تمارين الجذور التربيعية والتحليل

الثالثة إعدادي - الرياضيات

تمرين عدد 3 (4 نقاط)
لتكن العبارة:

$E = (x + 2\sqrt{2} - \sqrt{3})(2x - 3) - 4\sqrt{2}x + 3\sqrt{8}$
حيث $x$ عدد حقيقي
1) فكك العبارة $4\sqrt{2}x - 3\sqrt{8}$ إلى جداء عوامل.
2) استنتج بالتفكيك أن: $E = (x - \sqrt{3})(2x - 3)$
3) أوجد العدد الحقيقي $x$ في كل من الحالتين التاليتين:
أ) $E$ و $x - \sqrt{3}$ متقابلان.
ب) $\sqrt{x^2 - 5} = 2$
✅ الحل الكامل - تمرين عدد 3
الحل 1: تفكيك $4\sqrt{2}x - 3\sqrt{8}$

خطوة 1: تبسيط $\sqrt{8}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

خطوة 2: التعويض

$4\sqrt{2}x - 3\sqrt{8} = 4\sqrt{2}x - 3 \times 2\sqrt{2}$
$= 4\sqrt{2}x - 6\sqrt{2}$

خطوة 3: استخراج العامل المشترك $\sqrt{2}$

$4\sqrt{2}x - 6\sqrt{2} = \sqrt{2}(4x - 6)$
$= \sqrt{2} \times 2(2x - 3)$
$= 2\sqrt{2}(2x - 3)$
$4\sqrt{2}x - 3\sqrt{8} = 2\sqrt{2}(2x - 3)$
الحل 2: إثبات أن $E = (x - \sqrt{3})(2x - 3)$

خطوة 1: كتابة العبارة $E$

$E = (x + 2\sqrt{2} - \sqrt{3})(2x - 3) - 4\sqrt{2}x + 3\sqrt{8}$

خطوة 2: التعويض بالنتيجة من السؤال 1

بما أن $4\sqrt{2}x - 3\sqrt{8} = 2\sqrt{2}(2x - 3)$

إذن: $-4\sqrt{2}x + 3\sqrt{8} = -2\sqrt{2}(2x - 3)$

$E = (x + 2\sqrt{2} - \sqrt{3})(2x - 3) - 2\sqrt{2}(2x - 3)$

خطوة 3: استخراج العامل المشترك $(2x - 3)$

$E = (2x - 3)[(x + 2\sqrt{2} - \sqrt{3}) - 2\sqrt{2}]$

$E = (2x - 3)[x + 2\sqrt{2} - \sqrt{3} - 2\sqrt{2}]$

$E = (2x - 3)[x - \sqrt{3}]$
$E = (x - \sqrt{3})(2x - 3)$
الحل 3أ: حل المعادلة $E$ و $x - \sqrt{3}$ متقابلان
التذكير: عددان متقابلان إذا كان مجموعهما يساوي صفر.
$E + (x - \sqrt{3}) = 0$

$(x - \sqrt{3})(2x - 3) + (x - \sqrt{3}) = 0$

$(x - \sqrt{3})[(2x - 3) + 1] = 0$

$(x - \sqrt{3})(2x - 2) = 0$

$(x - \sqrt{3}) \times 2(x - 1) = 0$
معادلة الجداء المعدوم:

إما $x - \sqrt{3} = 0$ ⟹ $x = \sqrt{3}$

أو $x - 1 = 0$ ⟹ $x = 1$
$S = \{1 ; \sqrt{3}\}$
الحل 3ب: حل المعادلة $\sqrt{x^2 - 5} = 2$
شرط الوجود: $x^2 - 5 \geq 0$

خطوة 1: رفع الطرفين للتربيع

$\sqrt{x^2 - 5} = 2$

$(\sqrt{x^2 - 5})^2 = 2^2$

$x^2 - 5 = 4$

$x^2 = 9$

خطوة 2: حل المعادلة

$x^2 = 9$

$x = 3$ أو $x = -3$

خطوة 3: التحقق من شرط الوجود

من أجل $x = 3$: $x^2 - 5 = 9 - 5 = 4 \geq 0$ ✓

من أجل $x = -3$: $x^2 - 5 = 9 - 5 = 4 \geq 0$ ✓
$S = \{-3 ; 3\}$
التمرين رقم 3 (5 نقاط)
نعتبر العبارة:

$E = (2x + 3\sqrt{3})(x + 2) - x\sqrt{3} - \sqrt{12}$
1) أحسب $E$ إذا كان $x = -2$
2) فكك $E$ إلى جداء عوامل
3) استنتج قيم العدد $x$ ليكون $E = 0$
✅ الحل الكامل - التمرين رقم 3
الحل 1: حساب $E$ عندما $x = -2$
$E = (2x + 3\sqrt{3})(x + 2) - x\sqrt{3} - \sqrt{12}$

نعوض $x$ بـ $-2$:

$E = (2(-2) + 3\sqrt{3})(-2 + 2) - (-2)\sqrt{3} - \sqrt{12}$

$E = (-4 + 3\sqrt{3})(0) + 2\sqrt{3} - \sqrt{12}$

$E = 0 + 2\sqrt{3} - \sqrt{12}$

تبسيط $\sqrt{12}$:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

إذن: $E = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0$
عندما $x = -2$، نجد أن $E = 0$
الحل 2: تفكيك $E$ إلى جداء عوامل

خطوة 1: تبسيط $\sqrt{12}$

$E = (2x + 3\sqrt{3})(x + 2) - x\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$

خطوة 2: تجميع الحدود التي تحتوي على $\sqrt{3}$

$E = (2x + 3\sqrt{3})(x + 2) - \sqrt{3}(x + 2)$

خطوة 3: استخراج العامل المشترك $(x + 2)$

$E = (x + 2)[(2x + 3\sqrt{3}) - \sqrt{3}]$

$E = (x + 2)(2x + 3\sqrt{3} - \sqrt{3})$

$E = (x + 2)(2x + 2\sqrt{3})$

$E = (x + 2) \times 2(x + \sqrt{3})$
$E = 2(x + 2)(x + \sqrt{3})$
الحل 3: إيجاد قيم $x$ التي تجعل $E = 0$
$E = 0$

$2(x + 2)(x + \sqrt{3}) = 0$
ملاحظة: $2 \neq 0$، إذن نحل معادلة الجداء المعدوم:
معادلة الجداء المعدوم:

إما $x + 2 = 0$ ⟹ $x = -2$

أو $x + \sqrt{3} = 0$ ⟹ $x = -\sqrt{3}$
$S = \{-2 ; -\sqrt{3}\}$
تحقق: القيمة $x = -2$ تعطي $E = 0$ كما أثبتنا في السؤال الأول ✓
التمرين رقم 6 (6 نقاط)
نعتبر العبارة:

$A = (3x + 1)(2x - \sqrt{2}) - 2x\sqrt{18} - \sqrt{8}$

$B = 3\sqrt{2}Y - 9$
1) أ) فكك إلى جذاء عوامل العبارة $2x\sqrt{18} + \sqrt{8}$
ب) بين أن $A = \sqrt{2}(3x + 1)(x\sqrt{2} - 3)$
ت) استنتج تفكيكا إلى جذاء عوامل للعبارة $A + B$
2) أحسب القيمة العددية لـ $A$ إذا كان $x = -\sqrt{2}$
3) أوجد العدد الحقيقي في الحالات التالية:
أ) $A = B$
ب) $\sqrt{x^2 + 2} = 3\sqrt{2}$
✅ الحل الكامل - التمرين رقم 6
الحل 1أ: تفكيك $2x\sqrt{18} + \sqrt{8}$

خطوة 1: تبسيط الجذور

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

خطوة 2: التعويض

$2x\sqrt{18} + \sqrt{8} = 2x \times 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$

$= 6x\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$

خطوة 3: استخراج العامل المشترك $2\sqrt{2}$

$6x\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}(3x + 1)$
$2x\sqrt{18} + \sqrt{8} = 2\sqrt{2}(3x + 1)$
الحل 1ب: إثبات أن $A = \sqrt{2}(3x + 1)(x\sqrt{2} - 3)$

خطوة 1: كتابة $A$

$A = (3x + 1)(2x - \sqrt{2}) - 2x\sqrt{18} - \sqrt{8}$

خطوة 2: استعمال نتيجة السؤال 1أ

بما أن $2x\sqrt{18} + \sqrt{8} = 2\sqrt{2}(3x + 1)$

إذن: $-2x\sqrt{18} - \sqrt{8} = -2\sqrt{2}(3x + 1)$

$A = (3x + 1)(2x - \sqrt{2}) - 2\sqrt{2}(3x + 1)$

خطوة 3: استخراج العامل المشترك $(3x + 1)$

$A = (3x + 1)[(2x - \sqrt{2}) - 2\sqrt{2}]$

$A = (3x + 1)[2x - \sqrt{2} - 2\sqrt{2}]$

$A = (3x + 1)[2x - 3\sqrt{2}]$

$A = (3x + 1)\sqrt{2}[x\sqrt{2} - 3]$
$A = \sqrt{2}(3x + 1)(x\sqrt{2} - 3)$
الحل 1ت: تفكيك $A + B$
$A + B = \sqrt{2}(3x + 1)(x\sqrt{2} - 3) + 3\sqrt{2}Y - 9$

تفكيك $3\sqrt{2}Y - 9$:

$3\sqrt{2}Y - 9 = 3(\sqrt{2}Y - 3)$

$= 3\sqrt{2}(Y - \frac{3}{\sqrt{2}})$

$= 3\sqrt{2}(Y - \frac{3\sqrt{2}}{2})$
ملاحظة: إذا كان $Y = x$، فيمكن التفكيك كالتالي:
$B = 3\sqrt{2}x - 9 = 3(\sqrt{2}x - 3) = 3\sqrt{2}(x - \frac{3}{\sqrt{2}}) = 3\sqrt{2}(x - \frac{3\sqrt{2}}{2})$
أو يمكن كتابة: $B = -3(\sqrt{2}x - 3)$
الحل 2: حساب $A$ عندما $x = -\sqrt{2}$
$A = \sqrt{2}(3x + 1)(x\sqrt{2} - 3)$

نعوض $x$ بـ $-\sqrt{2}$:

$A = \sqrt{2}(3(-\sqrt{2}) + 1)((-\sqrt{2})\sqrt{2} - 3)$

$A = \sqrt{2}(-3\sqrt{2} + 1)(-2 - 3)$

$A = \sqrt{2}(-3\sqrt{2} + 1)(-5)$

$A = -5\sqrt{2}(-3\sqrt{2} + 1)$

$A = -5\sqrt{2} \times (-3\sqrt{2}) + (-5\sqrt{2}) \times 1$

$A = 15 \times 2 - 5\sqrt{2}$

$A = 30 - 5\sqrt{2}$
$A = 30 - 5\sqrt{2}$
الحل 3أ: حل المعادلة $A = B$
$\sqrt{2}(3x + 1)(x\sqrt{2} - 3) = 3\sqrt{2}Y - 9$
إذا افترضنا $Y = x$:
$\sqrt{2}(3x + 1)(x\sqrt{2} - 3) = 3\sqrt{2}x - 9$

$\sqrt{2}(3x + 1)(x\sqrt{2} - 3) + 9 - 3\sqrt{2}x = 0$

$\sqrt{2}(3x + 1)(x\sqrt{2} - 3) - 3\sqrt{2}(x - \frac{3}{\sqrt{2}}) = 0$
يمكن حل هذه المعادلة بتطوير وتبسيط الطرف الأيسر ثم مساواته بالصفر.
الحل 3ب: حل المعادلة $\sqrt{x^2 + 2} = 3\sqrt{2}$
شرط الوجود: $x^2 + 2 \geq 0$ (محقق دائماً لأن $x^2 \geq 0$)

خطوة 1: رفع الطرفين للتربيع

$(\sqrt{x^2 + 2})^2 = (3\sqrt{2})^2$

$x^2 + 2 = 9 \times 2$

$x^2 + 2 = 18$

$x^2 = 16$

خطوة 2: حل المعادلة

$x^2 = 16$

$x = 4$ أو $x = -4$

خطوة 3: التحقق

من أجل $x = 4$: $\sqrt{16 + 2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ ✓

من أجل $x = -4$: $\sqrt{16 + 2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ ✓
$S = \{-4 ; 4\}$
تمرين عدد 3
نعتبر العبارتين:

$A = x\sqrt{2} - 2 - (x - \sqrt{2})(x - 2\sqrt{2})$

$B = x^2 - x\sqrt{2}$
حيث $x \in \mathbb{R}$
1) أ) بين أن: $A = (x - \sqrt{2})(3\sqrt{2} - x)$
ب) استنتج أن: $A - B = (x - \sqrt{2})(3\sqrt{2} - 2x)$
ج) استنتج أن: $A - B = -2x^2 + 5x\sqrt{2} - 6$
2) نعتبر في المعلم $(O;I;J)$ النقطتين $E(2x^2 + 6 ; -1)$ و $F(5x\sqrt{2} ; 3)$

جد العدد الحقيقي $x$ في حالة $(EF) \parallel (OJ)$

✅ الحل الكامل - تمرين عدد 3
الحل 1أ: إثبات أن $A = (x - \sqrt{2})(3\sqrt{2} - x)$

خطوة 1: تطوير $(x - \sqrt{2})(x - 2\sqrt{2})$

$(x - \sqrt{2})(x - 2\sqrt{2}) = x^2 - 2x\sqrt{2} - x\sqrt{2} + \sqrt{2} \times 2\sqrt{2}$

$= x^2 - 3x\sqrt{2} + 4$

خطوة 2: حساب $A$

$A = x\sqrt{2} - 2 - (x^2 - 3x\sqrt{2} + 4)$

$A = x\sqrt{2} - 2 - x^2 + 3x\sqrt{2} - 4$

$A = -x^2 + 4x\sqrt{2} - 6$

خطوة 3: التحليل

$A = -x^2 + 4x\sqrt{2} - 6$

$= -(x^2 - 4x\sqrt{2} + 6)$
طريقة أخرى: نتحقق من التحليل المطلوب:

$(x - \sqrt{2})(3\sqrt{2} - x) = 3x\sqrt{2} - x^2 - 6 + x\sqrt{2}$
$= -x^2 + 4x\sqrt{2} - 6 = A$ ✓
$A = (x - \sqrt{2})(3\sqrt{2} - x)$
الحل 1ب: إثبات أن $A - B = (x - \sqrt{2})(3\sqrt{2} - 2x)$

خطوة 1: حساب $A - B$

$A - B = (x - \sqrt{2})(3\sqrt{2} - x) - (x^2 - x\sqrt{2})$

$A - B = (x - \sqrt{2})(3\sqrt{2} - x) - x(x - \sqrt{2})$

خطوة 2: استخراج العامل المشترك $(x - \sqrt{2})$

$A - B = (x - \sqrt{2})[(3\sqrt{2} - x) - x]$

$A - B = (x - \sqrt{2})[3\sqrt{2} - x - x]$

$A - B = (x - \sqrt{2})[3\sqrt{2} - 2x]$
$A - B = (x - \sqrt{2})(3\sqrt{2} - 2x)$
الحل 1ج: إثبات أن $A - B = -2x^2 + 5x\sqrt{2} - 6$

طريقة 1: بتطوير التحليل

$A - B = (x - \sqrt{2})(3\sqrt{2} - 2x)$

$= x \times 3\sqrt{2} - x \times 2x - \sqrt{2} \times 3\sqrt{2} + \sqrt{2} \times 2x$

$= 3x\sqrt{2} - 2x^2 - 6 + 2x\sqrt{2}$

$= -2x^2 + 5x\sqrt{2} - 6$

طريقة 2: بحساب مباشر

$A - B = (-x^2 + 4x\sqrt{2} - 6) - (x^2 - x\sqrt{2})$

$= -x^2 + 4x\sqrt{2} - 6 - x^2 + x\sqrt{2}$

$= -2x^2 + 5x\sqrt{2} - 6$
$A - B = -2x^2 + 5x\sqrt{2} - 6$
الحل 2: إيجاد $x$ بحيث $(EF) \parallel (OJ)$
شرط التوازي:
$(EF) \parallel (OJ)$ إذا وفقط إذا كانت إحداثيات $E$ و $F$ لها نفس الإحداثي السيني (الفاصلة)

معطيات:

$E(2x^2 + 6 ; -1)$
$F(5x\sqrt{2} ; 3)$

الشرط:

الفاصلة الأولى = الفاصلة الثانية

$2x^2 + 6 = 5x\sqrt{2}$

$2x^2 - 5x\sqrt{2} + 6 = 0$

$-(A - B) = 0$

$A - B = 0$

$(x - \sqrt{2})(3\sqrt{2} - 2x) = 0$
معادلة الجداء المعدوم:

إما $x - \sqrt{2} = 0$ ⟹ $x = \sqrt{2}$

أو $3\sqrt{2} - 2x = 0$ ⟹ $x = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
$S = \left\{\sqrt{2} ; \frac{3\sqrt{2}}{2}\right\}$
4) أوجد العدد $x$ في كل حالة
أ) $(2x + 1)^2 = 4$
ب) $\sqrt{x^2 + 44} = 6$
✅ الحل الكامل - التمرين 4
الحل أ: حل المعادلة $(2x + 1)^2 = 4$

الطريقة 1: بأخذ الجذر التربيعي

$(2x + 1)^2 = 4$

$|2x + 1| = 2$
هذا يعني:

$2x + 1 = 2$ أو $2x + 1 = -2$

الحالة الأولى:

$2x + 1 = 2$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$

الحالة الثانية:

$2x + 1 = -2$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
الطريقة 2: باستعمال المتطابقة الهامة

$(2x + 1)^2 - 4 = 0$
$(2x + 1)^2 - 2^2 = 0$
$(2x + 1 - 2)(2x + 1 + 2) = 0$
$(2x - 1)(2x + 3) = 0$

إما $2x - 1 = 0$ ⟹ $x = \frac{1}{2}$
أو $2x + 3 = 0$ ⟹ $x = -\frac{3}{2}$
$S = \left\{-\frac{3}{2} ; \frac{1}{2}\right\}$
الحل ب: حل المعادلة $\sqrt{x^2 + 44} = 6$
شرط الوجود: $x^2 + 44 \geq 0$ (محقق دائماً)

خطوة 1: رفع الطرفين للتربيع

$(\sqrt{x^2 + 44})^2 = 6^2$

$x^2 + 44 = 36$

$x^2 = 36 - 44$

$x^2 = -8$
⚠️ تحليل النتيجة:

نلاحظ أن $x^2 = -8$ وهذا مستحيل لأن مربع أي عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالباً.

في $\mathbb{R}$، لا يوجد عدد حقيقي $x$ يحقق $x^2 = -8$
المعادلة $\sqrt{x^2 + 44} = 6$ ليس لها حل في $\mathbb{R}$

$S = \emptyset$
التحقق:
أصغر قيمة ممكنة لـ $\sqrt{x^2 + 44}$ هي $\sqrt{44} = 2\sqrt{11} \approx 6.63$
وهذا أكبر من $6$، لذلك المعادلة مستحيلة.