التصحيح التفاعلي الشامل: تمرين رقم 3

1

تبسيط وحساب العبارة E

$E = \frac{(a^{-2}b)^{-3} \times a^{-1}b^{-3}}{(a^{-3}b)^{-1} \times b^{-6}}$

أ) الخطوة 1: نشر الأقواس

ننشر الأقواس في البسط والمقام.

$E = \frac{(a^6b^{-3}) \times a^{-1}b^{-3}}{(a^3b^{-1}) \times b^{-6}}$

أ) الخطوة 2: تجميع البسط والمقام

نجمع القوى ذات دليل القوة نفسه.

$E = \frac{a^{6-1}b^{-3-3}}{a^3b^{-1-6}} = \frac{a^5b^{-6}}{a^3b^{-7}}$

أ) الخطوة 3: تبسيط الكسر

نطرح أدلة المقام من أدلة البسط.

$E = a^{5-3}b^{-6-(-7)} = a^2b^1$
$E=a^2b$

ب) الخطوة 4: حساب الجداء ab

لدينا $a=\sqrt{2}-1$ و $b=2\sqrt{2}+3$. نحسب $ab$ أولاً.

$ab = (\sqrt{2}-1)(2\sqrt{2}+3) = 2(\sqrt{2})^2 + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 3 = 4 + \sqrt{2} - 3 = 1+\sqrt{2}$

ب) الخطوة 5: حساب E

نعوض في $E = a \times (ab)$.

$E = (\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2}) = (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2$
$E = 1$
2

احسب x و y

$x = 2\sqrt{3}^{-2} + \sqrt{9}^{-1}$

الخطوة 1: تبسيط القوى

$\sqrt{3}^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3}$. و $\sqrt{9}^{-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

$x = 2 \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

الخطوة 2: حساب المجموع

$x = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$.

$x = 1$
$y = \frac{0,001^4 \times 10^5}{0,02 \times 100^{-3}}$

الخطوة 1: توحيد دليل القوة 10

$0,001=10^{-3}$, $0,02=2 \times 10^{-2}$, $100=10^2$.

$y = \frac{(10^{-3})^4 \times 10^5}{2 \times 10^{-2} \times (10^2)^{-3}}$

الخطوة 2: تبسيط الأدلة

$y = \frac{10^{-12} \times 10^5}{2 \times 10^{-2} \times 10^{-6}} = \frac{10^{-7}}{2 \times 10^{-8}}$.

$y = \frac{1}{2} \times 10^{-7 - (-8)} = \frac{1}{2} \times 10^1$

الخطوة 3: النتيجة النهائية

$y = \frac{10}{2}$.

$y = 5$
3

اكتب في صيغة قوة

$F = \frac{2^{-5} \times \sqrt{2}^3}{4^3}$

الخطوة 1: توحيد دليل القوة 2

$\sqrt{2}=2^{1/2}$ و $4=2^2$.

$F = \frac{2^{-5} \times (2^{1/2})^3}{(2^2)^3} = \frac{2^{-5} \times 2^{3/2}}{2^6}$

الخطوة 2: تجميع الأدلة

$F = \frac{2^{-5 + 3/2}}{2^6} = \frac{2^{-7/2}}{2^6} = 2^{-7/2 - 6} = 2^{-7/2 - 12/2}$.

$F = 2^{-19/2}$
$G = 3\sqrt{2}^2 \times \frac{(1/7)^5}{(\sqrt{6}/7)^5}$

الخطوة 1: تبسيط الجزء الأول

$3\sqrt{2}^2 = 3 \times 2 = 6$.

الخطوة 2: تجميع الكسر

نستخدم القاعدة $\frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n$.

$\frac{(1/7)^5}{(\sqrt{6}/7)^5} = \left(\frac{1/7}{\sqrt{6}/7}\right)^5 = \left(\frac{1}{7} \times \frac{7}{\sqrt{6}}\right)^5 = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^5$

الخطوة 3: تجميع العبارة

$G = 6 \times \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^5 = \sqrt{6}^2 \times \frac{1}{\sqrt{6}^5} = \sqrt{6}^{2-5}$.

$G = \sqrt{6}^{-3}$
4

احسب العبارات التالية

$a = -\sqrt{3}^3 + \sqrt{3} \times 5^{-1}$

الخطوة 1: تبسيط الحدود

$-\sqrt{3}^3 = -3\sqrt{3}$. و $\sqrt{3} \times 5^{-1} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.

$a = -3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{5}$

الخطوة 2: أخذ العامل المشترك

$a = \sqrt{3}(-3 + \frac{1}{5}) = \sqrt{3}(\frac{-15+1}{5})$.

$a = -\frac{14\sqrt{3}}{5}$
$d = (-\sqrt{3})^2 + 3 \times 5^{-1}$

الخطوة 1: تبسيط الحدود

$(-\sqrt{3})^2 = 3$. و $3 \times 5^{-1} = \frac{3}{5}$.

$d = 3 + \frac{3}{5}$

الخطوة 2: حساب المجموع

$d = \frac{15}{5} + \frac{3}{5}$.

$d = \frac{18}{5}$

(تم حل بقية تمارين السؤال 4 بنفس الطريقة التفاعلية)