كان المطلوب إثبات $E = -2a^4$، فربما يكون التعبير الأصلي مختلفاً قليلاً:
دعنا نفترض أن التعبير هو:
$E = \frac{(-\sqrt{2}a^2)^3 \times \sqrt{3} \cdot a^{-4}}{\sqrt{6 \cdot a^{-2}}}$
البسط: $(-\sqrt{2})^3 \times (a^2)^3 = -2\sqrt{2} \times a^6$
البسط كاملاً: $-2\sqrt{2} \times a^6 \times \sqrt{3} \times a^{-4} = -2\sqrt{6} \times a^2$
المقام: $\sqrt{6a^{-2}} = \sqrt{6} \times a^{-1}$
$E = \frac{-2\sqrt{6} \times a^2}{\sqrt{6} \times a^{-1}} = -2a^3$
إذا استخدمنا النتيجة $E = -2$ (من حساباتنا الأولى):
$E = -2$ (مستقلة عن قيمة a)
وإذا استخدمنا $E = -2a^3$:
$E = -2(\sqrt{3})^3 = -2 \times 3\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$
إذا كان $E = -2a^4$ كما هو مطلوب:
$E = -2(1 + \sqrt{2})^4$
$(1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$
$(1 + \sqrt{2})^4 = (3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$
$E = -2(17 + 12\sqrt{2}) = -34 - 24\sqrt{2}$
إذا كان $E = -2a^4$ و $F = a^{-3}$:
$-2a^4 = a^{-3}$
$-2a^4 = \frac{1}{a^3}$
$-2a^7 = 1$
$a^7 = -\frac{1}{2}$
$a = \sqrt[7]{-\frac{1}{2}}$
في المسائل المعقدة، أهم شيء هو الدقة في قراءة التعبير والتعامل مع الإشارات. دليل القوة الفردي يحافظ على الإشارة السالبة، والدليل الزوجي يجعلها موجبة. هذا التفصيل الدقيق يحدد الإجابة كاملاً!