تمارين الجذور التربيعية - السنة التاسعة أساسي

التمرين رقم 6 (6 نقاط)
نعتبر العبارة: \[A = (3x+1)(2x-\sqrt{2}) - 2x\sqrt{18} - \sqrt{8}\] \[B = 3\sqrt{2Y-9}\]
1) أ) فكك إلى جداء عوامل العبارة \(2x\sqrt{18} + \sqrt{8}\)
ب) بين أن \(A = \sqrt{2}(3x+1)(x\sqrt{2}-3)\)
ت) استنتج تفكيكا إلى جداء عوامل للعبارة \(A+B\)
2) أحسب القيمة العددية لـ \(A\) إذا كان \(x = -\sqrt{2}\)
3) أوجد العدد الحقيقي \(x\) في الحالات التالية:
أ) \(A=B\)
✓ التصحيح المفصل
السؤال 1-أ: تفكيك \(2x\sqrt{18} + \sqrt{8}\)

الخطوة 1: تبسيط الجذور

نحلل الأعداد تحت الجذر:

\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)

\(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)

الخطوة 2: التعويض

\(2x\sqrt{18} + \sqrt{8} = 2x \times 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\)

\(= 6x\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\)

الخطوة 3: إخراج العامل المشترك \(2\sqrt{2}\)

\(= 2\sqrt{2}(3x + 1)\)

النتيجة النهائية:
\(2x\sqrt{18} + \sqrt{8} = 2\sqrt{2}(3x+1)\)
السؤال 1-ب: إثبات أن \(A = \sqrt{2}(3x+1)(x\sqrt{2}-3)\)

الخطوة 1: نعيد كتابة العبارة \(A\)

\(A = (3x+1)(2x-\sqrt{2}) - 2x\sqrt{18} - \sqrt{8}\)

الخطوة 2: نستعمل نتيجة السؤال السابق

\(A = (3x+1)(2x-\sqrt{2}) - (2x\sqrt{18} + \sqrt{8})\)

\(A = (3x+1)(2x-\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}(3x+1)\)

الخطوة 3: نخرج العامل المشترك \((3x+1)\)

\(A = (3x+1)[(2x-\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}]\)

\(A = (3x+1)(2x - \sqrt{2} - 2\sqrt{2})\)

\(A = (3x+1)(2x - 3\sqrt{2})\)

الخطوة 4: نخرج \(\sqrt{2}\) من القوس الثاني

\(2x - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}(x\sqrt{2} - 3)\)

لأن: \(2x = \sqrt{2} \times x\sqrt{2}\)

النتيجة النهائية:
\(A = \sqrt{2}(3x+1)(x\sqrt{2}-3)\)
السؤال 1-ت: تفكيك \(A+B\)

الخطوة 1: نكتب التفكيكين

\(A = \sqrt{2}(3x+1)(x\sqrt{2}-3)\)

\(B = 3\sqrt{2Y-9}\)

الخطوة 2: نحسب \(A+B\)

\(A+B = \sqrt{2}(3x+1)(x\sqrt{2}-3) + 3\sqrt{2Y-9}\)

ملاحظة: لا يمكن التفكيك أكثر من ذلك إلا إذا كانت هناك علاقة بين \(x\) و \(Y\)

التنبيه:
قد يكون هناك خطأ في نص التمرين، أو معطيات إضافية مطلوبة للحصول على تفكيك كامل.
السؤال 2: حساب قيمة \(A\) عندما \(x = -\sqrt{2}\)

الطريقة 1: استعمال الصيغة المفككة

\(A = \sqrt{2}(3x+1)(x\sqrt{2}-3)\)

عندما \(x = -\sqrt{2}\):

\(A = \sqrt{2}(3(-\sqrt{2})+1)((-\sqrt{2})\sqrt{2}-3)\)

\(A = \sqrt{2}(-3\sqrt{2}+1)((-\sqrt{2})(\sqrt{2})-3)\)

\(A = \sqrt{2}(-3\sqrt{2}+1)(-2-3)\)

\(A = \sqrt{2}(-3\sqrt{2}+1)(-5)\)

\(A = -5\sqrt{2}(-3\sqrt{2}+1)\)

\(A = -5\sqrt{2} \times (-3\sqrt{2}) + (-5\sqrt{2}) \times 1\)

\(A = 15 \times 2 - 5\sqrt{2}\)

\(A = 30 - 5\sqrt{2}\)

النتيجة النهائية:
\(A = 30 - 5\sqrt{2}\)
السؤال 3-أ: حل المعادلة \(A=B\)

الخطوة 1: نستعمل التفكيكات

\(\sqrt{2}(3x+1)(x\sqrt{2}-3) = 3\sqrt{2Y-9}\)

ملاحظة: هذه المعادلة تحتوي على متغيرين \(x\) و \(Y\)، لذلك نحتاج إلى معطيات إضافية لحلها.

ملاحظة:
قد يكون المقصود \(B = 3\sqrt{2x-9}\) (بدلا من \(Y\))، في هذه الحالة يمكن الحل.
تمرين عدد 3
نعتبر العبارتين: \[A = x\sqrt{2} - 2 - (x-\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})\] \[B = x^2 - x\sqrt{2}\] حيث: \(x \in \mathbb{R}\)
1°) أ) بين أن: \(A = (x-\sqrt{2})(3\sqrt{2}-x)\)
ب) استنتج أن: \(A - B = (x-\sqrt{2})(3\sqrt{2}-2x)\)
ج) استنتج أن: \(A - B = -2x^2 + 5x\sqrt{2} - 6\)
2°) نعتبر في المعلم \((O;I;J)\) النقطتين \(E(2x^2+6 ; -1)\) و \(F(5x\sqrt{2} ; 3)\)
جد العدد الحقيقي \(x\) في حالة \((EF)//(OJ)\)
✓ التصحيح المفصل
السؤال 1-أ: إثبات أن \(A = (x-\sqrt{2})(3\sqrt{2}-x)\)

الخطوة 1: نكتب العبارة \(A\)

\(A = x\sqrt{2} - 2 - (x-\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})\)

الخطوة 2: ننشر \((x-\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})\)

\((x-\sqrt{2})(x-2\sqrt{2}) = x^2 - 2x\sqrt{2} - x\sqrt{2} + 2 \times 2\)

\(= x^2 - 3x\sqrt{2} + 2\)

الخطوة 3: نعوض في \(A\)

\(A = x\sqrt{2} - 2 - (x^2 - 3x\sqrt{2} + 2)\)

\(A = x\sqrt{2} - 2 - x^2 + 3x\sqrt{2} - 2\)

\(A = -x^2 + 4x\sqrt{2} - 4\)

الخطوة 4: نحاول التفكيك (نضع إشارة سالبة خارجا)

\(A = -(x^2 - 4x\sqrt{2} + 4)\)

الخطوة 5: نتعرف على مربع كامل

نلاحظ أن: \(x^2 - 4x\sqrt{2} + 4\) يشبه \((x - a)^2\)

حيث \(2a = 4\sqrt{2}\)، إذن \(a = 2\sqrt{2}\)

نتحقق: \(a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8 \neq 4\)

طريقة أخرى - الخطوة 4 مجددا: نخرج \((x-\sqrt{2})\)

\(A = -x^2 + 4x\sqrt{2} - 4\)

ننظر إلى العبارة المطلوبة: \(A = (x-\sqrt{2})(3\sqrt{2}-x)\)

ننشرها للتحقق:

\((x-\sqrt{2})(3\sqrt{2}-x) = 3x\sqrt{2} - x^2 - 3\times 2 + x\sqrt{2}\)

\(= -x^2 + 4x\sqrt{2} - 6\)

تصحيح: يبدو أن هناك خطأ في الحساب. دعنا نعيد الحساب:

\(A = x\sqrt{2} - 2 - (x-\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})\)

ننشر: \((x-\sqrt{2})(x-2\sqrt{2}) = x^2 - 2x\sqrt{2} - x\sqrt{2} + \sqrt{2} \times 2\sqrt{2}\)

\(= x^2 - 3x\sqrt{2} + 2 \times 2 = x^2 - 3x\sqrt{2} + 4\)

\(A = x\sqrt{2} - 2 - x^2 + 3x\sqrt{2} - 4\)

\(A = -x^2 + 4x\sqrt{2} - 6\)

نتحقق من التفكيك المطلوب:

\((x-\sqrt{2})(3\sqrt{2}-x) = 3x\sqrt{2} - x^2 - 3 \times 2 + x\sqrt{2}\)

\(= -x^2 + 4x\sqrt{2} - 6\) ✓

النتيجة النهائية:
\(A = (x-\sqrt{2})(3\sqrt{2}-x)\)