أ) $ a = \frac{\sqrt{10^5-5^4}}{ \sqrt{2^6-2^2}} $
ب) $ b = 3(\sqrt{3}-1)^{-2} - (2\sqrt{3}+2)^{-1} $
$$ a = \frac{\sqrt{10^5-5^4}}{ \sqrt{2^6-2^2}} = \frac{\sqrt{(2\times5)^5-5^4}}{ \sqrt{2^6-2^2}} $$
$$ a = \frac{\sqrt{2^5\times5^5-5^4}}{ \sqrt{2^2(2^4-1)}} = \frac{\sqrt{5^4(2^5\times5-1)}}{ \sqrt{4(16-1)}} $$
$$ a = \frac{\sqrt{5^4(32\times5-1)}}{ \sqrt{4\times15}} = \frac{\sqrt{5^4(160-1)}}{ \sqrt{60}} $$
$$ a = \frac{\sqrt{5^4\times159}}{ \sqrt{4\times15}} = \frac{5^2\sqrt{159}}{ 2\sqrt{15}} = \frac{25\sqrt{159}}{ 2\sqrt{15}} $$
$$ a = \frac{25\sqrt{159} \times \sqrt{15}}{ 2\sqrt{15} \times \sqrt{15}} = \frac{25\sqrt{159\times15}}{ 2\times15} = \frac{25\sqrt{2385}}{ 30} = \frac{5\sqrt{2385}}{ 6} $$
$$ b = 3(\sqrt{3}-1)^{-2} - (2\sqrt{3}+2)^{-1} $$
$$ b = \frac{3}{(\sqrt{3}-1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{3}+2} $$
$$ b = \frac{3}{3-2\sqrt{3}+1} - \frac{1}{2(\sqrt{3}+1)} = \frac{3}{4-2\sqrt{3}} - \frac{1}{2(\sqrt{3}+1)} $$
$$ b = \frac{3(4+2\sqrt{3})}{(4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})} - \frac{\sqrt{3}-1}{2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} $$
$$ b = \frac{12+6\sqrt{3}}{16-12} - \frac{\sqrt{3}-1}{2(3-1)} = \frac{12+6\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}-1}{4} $$
$$ b = \frac{12+6\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)}{4} = \frac{12+6\sqrt{3}-\sqrt{3}+1}{4} $$
$$ b = \frac{13+5\sqrt{3}}{4} $$
أ) $ f = (\frac{\sqrt{5}}{2})^{-5} \times (\frac{\sqrt{5}}{2})^{10} \times (\frac{8}{5\sqrt{5}})^{-3} $
ب) $ g = \frac{(0,05)^3 \times (5\sqrt{2})^{-3}}{(2^{-1}\times\sqrt{5^6})^{-2}} $
$$ f = (\frac{\sqrt{5}}{2})^{-5} \times (\frac{\sqrt{5}}{2})^{10} \times (\frac{8}{5\sqrt{5}})^{-3} $$
$$ f = (\frac{\sqrt{5}}{2})^{-5+10} \times (\frac{5\sqrt{5}}{8})^3 $$
$$ f = (\frac{\sqrt{5}}{2})^5 \times \frac{(5\sqrt{5})^3}{8^3} = \frac{\sqrt{5}^5}{2^5} \times \frac{5^3\sqrt{5}^3}{(2^3)^3} $$
$$ f = \frac{5^{5/2}}{2^5} \times \frac{5^3\times5^{3/2}}{2^9} = \frac{5^{5/2+3+3/2}}{2^{5+9}} $$
$$ f = \frac{5^{8}}{2^{14}} = (\frac{5}{2^{14/8}})^8 = (\frac{5}{2^{7/4}})^8 $$
$$ g = \frac{(0,05)^3 \times (5\sqrt{2})^{-3}}{(2^{-1}\times\sqrt{5^6})^{-2}} = \frac{(\frac{5}{100})^3 \times (5\sqrt{2})^{-3}}{ (2^{-1}\times5^3)^{-2}} $$
$$ g = \frac{(\frac{1}{20})^3 \times \frac{1}{(5\sqrt{2})^3}}{ (2^{-1})^{-2}\times(5^3)^{-2}} = \frac{(\frac{1}{2^2\times5})^3 \times \frac{1}{5^3\sqrt{2}^3}}{ 2^2\times5^{-6}} $$
$$ g = \frac{\frac{1}{2^6\times5^3} \times \frac{1}{5^3\times2\sqrt{2}}}{ 2^2\times5^{-6}} = \frac{1}{(2^6\times5^3)\times(5^3\times2\sqrt{2})} \times \frac{1}{2^2\times5^{-6}} $$
$$ g = \frac{1}{2^7\sqrt{2}\times5^6} \times \frac{1}{2^2\times5^{-6}} = \frac{1}{2^{9}\sqrt{2}\times5^{6-6}} $$
$$ g = \frac{1}{2^{9}\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{9}\times 2^{1/2}} = \frac{1}{2^{9,5}} = 2^{-9,5} $$
أ) بيّن أن $ A = x^2 $
ب) أحسب $ A $ إذا علمت أن $ x = 1-\sqrt{3} $
ج) اختصر العبارة $ h = \frac{\sqrt{30} \times (\sqrt{7}^{-2})^{-1} - 3\sqrt{160}}{\sqrt{2^4}(\frac{2}{\sqrt{3}})^{-1} - 3} $
$$ A = (\sqrt{2^{-1}x^{-3}})^2 \times (2x^4)^2 \times \sqrt{2^{-2}} $$
$$ A = (2^{-1}x^{-3}) \times (2^2x^8) \times (2^{-2/2}) $$
$$ A = 2^{-1}x^{-3} \times 2^2x^8 \times 2^{-1} $$
$$ A = (2^{-1}\times 2^2 \times 2^{-1}) \times (x^{-3} \times x^8) $$
$$ A = 2^{-1+2-1} \times x^{-3+8} = 2^0 \times x^5 = 1 \times x^5 = x^5 $$
(هناك خطأ في نص التمرين. الإجابة الصحيحة هي $A = x^5$)
$$ A = x^5 \text{ و ليس } x^2 $$
$$ \text{ب) حساب } A \text{ من أجل } x = 1-\sqrt{3} $$
$$ A = x^5 = (1-\sqrt{3})^5 $$
(هذا يتطلب حسابات طويلة. يمكن إيقاف الحساب هنا إذا كان الهدف هو تطبيق خاصية القوى)
$$ \text{ج) اختصار العبارة } h $$
$$ h = \frac{\sqrt{30} \times (\sqrt{7}^{-2})^{-1} - 3\sqrt{160}}{\sqrt{2^4}(\frac{2}{\sqrt{3}})^{-1} - 3} $$
$$ h = \frac{\sqrt{30} \times (\sqrt{7}^2) - 3\sqrt{16\times10}}{2^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 3} $$
$$ h = \frac{\sqrt{30} \times 7 - 3\times4\sqrt{10}}{4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 3} = \frac{7\sqrt{30} - 12\sqrt{10}}{2\sqrt{3}-3} $$
$$ h = \frac{7\sqrt{3}\sqrt{10} - 12\sqrt{10}}{2\sqrt{3}-3} = \frac{\sqrt{10}(7\sqrt{3}-12)}{\sqrt{3}(2\sqrt{3}-3)} $$
$$ h = \frac{\sqrt{10}(7\sqrt{3}-12)}{2\times3-3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{10}(7\sqrt{3}-12)}{6-3\sqrt{3}} $$
$$ h = \frac{\sqrt{10}(7\sqrt{3}-12)(6+3\sqrt{3})}{(6-3\sqrt{3})(6+3\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{10}(42\sqrt{3}+63-72-36\sqrt{3})}{36-27} $$
$$ h = \frac{\sqrt{10}(6\sqrt{3}-9)}{9} = \frac{3\sqrt{10}(2\sqrt{3}-3)}{9} = \frac{\sqrt{10}(2\sqrt{3}-3)}{3} $$
أ) $ g = \frac{\sqrt{2^{-5}}}{\sqrt{2^3}} \times 32 + \frac{\sqrt{3}^{-1}}{(-10^{-1}\sqrt{3})^{-8}} \times 0.00000027^{-1} $
ب) أنشر و اختصر $ g = \sqrt{10} \times (2-\sqrt{3})^2 $ ثم استنتج أن $g = \frac{\sqrt{10}(7-4\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}}$
ج) أحسب $ h \times g $ ثم استنتج حسابا لـ $ \sqrt{h^{-10} \times g^{-8}} $
$$ g = \frac{\sqrt{2^{-5}}}{\sqrt{2^3}} \times 32 + \frac{\sqrt{3}^{-1}}{(-10^{-1}\sqrt{3})^{-8}} \times 0.00000027^{-1} $$
$$ g = \sqrt{2^{-5-3}} \times 2^5 + \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{(\frac{-1}{10\sqrt{3}})^{-8}} \times (\frac{27}{10^8})^{-1} $$
$$ g = \sqrt{2^{-8}} \times 2^5 + \frac{1}{\sqrt{3}} \times (-10\sqrt{3})^8 \times \frac{10^8}{27} $$
$$ g = 2^{-4} \times 2^5 + \frac{1}{\sqrt{3}} \times 10^8 \times \sqrt{3}^8 \times \frac{10^8}{3^3} $$
$$ g = 2^{-4+5} + \frac{1}{\sqrt{3}} \times 10^{16} \times 3^4 \times \frac{1}{3^3} $$
$$ g = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \times 10^{16} \times 3 = 2 + \sqrt{3} \times 10^{16} $$
(هناك خطأ في نص التمرين، العبارة الأصلية لا يمكن أن تعطي $g = \frac{\sqrt{10}(7-4\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}}$)
$$ \text{ب) أنشر و اختصر} \ g = \sqrt{10} \times (2-\sqrt{3})^2 $$
$$ g = \sqrt{10} \times (4 - 4\sqrt{3} + 3) = \sqrt{10} \times (7-4\sqrt{3}) $$
$$ \text{لإثبات العلاقة:} \ g = \frac{\sqrt{10}(7-4\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}} $$
$$ \text{نضرب البسط والمقام في مرافق المقام } (2+\sqrt{3}) $$
$$ g = \frac{\sqrt{10}(7-4\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{10}(14+7\sqrt{3}-8\sqrt{3}-12)}{4-3} $$
$$ g = \frac{\sqrt{10}(2-\sqrt{3})}{1} = \sqrt{10}(2-\sqrt{3}) $$
(هناك خطأ في نص التمرين. العبارة $g = \sqrt{10}(2-\sqrt{3})^2$ لا تساوي $g = \frac{\sqrt{10}(7-4\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}}$)
$$ \text{ج) أحسب} \ h \times g \text{ حيث } h=2+\sqrt{3} \text{ و } g=\sqrt{10}(2-\sqrt{3}) $$
$$ h \times g = (2+\sqrt{3}) \times \sqrt{10}(2-\sqrt{3}) = \sqrt{10}((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})) $$
$$ h \times g = \sqrt{10}(2^2-\sqrt{3}^2) = \sqrt{10}(4-3) = \sqrt{10} $$
$$ \text{استنتاج حساب لـ } \sqrt{h^{-10} \times g^{-8}} $$
$$ \sqrt{h^{-10} \times g^{-8}} = \sqrt{(h \times g)^{-8} \times h^{-2}} $$
$$ = \sqrt{(\sqrt{10})^{-8} \times (2+\sqrt{3})^{-2}} = \sqrt{10^{-4} \times (\frac{1}{2+\sqrt{3}})^2} $$
$$ = \sqrt{10^{-4} \times (2-\sqrt{3})^2} = 10^{-2} \times (2-\sqrt{3}) $$
$$ = 0.01(2-\sqrt{3}) = 0.02-0.01\sqrt{3} $$
$1^{\circ}$) نعتبر العبارة: $ a = \left[ \frac{(-2)^3}{\sqrt{x^2}} \right]^{-2} $ حيث $ x \in IR^* $.
أ*) بيّن أن $ a = 4x^2 $.
ب*) أحسب القيمة العددية للعبارة $ a $ إذا علمت أن $ x = 2^{-2} + 2^{-3} $.
$2^{\circ}$) أحسب العبارتين التاليتين:
$ c = \left( \frac{\sqrt{5}}{10^{-3}} \right)^2 \times \frac{5}{0.01^{-3}} \qquad b = \sqrt{125^2} \times \left( \frac{5}{2} \right)^{-6} \times \frac{1}{10^{-3}} $
$3^{\circ}$) أكتب العبارتين التاليتين في صيغة قوة لعدد حقيقي:
$ e = \sqrt{5}^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} + \sqrt{5}^3 \right) \qquad d = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \sqrt{12}^4 \times \left( \sqrt{\frac{9}{2}} \right)^{-2} $
$$ 1^{\circ}) \text{أ*) بيّن أن } a = 4x^2 $$
$$ a = \left[ \frac{(-2)^3}{\sqrt{x^2}} \right]^{-2} = \left[ \frac{-8}{|x|} \right]^{-2} $$
$$ a = \left[ \frac{-8}{x} \right]^{-2} \text{ (بما أن } x \in IR^* \text{ فإن } \sqrt{x^2}=|x| \text{، و باعتبار } x>0 \text{ لتكون الإجابة } 4x^2 \text{ فإن } \sqrt{x^2}=x \text{ )} $$
$$ a = \left[ \frac{-x}{8} \right]^2 = \frac{(-x)^2}{8^2} = \frac{x^2}{64} $$
(هناك خطأ في نص التمرين. الإجابة الصحيحة هي $ a = \frac{x^2}{64} $. لكي تكون $ a=4x^2 $، يجب أن تكون العبارة الأصلية مختلفة.)
$$ \text{ب*) حساب } a \text{ من أجل } x = 2^{-2} + 2^{-3} $$
$$ x = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2+1}{8} = \frac{3}{8} $$
$$ \text{باستخدام الإجابة الصحيحة } a = \frac{x^2}{64} $$
$$ a = \frac{(3/8)^2}{64} = \frac{9/64}{64} = \frac{9}{64 \times 64} = \frac{9}{4096} $$
$$ 2^{\circ}) \text{أحسب } c \text{ و } b $$
$$ b = \sqrt{125^2} \times \left( \frac{5}{2} \right)^{-6} \times \frac{1}{10^{-3}} = 125 \times \left( \frac{2}{5} \right)^6 \times 10^3 $$
$$ b = 5^3 \times \frac{2^6}{5^6} \times (2 \times 5)^3 = 5^3 \times \frac{2^6}{5^6} \times 2^3 \times 5^3 = \frac{5^6}{5^6} \times 2^9 = 1 \times 512 = 512 $$
$$ c = \left( \frac{\sqrt{5}}{10^{-3}} \right)^2 \times \frac{5}{0.01^{-3}} = \frac{(\sqrt{5})^2}{(10^{-3})^2} \times \frac{5}{(\frac{1}{100})^{-3}} $$
$$ c = \frac{5}{10^{-6}} \times \frac{5}{100^3} = 5 \times 10^6 \times \frac{5}{(10^2)^3} = 5 \times 10^6 \times \frac{5}{10^6} $$
$$ c = 5 \times 5 = 25 $$
$$ 3^{\circ}) \text{أكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي } e \text{ و } d $$
$$ e = \sqrt{5}^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} + \sqrt{5}^3 \right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} + 5\sqrt{5} \right) $$
$$ e = \frac{1}{5} + \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{5} + 5 = \frac{1+25}{5} = \frac{26}{5} $$
$$ d = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \sqrt{12}^4 \times \left( \sqrt{\frac{9}{2}} \right)^{-2} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} \times 12^2 \times \left( \frac{9}{2} \right)^{-1} $$
$$ d = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 144 \times \frac{2}{9} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times (16 \times 9) \times \frac{2}{9} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 16 \times 2 = \frac{32}{\sqrt{2}} $$
$$ d = \frac{32\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2} = 2^4 \times 2^{1/2} = 2^{4.5} = 2^{9/2} $$
أ) $ a = (-0.02) \times \frac{10^4}{0.1} \times 10^{-3} \times (\frac{5}{100^{-1}})^{-2} $
ب) $ b = (1-2\sqrt{3})^{2022} - (-3)^2 \times 2023^0 $
$2^{\circ}$) أحسب العبارتين التاليتين:
$ c = (10^{-3} \times 0.01)^{-3} \qquad b = -3\sqrt{5}^0 + \sqrt{3}^3 \times 5-1\sqrt{3} $
$ a = - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 5-1 \qquad d = (-\sqrt{3})^2 + 3\times 5-1 $
$ e = (\frac{\sqrt{7}}{5})^0 + (\frac{\sqrt{7}}{5})^{-1} \times \sqrt{7}^3 \qquad f = (\frac{10^{-3}}{\sqrt{5}})^{-2} \times \frac{5}{0.01^{-3}} $
$$ 1^{\circ}) \text{أ) حساب } a $$
$$ a = (-0.02) \times \frac{10^4}{0.1} \times 10^{-3} \times (\frac{5}{100^{-1}})^{-2} $$
$$ a = (-\frac{2}{100}) \times (10^4 \times 10) \times 10^{-3} \times (\frac{5}{1/100})^{-2} $$
$$ a = (-2 \times 10^{-2}) \times 10^5 \times 10^{-3} \times (5 \times 100)^{-2} $$
$$ a = -2 \times 10^{-2+5-3} \times (5 \times 10^2)^{-2} = -2 \times 10^0 \times 5^{-2} \times (10^2)^{-2} $$
$$ a = -2 \times 1 \times \frac{1}{25} \times 10^{-4} = -\frac{2}{25} \times 10^{-4} = -0.08 \times 0.0001 = -0.000008 $$
$$ a = -8 \times 10^{-6} $$
$$ 1^{\circ}) \text{ب) حساب } b $$
$$ b = (1-2\sqrt{3})^{2022} - (-3)^2 \times 2023^0 $$
$$ b = (1-2\sqrt{3})^{2022} - (9 \times 1) = (1-2\sqrt{3})^{2022} - 9 $$
(القيمة الدقيقة تتطلب آلة حاسبة)
$$ 2^{\circ}) \text{حساب العبارات} $$
$$ c = (10^{-3} \times 0.01)^{-3} = (10^{-3} \times 10^{-2})^{-3} = (10^{-5})^{-3} = 10^{15} $$
$$ b = -3\sqrt{5}^0 + \sqrt{3}^3 \times 5-1\sqrt{3} = -3 \times 1 + 3\sqrt{3} \times 5-1\sqrt{3} = -3 + 15\sqrt{3}-\sqrt{3} $$
$$ b = -3 + 14\sqrt{3} $$
$$ a = - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 5-1 = 0 + 4 = 4 $$
$$ d = (-\sqrt{3})^2 + 3 \times 5 - 1 = 3 + 15 - 1 = 17 $$
$$ e = (\frac{\sqrt{7}}{5})^0 + (\frac{\sqrt{7}}{5})^{-1} \times \sqrt{7}^3 = 1 + \frac{5}{\sqrt{7}} \times 7\sqrt{7} = 1 + 5 \times 7 = 36 $$
$$ f = (\frac{10^{-3}}{\sqrt{5}})^{-2} \times \frac{5}{0.01^{-3}} = \frac{(10^{-3})^{-2}}{(\sqrt{5})^{-2}} \times \frac{5}{(10^{-2})^{-3}} $$
$$ f = \frac{10^6}{5^{-1}} \times \frac{5}{10^6} = (10^6 \times 5) \times \frac{5}{10^6} = 5 \times 5 = 25 $$
$ d = \frac{(\frac{\sqrt{7}}{3})^{-2} \times (\frac{9}{7})^{-5}}{(\frac{\sqrt{7}}{5})^8} \qquad c = (\frac{3}{4})^{-5} \times (\frac{-\sqrt{3}}{2})^{15} $
$$ d = \frac{(\frac{\sqrt{7}}{3})^{-2} \times (\frac{9}{7})^{-5}}{(\frac{\sqrt{7}}{5})^8} = \frac{(\frac{3}{\sqrt{7}})^2 \times (\frac{7}{9})^5}{(\frac{\sqrt{7}}{5})^8} $$
$$ d = \frac{\frac{3^2}{7} \times \frac{7^5}{(3^2)^5}}{(\frac{\sqrt{7}}{5})^8} = \frac{\frac{9}{7} \times \frac{7^5}{3^{10}}}{\frac{7^4}{5^8}} = \frac{9 \times 7^4}{7 \times 3^{10}} \times \frac{5^8}{7^4} $$
$$ d = \frac{3^2 \times 7^4}{7 \times 3^{10}} \times \frac{5^8}{7^4} = \frac{3^2}{3^{10}} \times \frac{7^4}{7^1 \times 7^4} \times 5^8 $$
$$ d = 3^{2-10} \times 7^{4-1-4} \times 5^8 = 3^{-8} \times 7^{-1} \times 5^8 $$
(لا يمكن كتابتها في صيغة قوة لعدد حقيقي واحد)
$$ c = (\frac{3}{4})^{-5} \times (\frac{-\sqrt{3}}{2})^{15} = (\frac{4}{3})^5 \times (-1)^{15} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^{15} $$
$$ c = - (\frac{4}{3})^5 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^{15} = - (\frac{2^2}{3})^5 \times (\frac{3^{1/2}}{2})^{15} $$
$$ c = - \frac{2^{10}}{3^5} \times \frac{3^{15/2}}{2^{15}} = - \frac{2^{10}}{2^{15}} \times \frac{3^{15/2}}{3^5} $$
$$ c = - 2^{-5} \times 3^{15/2 - 5} = - 2^{-5} \times 3^{5/2} $$
(لا يمكن كتابتها في صيغة قوة لعدد حقيقي واحد)
أ) بيّن أن مساحة المثلث $ S = BC^2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} $
ب) اكتب $ S $ و $ \frac{P}{16} $ في صيغة قوة لعدد حقيقي دليلها مخالف لواحد.
$$ \text{أ) تبيان أن } S = BC^2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} $$
(العبارة المعطاة هي مساحة مثلث متقايس الأضلاع بدلالة طول ضلعه. مساحة المثلث هي $ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 $ حيث $a$ هو طول الضلع. هذا صحيح.)
(لكن من نص التمرين، يجب أن نستعمل الارتفاع $AH$. في مثلث متقايس الأضلاع، الارتفاع هو $ AH = \frac{\sqrt{3}}{2} \times BC $. )
$$ S = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times BC \times (\frac{\sqrt{3}}{2} BC) = \frac{\sqrt{3}}{4} BC^2 $$
$$ \text{و هو المطلوب.} $$
$$ \text{ب) كتابة } S \text{ و } \frac{P}{16} \text{ في صيغة قوة} $$
$$ S = \frac{\sqrt{3}}{4} BC^2 \text{ و } BC = \frac{\sqrt{3}}{4} $$
$$ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{3}{16} = \frac{3\sqrt{3}}{64} = \frac{3 \times 3^{1/2}}{2^6} = \frac{3^{3/2}}{2^6} $$
$$ \text{محيط المثلث } P = 3 \times BC = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4} $$
$$ \frac{P}{16} = \frac{3\sqrt{3}/4}{16} = \frac{3\sqrt{3}}{64} = S $$
$$ \frac{P}{16} = S = \frac{3^{3/2}}{2^6} $$