اكتشف أسرار الرياضيات المخفية في القوى والجذور
المعطيات: $a$ و $b$ عددان حقيقيان مخالفان للصفر
$$F = \frac{b^6}{a^{-1}} + \frac{b^6 \cdot a}{(b^6 \cdot a)^{-1} \cdot b^2}$$
$$E = \left[(-\sqrt{2})^4\right] \times (2ab)^{-3}$$
للتعبير E: لاحظ أن $(-\sqrt{2})^4 = (\sqrt{2})^4$ لأن دليل القوة زوجي
للتعبير F: استخدم قانون القوى السالبة لتبسيط المقام
عندما تواجه قوى سالبة، اقلبها إلى موجبة وانقل إلى المقام - هذا يسهل كل شيء!
$E = [(-\sqrt{2})^4] \times (2ab)^{-3}$
$= (\sqrt{2})^4 \times (2ab)^{-3}$ (دليل القوة زوجي)
$= 4 \times \frac{1}{(2ab)^3}$
$= 4 \times \frac{1}{8a^3b^3}$
$= \frac{4}{8a^3b^3} = \frac{1}{2a^3b^3} = 2^{-1}a^{-3}b^{-3}$
$F = \frac{b^6}{a^{-1}} + \frac{b^6 \cdot a}{(b^6 \cdot a)^{-1} \cdot b^2}$
الجزء الأول: $\frac{b^6}{a^{-1}} = b^6 \times a = ab^6$
الجزء الثاني: $\frac{b^6 \cdot a}{(b^6 \cdot a)^{-1} \cdot b^2} = \frac{ab^6}{\frac{1}{ab^6} \times b^2} = \frac{ab^6}{\frac{b^2}{ab^6}} = \frac{(ab^6)^2}{b^2} = \frac{a^2b^{12}}{b^2} = a^2b^{10}$
إذن: $F = ab^6 + a^2b^{10} = ab^6(1 + ab^4) = ab^6 + a^2b^{10}$
$E = [(-\sqrt{2})^4] \times (2ab)^{-3}$
$(-\sqrt{2})^4 = ((\sqrt{2})^2)^2 = (2)^2 = 4$
$(2ab)^{-3} = \frac{1}{(2ab)^3} = \frac{1}{8a^3b^3}$
$E = 4 \times \frac{1}{8a^3b^3} = \frac{4}{8a^3b^3} = \frac{1}{2a^3b^3}$
أو بشكل أسي: $E = \frac{1}{2} \times a^{-3} \times b^{-3} = 2^{-1}a^{-3}b^{-3}$
لكن المطلوب: $E = 2^3 a^{-3} b^{-3} = 8a^{-3}b^{-3}$
إذا كان $E = 2^3 a^{-3} b^{-3} = \frac{8}{a^3b^3}$
وحسابنا أعطى $E = \frac{1}{2a^3b^3}$
هذا يعني أن التعبير الأصلي قد يكون مختلفاً قليلاً
$F = \frac{b^6}{a^{-1}} + \frac{b^6 \cdot a}{(b^6 \cdot a)^{-1} \cdot b^2}$
الجزء الأول: $\frac{b^6}{a^{-1}} = b^6 \times a = ab^6$
الجزء الثاني: $\frac{b^6a}{(b^6a)^{-1} \cdot b^2} = \frac{b^6a}{\frac{b^2}{b^6a}} = \frac{(b^6a)^2}{b^2} = \frac{a^2b^{12}}{b^2} = a^2b^{10}$
$F = ab^6 + a^2b^{10}$
لا نحصل على $F = 2a^2b^{10}$ مباشرة
باستخدام القيم المفترضة:
$E^2 = (2^3 a^{-3} b^{-3})^2 = 2^6 a^{-6} b^{-6}$
$F^3 = (2a^2b^{10})^3 = 2^3 a^6 b^{30}$
$\frac{E^2}{F^3} = \frac{2^6 a^{-6} b^{-6}}{2^3 a^6 b^{30}} = \frac{2^3}{a^{12} b^{36}}$
$\sqrt{\frac{E^2}{F^3}} = \sqrt{\frac{8}{a^{12} b^{36}}} = \frac{2\sqrt{2}}{a^6 b^{18}}$
القوى السالبة ليست معقدة - هي مجرد طريقة أنيقة لكتابة الكسور! $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ هذا القانون البسيط يحل معظم المسائل.
المعطى: $x \in \mathbb{R}^*$
$$P = \frac{x^{-4}}{5} \times \sqrt{5 \cdot x^4}$$
خدعة التبسيط: $\sqrt{5x^4} = \sqrt{5} \times \sqrt{x^4}$
سر القوى: $x^{-4} = \frac{1}{x^4}$ والجذر التربيعي يلغي التربيع!
عندما تضرب قوة سالبة في جذر، ابحث عن طرق للتبسيط - غالباً ما تلغي بعضها البعض!
$P = \frac{x^{-4}}{5} \times \sqrt{5 \cdot x^4}$
$= \frac{1}{5x^4} \times \sqrt{5x^4}$
$= \frac{\sqrt{5x^4}}{5x^4}$
نعلم أن $\sqrt{x^4} = x^2$ (لأن $x \neq 0$)
$= \frac{\sqrt{5} \cdot x^2}{5x^4} = \frac{\sqrt{5}}{5x^2}$
$P = \frac{x^{-4}}{5} \times \sqrt{5x^4}$
دعنا نكتبها بشكل مختلف:
$= x^{-4} \times \frac{\sqrt{5x^4}}{5}$
$= x^{-4} \times \frac{\sqrt{5} \cdot |x^2|}{5}$
بما أن $x \in \mathbb{R}^*$ فإن $|x^2| = x^2$
$= x^{-4} \times \frac{\sqrt{5} \cdot x^2}{5}$
$= \frac{\sqrt{5} x^2}{5 x^4} = \frac{\sqrt{5}}{5 x^2}$
$P = \frac{x^{-4}}{5} \times \sqrt{5 \cdot x^4}$
لنكتب هذا كالتالي:
$P = \frac{1}{5} \times \frac{1}{x^4} \times \sqrt{5x^4}$
$= \frac{1}{5} \times \frac{\sqrt{5x^4}}{x^4}$
$= \frac{1}{5} \times \frac{\sqrt{5} \sqrt{x^4}}{x^4}$
$= \frac{1}{5} \times \frac{\sqrt{5} \cdot x^2}{x^4}$ (بما أن $\sqrt{x^4} = x^2$ لـ $x \neq 0$)
$= \frac{\sqrt{5}}{5x^2}$
ربما يكون التعبير:
$P = \frac{x^{-4}}{5} \times \sqrt{5 \cdot x^4}$
أو ربما:
$P = x^{-4} \times 5 \times \sqrt{5 \cdot x^4}$
دعنا نجرب الثاني:
$P = \frac{5\sqrt{5x^4}}{x^4} = \frac{5\sqrt{5}x^2}{x^4} = \frac{5\sqrt{5}}{x^2}$
إذا استخدمنا $P = \frac{\sqrt{5}}{5x^2}$:
$P = \frac{\sqrt{5}}{5(\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{5}}{5 \times 5} = \frac{\sqrt{5}}{25}$
هذا يتطلب إعادة تفسير التعبير الأصلي...
ربما يكون المقصود:
$P = x^{-4} \times 5 \times \sqrt{5x^4}$
$= \frac{5\sqrt{5x^4}}{x^4} = \frac{5\sqrt{5}|x^2|}{x^4}$
إذا كان $x > 0$: $P = \frac{5\sqrt{5}x^2}{x^4} = \frac{5\sqrt{5}}{x^2}$
عند التعامل مع الجذور والقوى، انتبه دائماً لإشارة المتغير! $\sqrt{x^2} = |x|$ وليس $x$ دائماً. هذا التفصيل الصغير يغير كل شيء!
إذا كان $P = \frac{1}{5\sqrt{5}}$ و $P = \frac{\sqrt{5}}{5x^2}$
$\frac{\sqrt{5}}{5x^2} = \frac{1}{5\sqrt{5}}$
$\sqrt{5} \times 5\sqrt{5} = 5x^2$
$25 = 5x^2$
$x^2 = 5$
$x = \pm\sqrt{5}$