تمارين القوى - تدريب شامل

التمرين رقم 1

1) احسب العبارات التالية:

$B = \left(2^5 \times 2015\right)^{\sim} + \left(3^2 - 2^3\right)^{....}$

2) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليله:

$A = 2 \times \sqrt{49} + 3 \times 5^2$

$f = 60 \times 5^6 + 13 \times 5^7$ $D = 10^4 \times 8 \times \left(5^2 \times 2\right)^3$ $C = 3^7 + 2 \times 3^7$

$g = 16^5 + 16^5 + 16^5 + 16^5$ $e = \left[7^3 \times 49^2\right]^2 \times \left[7^5\right]^3$

💡 توجيهات للتفكير

• للتعبير B:

تذكر أن أي عدد مرفوع للأس صفر يساوي 1

• للتعبير A:

احسب الجذر التربيعي أولاً، ثم اجمع المصطلحات

• للتعابير الأخرى:

استخدم قواعد القوى: $a^m \times a^n = a^{m+n}$ و $(a^m)^n = a^{m \times n}$

📝 منهجية الحل

خطوة 1: حساب B

احسب كل قوس على حدة، ثم اجمع النتائج

خطوة 2: كتابة A في صيغة قوة

$A = 2 \times 7 + 3 \times 25 = 14 + 75 = 89$

ابحث عن تحليل للعدد 89 إلى قوى

خطوة 3: تبسيط التعابير الأخرى

استخرج العامل المشترك واستخدم قواعد القوى

✅ الحل النهائي

• حساب B:

$B = 1 + 1 = 2$

• حساب A:

$A = 2 \times 7 + 3 \times 25 = 14 + 75 = 89$

• حساب f:

$f = 5^6(60 + 13 \times 5) = 5^6 \times 125 = 5^6 \times 5^3 = 5^9$

• حساب D:

$D = 10^4 \times 8 \times 10^3 = 8 \times 10^7 = 8 \times 10^7$

• حساب C:

$C = 3^7(1 + 2) = 3 \times 3^7 = 3^8$

• حساب g:

$g = 4 \times 16^5 = 2^2 \times (2^4)^5 = 2^2 \times 2^{20} = 2^{22}$

• حساب e:

$e = (7^3 \times 7^4)^2 \times 7^{15} = 7^{14} \times 7^{15} = 7^{29}$

التمرين رقم 2 (5 نقاط)

1) أكمل الفراغ بالعدد المناسب:

$49^{....} \times 7^8 = 7^{14}$ $2^4 \times (100 - .....) = 64$ $5^4 \times 35^{....} = 5^{....} \times 49^3$

2) احسب العبارات التالية:

$b = 3^4 \times 770 + 9^2 \times 230$ $a = 2 \times 7^2 + 3 \times \left(\sqrt{9} - \sqrt{4}\right)^{2023}$

3) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:

$e = 125^6 \times 64^3 \times 9^9$ $d = 81 \times \left(7^3 \times 3^2\right)^4$ $c = \sqrt{64 \times 2^7 + 2^3 \times 4^3 \times 2}$

💡 توجيهات للتفكير

• للسؤال الأول:

حلل الأعداد إلى عوامل أولية: $49 = 7^2$، $35 = 5 \times 7$

• لحساب b:

لاحظ أن $9^2 = (3^2)^2 = 3^4$، ثم استخرج العامل المشترك

• لحساب a:

احسب $\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$، ثم $1^{2023} = 1$

📝 منهجية الحل

خطوة 1: إكمال الفراغات

$49^x \times 7^8 = (7^2)^x \times 7^8 = 7^{2x+8} = 7^{14}$

إذن $2x + 8 = 14$ → $x = 3$

خطوة 2: حساب b

$b = 3^4 \times 770 + 3^4 \times 230 = 3^4(770 + 230) = 3^4 \times 1000$

خطوة 3: تحليل التعابير

حلل كل عدد إلى عوامله الأولية ثم طبق قواعد القوى

✅ الحل النهائي

1) إكمال الفراغات:

• $49^{\mathbf{3}} \times 7^8 = 7^{14}$

• $2^4 \times (100 - \mathbf{84}) = 64$

• $5^4 \times 35^{\mathbf{3}} = 5^{\mathbf{7}} \times 49^3$

2) الحسابات:

$a = 2 \times 49 + 3 \times 1 = 98 + 3 = 101$

$b = 3^4 \times 1000 = 81 \times 1000 = 81000$

3) كتابة في صيغة قوة:

$c = \sqrt{2^6 + 2^6 \times 2^6} = \sqrt{2^6(1 + 64)} = \sqrt{2^6 \times 65} = 8\sqrt{65}$

$d = 3^4 \times 7^{12} \times 3^8 = 3^{12} \times 7^{12} = (3 \times 7)^{12} = 21^{12}$

$e = (5^3)^6 \times (2^6)^3 \times (3^2)^9 = 5^{18} \times 2^{18} \times 3^{18} = (5 \times 2 \times 3)^{18} = 30^{18}$

التمرين رقم 3 (5 نقاط)

1) احسب العبارات التالية مقدماً مراحل الحساب:

$A = 4 \times \left(3 + \sqrt{\sqrt{16}}\right)^2 = 6$ $B = (10212 - 10^3) + (8 \times 5^3 - 212)$

2) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف للعدد 1:

$F = 8^7 + 8^7 + 8^7 + 8^7$ $E = 7^{13} \times 58 - 7^{13} \times 3^2$

$D = 4^5 \times 8^2 \times 3^{19}$ $C = \left(5^3 - 5^2\right)^6$

💡 توجيهات للتفكير

• لحساب A:

احسب الجذر المتداخل: $\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt{4} = 2$

• لحساب B:

احسب كل قوس على حدة ثم اجمع

• للتعابير F و E:

استخرج العامل المشترك

• للتعبير D:

اكتب $4 = 2^2$ و $8 = 2^3$

📝 منهجية الحل

خطوة 1: حساب A

$A = 4 \times (3 + 2)^2 = 4 \times 5^2 = 4 \times 25 = 100$

خطوة 2: حساب B

$B = (10212 - 1000) + (1000 - 212)$

$B = 9212 + 788 = 10000 = 10^4$

خطوة 3: تحويل إلى صيغة قوة

استخرج العامل المشترك وطبق قواعد القوى

✅ الحل النهائي

1) الحسابات:

$A = 4 \times (3 + 2)^2 = 4 \times 25 = 100 = 10^2$

$B = 9212 + 788 = 10000 = 10^4$

2) كتابة في صيغة قوة:

$F = 4 \times 8^7 = 2^2 \times (2^3)^7 = 2^2 \times 2^{21} = 2^{23}$

$E = 7^{13}(58 - 9) = 7^{13} \times 49 = 7^{13} \times 7^2 = 7^{15}$

$D = (2^2)^5 \times (2^3)^2 \times 3^{19} = 2^{10} \times 2^6 \times 3^{19} = 2^{16} \times 3^{19}$

$C = (5^2(5-1))^6 = (25 \times 4)^6 = 100^6 = (10^2)^6 = 10^{12}$

التمرين رقم 4

1) احسب ما يلي:

$a = 3 \times 2^3$ $b = 3 + 7 \times 2^2 - 5^0$ $c = 3^2 + 2^2 \times (3^2 - 5)$

2) أكمل الفراغ فيما يناسب:

$(3^{....})^6 = 27^{18}$ $125^2 \times 4^{....} = 10^{.....}$

$\sqrt{125 \times 3^6 - 76 \times 9^3} = 189^{.....}$

3) بين أن العدد $17 \times 5^{21} > 5^{23}$ بفعل القسمة على 8

4) فكك إلى جذاء عوامل أولية العدد $784^2 \times 783 + 784^2$ ؛ $784000$

💡 توجيهات للتفكير

• للحسابات:

تذكر ترتيب العمليات: الأدلة، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح

• لإكمال الفراغات:

استخدم قاعدة $(a^m)^n = a^{m \times n}$ و $27 = 3^3$

• للمقارنة:

اقسم الطرفين على $5^{21}$ ثم قارن

• للتحليل:

استخرج العامل المشترك $784^2$ من التعبير الأول

📝 منهجية الحل

خطوة 1: الحسابات

$a = 3 \times 8 = 24$

$b = 3 + 7 \times 4 - 1 = 3 + 28 - 1 = 30$

$c = 9 + 4 \times (9 - 5) = 9 + 4 \times 4 = 9 + 16 = 25$

خطوة 2: إكمال الفراغات

$(3^m)^6 = 3^{6m} = 27^{18} = (3^3)^{18} = 3^{54}$

إذن $6m = 54$ → $m = 9$

خطوة 3: المقارنة

$\frac{17 \times 5^{21}}{5^{21}} = 17$ و $\frac{5^{23}}{5^{21}} = 5^2 = 25$

لكن $\frac{17}{8} > \frac{25}{8}$ غير صحيح... راجع السؤال

✅ الحل النهائي

1) الحسابات:

$a = 24$ $b = 30$ $c = 25 = 5^2$

2) إكمال الفراغات:

$(3^{\mathbf{9}})^6 = 27^{18}$

$125^2 \times 4^{\mathbf{6}} = 10^{\mathbf{6}}$

$\sqrt{125 \times 3^6 - 76 \times 9^3} = 189^{\mathbf{1}}$ (يعني = 189)

3) المقارنة:

$\frac{17 \times 5^{21}}{8} = \frac{17}{8} \times 5^{21}$

$\frac{5^{23}}{8} = \frac{25}{8} \times 5^{21}$

بما أن $\frac{17}{8} = 2.125 < 3.125 = \frac{25}{8}$

إذن $17 \times 5^{21} < 5^{23}$

4) التحليل:

$784^2(783 + 1) = 784^2 \times 784 = 784^3$

$784 = 16 \times 49 = 2^4 \times 7^2$

$784^3 = 2^{12} \times 7^6$

$784000 = 784 \times 1000 = 2^4 \times 7^2 \times 2^3 \times 5^3 = 2^7 \times 5^3 \times 7^2$

تمرين عدد 2 (8 نقاط)

1) أكمل الفراغ بالعدد المناسب:

$5^4 \times 15^{....} = 5^{....} \times 9^3$ $121^{....} \times 11^8 = 11^{14}$

$2^4 \times (32 - ......) = 64$

$(7^4)^{....} \times (5^5)^4 = 35^{....}$ $5^8 \times 5 \times ....^2 = 5^{25}$

$a = (1 + 2^0) \times 7^2 + 3 \times (\sqrt{25} - \sqrt{16})^{2023}$ $b = 3^4 \times 770 + 27 \times 230$

2) احسب العبارات التالية:

3) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:

$e = 125^6 \times 64^3 \times 9^9$ $d = 81 \times (7^3 \times 3^2)^4$ $c = \sqrt{64 \times 2^7 + 2^3 \times 4^3 \times 2}$

💡 توجيهات للتفكير

• لإكمال الفراغات:

حلل الأعداد: $15 = 3 \times 5$، $121 = 11^2$، $35 = 5 \times 7$

• لحساب a:

$2^0 = 1$ و $\sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$

• لحساب b:

لاحظ أن $27 = 3^3$، حاول إيجاد عامل مشترك

📝 منهجية الحل

خطوة 1: إكمال الفراغات

$5^4 \times (3 \times 5)^x = 5^4 \times 3^x \times 5^x = 5^{4+x} \times 3^x$

$5^y \times 9^3 = 5^y \times 3^6$

بالمقارنة: $x = 6$ و $y = 10$

خطوة 2: الحسابات

$a = 2 \times 49 + 3 \times 1 = 98 + 3 = 101$

$b = 3^4 \times 770 + 3^3 \times 230 = ...$

✅ الحل النهائي

1) إكمال الفراغات:

• $5^4 \times 15^{\mathbf{6}} = 5^{\mathbf{10}} \times 9^3$

• $121^{\mathbf{3}} \times 11^8 = 11^{14}$

• $2^4 \times (32 - \mathbf{28}) = 64$

• $(7^4)^{\mathbf{5}} \times (5^5)^4 = 35^{\mathbf{20}}$

• $5^8 \times 5 \times \mathbf{5}^2 = 5^{25}$ (الإجابة: $\mathbf{5}$، لأن دليل القوة $8+1+2 \times x = 25$)

2) الحسابات:

$a = 2 \times 49 + 3 = 101$

$b = 3^4 \times 770 + 3^3 \times 230 = 3^3(3 \times 770 + 230) = 27 \times 2540 = 68580$

3) كتابة في صيغة قوة:

$c = \sqrt{2^6 + 2^6 \times 2^6} = \sqrt{2^6(1 + 64)} = 8\sqrt{65}$ أو $= 2^3\sqrt{65}$

$d = 3^4 \times 7^{12} \times 3^8 = 3^{12} \times 7^{12} = 21^{12}$

$e = (5^3)^6 \times (2^6)^3 \times (3^2)^9 = 5^{18} \times 2^{18} \times 3^{18} = 30^{18}$

تمرين رقم 2

1) عوّض النقاط بما يناسب:

$1000^{...} = 10^9$ $2^5 \times 2^7 \times 2 = 2^{.....}$

$2^{....} = 8^9$ $c = (3^2 - \sqrt{64})^7 + (7^5 \times 0)^3$

$d = 3^3 - 10^0 \times 11 + 5^{16} \times 0^4$

أحسب العبارات التالية:

اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:

$f = 5^{2019} \times 3^3 - 5^{2019} \times 2$ $d = 3^5 \times 9^{15} \times 27^2$

$e = 2^{13} \times 36^2 \times 3^{13}$

2) أحسب:

$F = 2^2 + 3^2 \times 2 - 1^{2021} + 3$ $E = (3^2 - 2^3)^{....} + (3^2 - 17)^{2021}$

$D = 1^{2016} + 2016^1 \times 0^{2016}$

3) اكتب في صيغة قوة عدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:

$M = 169^4 \times 2^8 \times 26^3$ $L = 7^5 \times 10000^5 \times 7^7$

$K = 4^{26} + 4^{26} + 4^{26} + 4^{26}$

$Q = (4^{45} + 25^9) + (4^{45} - 25^9)$ $P = 10^5 \times 5^{27} \times 8^9$

$N = (5 \times 2^3)^3 \times 5^{11} \times 2$

💡 توجيهات للتفكير

• لتعويض النقاط:

$1000 = 10^3$ و $8 = 2^3$

• لحساب c و d:

أي عدد مضروب في 0 يساوي 0، و $x^0 = 1$

• للتعابير f و d و e:

حلل الأعداد واستخرج العامل المشترك

📝 منهجية الحل

خطوة 1: تعويض النقاط

$(10^3)^x = 10^9$ → $x = 3$

$2^5 \times 2^7 \times 2^1 = 2^{5+7+1} = 2^{13}$

خطوة 2: الحسابات

$c = (9 - 8)^7 + 0 = 1$

$d = 27 - 11 + 0 = 16 = 2^4$

✅ الحل النهائي

1) تعويض النقاط:

• $1000^{\mathbf{3}} = 10^9$

• $2^5 \times 2^7 \times 2 = 2^{\mathbf{13}}$

• $2^{\mathbf{27}} = 8^9$

• $c = 1$ $d = 16 = 2^4$

كتابة في صيغة قوة (الجزء الأول):

$f = 5^{2019}(3^3 - 2) = 5^{2019} \times 25 = 5^{2019} \times 5^2 = 5^{2021}$

$d = 3^5 \times (3^2)^{15} \times (3^3)^2 = 3^5 \times 3^{30} \times 3^6 = 3^{41}$

$e = 2^{13} \times (6^2)^2 \times 3^{13} = 2^{13} \times 2^4 \times 3^4 \times 3^{13} = 2^{17} \times 3^{17} = 6^{17}$

2) الحسابات:

$F = 4 + 18 - 1 + 3 = 24$

$E = 1 + (-8)^{2021} = 1 - 8^{2021}$ (إذا كان دليل القوة فردي)

$D = 1 + 0 = 1$

3) كتابة في صيغة قوة:

$K = 4 \times 4^{26} = 4^{27} = (2^2)^{27} = 2^{54}$

$L = 7^{12} \times (10^4)^5 = 7^{12} \times 10^{20}$

$M = (13^2)^4 \times 2^8 \times (2 \times 13)^3 = 13^8 \times 2^8 \times 2^3 \times 13^3 = 13^{11} \times 2^{11} = 26^{11}$

$Q = 2 \times 4^{45} = 2 \times (2^2)^{45} = 2^{91}$

$P = 10^5 \times 5^{27} \times (2^3)^9 = 2^5 \times 5^5 \times 5^{27} \times 2^{27} = 2^{32} \times 5^{32} = 10^{32}$

$N = 5^3 \times 2^9 \times 5^{11} \times 2 = 5^{14} \times 2^{10} = 5^{14} \times 2^{10}$