التصحيح التفاعلي الكامل: تمارين في القوى

مقترح من الأستاذة دلندة السبالة (جانفي 2011)

I

تبسيط وحساب العبارة E

$E = \frac{(a^{-1}b^{-3})^2 a^{-6}b^8}{(a^{-3}b^2)^2}$

الخطوة 1: نشر الأقواس

ننشر الأقواس في البسط والمقام بتطبيق القاعدة $(x^m y^n)^p = x^{mp} y^{np}$.

$E = \frac{a^{-2}b^{-6} a^{-6}b^8}{a^{-6}b^4}$

الخطوة 2: تجميع البسط

نجمع القوى ذات دليل القوة نفسه في البسط: $a^{-2-6}=a^{-8}$ و $b^{-6+8}=b^2$.

$E = \frac{a^{-8}b^2}{a^{-6}b^4}$

الخطوة 3: تبسيط الكسر

نطرح أدلة المقام من أدلة البسط: $a^{-8 - (-6)} = a^{-2}$ و $b^{2-4} = b^{-2}$.

$E = a^{-2}b^{-2}$

الخطوة 4: حساب القيمة

باستخدام $a=1+\sqrt{3}$ و $b=1-\sqrt{3}$, نجد أن $ab = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = -2$.

$E = (ab)^{-2} = (-2)^{-2} = \frac{1}{4}$

الخطوة 1: فصل الكسر حسب دليل القوة

نعيد ترتيب الكسر لفصل فريق دليل القوة 'a' عن فريق دليل القوة 'b'.

$E = \left( \frac{(a^{-1})^2 a^{-6}}{(a^{-3})^2} \right) \times \left( \frac{(b^{-3})^2 b^8}{(b^2)^2} \right)$

الخطوة 2: حل فريق 'a'

نبسط كسر 'a': $\frac{a^{-2} a^{-6}}{a^{-6}} = \frac{a^{-8}}{a^{-6}} = a^{-2}$.

$\text{فريق 'a'} \implies a^{-2}$

الخطوة 3: حل فريق 'b'

نبسط كسر 'b': $\frac{b^{-6} b^8}{b^4} = \frac{b^2}{b^4} = b^{-2}$.

$\text{فريق 'b'} \implies b^{-2}$

الخطوة 4: تجميع النتائج والحساب

نضرب النتائج ونحسب القيمة: $E = a^{-2}b^{-2} = (ab)^{-2} = (-2)^{-2}$.

$E = \frac{1}{4}$
I

حساب العبارة I

$I = \left[ \frac{5}{(\sqrt{2})^2} - \left(\frac{3}{2}\right)^2 \right]^{-1}$

الخطوة 1: تبسيط القوى داخل القوس

نحسب القوى أولاً: $(\sqrt{2})^2 = 2$ و $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

$I = \left[ \frac{5}{2} - \frac{9}{4} \right]^{-1}$

الخطوة 2: توحيد المقامات

نوحد مقامات الكسرين داخل القوس: $\frac{5}{2} = \frac{10}{4}$.

$I = \left[ \frac{10}{4} - \frac{9}{4} \right]^{-1}$

الخطوة 3: حساب الطرح

نحسب عملية الطرح: $\frac{10-9}{4} = \frac{1}{4}$.

$I = \left[ \frac{1}{4} \right]^{-1}$

الخطوة 4: تطبيق دليل القوة السالب

دليل القوة -1 يعني مقلوب العدد. مقلوب $\frac{1}{4}$ هو 4.

$I = 4$
J

حساب العبارة J

$J = \frac{10^{-4} \times (0,01)^2}{\frac{1}{100} \times (0,001)^2}$

الخطوة 1: تحويل كل الأعداد إلى قوى 10

السر هو توحيد دليل القوة. $0,01 = 10^{-2}$ و $1/100 = 10^{-2}$ و $0,001 = 10^{-3}$.

$J = \frac{10^{-4} \times (10^{-2})^2}{10^{-2} \times (10^{-3})^2}$

الخطوة 2: تبسيط القوى

نطبق قاعدة $(x^m)^n = x^{mn}$ على الأقواس.

$J = \frac{10^{-4} \times 10^{-4}}{10^{-2} \times 10^{-6}}$

الخطوة 3: تجميع البسط والمقام

نجمع الأدلة في البسط وفي المقام.

$J = \frac{10^{-8}}{10^{-8}}$

الخطوة 4: النتيجة النهائية

أي عدد غير صفري مقسوم على نفسه يساوي 1. أو $10^{-8 - (-8)} = 10^0 = 1$.

$J = 1$
K

حساب العبارة K

$K = 3 \times \left(-\frac{3}{2}\right)^{-1} + 9 \times \left(-\frac{2}{3}\right)^{2} - \frac{1}{2} \times (-3)^{-1}$

الخطوة 1: حساب الجزء الأول

نحسب الجزء الأول: $3 \times (-\frac{3}{2})^{-1} = 3 \times (-\frac{2}{3}) = -2$.

الجزء الأول = -2

الخطوة 2: حساب الجزء الثاني

نحسب الجزء الثاني: $9 \times (-\frac{2}{3})^2 = 9 \times (\frac{4}{9}) = 4$.

الجزء الثاني = 4

الخطوة 3: حساب الجزء الثالث

نحسب الجزء الثالث: $-\frac{1}{2} \times (-3)^{-1} = -\frac{1}{2} \times (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{6}$.

الجزء الثالث = $\frac{1}{6}$

الخطوة 4: تجميع الأجزاء

نجمع النتائج: $-2 + 4 + \frac{1}{6} = 2 + \frac{1}{6} = \frac{12}{6} + \frac{1}{6}$.

$K = \frac{13}{6}$
II.2

كتابة في صيغة قوة لعدد حقيقي

$L = 25^{-3} \times \left(\frac{1}{5}\right)^{-4}$

الخطوة 1: توحيد دليل القوة

$25=5^2$ و $\frac{1}{5}=5^{-1}$.

$L = (5^2)^{-3} \times (5^{-1})^{-4}$

الخطوة 2: تبسيط وجمع الأدلة

$L = 5^{-6} \times 5^4 = 5^{-6+4}$.

$L = 5^{-2}$
$M = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{-7} \times \left(\frac{5}{4}\right)$

الخطوة 1: توحيد دليل القوة

نقلب الكسر الأول: $(\frac{2}{\sqrt{5}})^{-7} = (\frac{\sqrt{5}}{2})^7$. ونلاحظ أن $\frac{5}{4} = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2$.

$M = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^7 \times \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$

الخطوة 2: جمع الأدلة

$M = (\frac{\sqrt{5}}{2})^{7+2}$.

$M = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^9$
$N = \frac{0,5^{-3} \times 2^{-9}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}}$

الخطوة 1: توحيد دليل القوة

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$N = \frac{(2^{-1})^{-3} \times 2^{-9}}{(2^{-1})^{-4}}$

الخطوة 2: تبسيط القوى

$N = \frac{2^3 \times 2^{-9}}{2^4}$.

$N = \frac{2^{-6}}{2^4}$

الخطوة 3: طرح الأدلة

$N = 2^{-6-4}$.

$N = 2^{-10}$