تمارين حول الجذور التربيعية - الجزء 3

تمرين عدد 2

نعتبر الأعداد التالية حيث \(x\) عدد حقيقي:

\[a = \sqrt{3} \times |-3\sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{8}| - \sqrt{15 - 6\sqrt{6}} + |-5 - 2\sqrt{6}|\]

\[b = \frac{1}{2}(\sqrt{24} - 6) + \sqrt{3}\left(\sqrt{\frac{52}{26}} + \frac{8\sqrt{3}}{3}\right)\]

\[c = \frac{x\sqrt{2} + \sqrt{12}}{\sqrt{2}}\]

1) أحسب \((3 - \sqrt{6})^2\) ثم بين أن \(a = 5 - 2\sqrt{6}\) و \(b = 5 + 2\sqrt{6}\) و \(c = x + \sqrt{6}\)

أ* بين أن العدد \(a\) هو مقلوب العدد \(b\)

ب* احسب \(\frac{a+2}{a} - b\)

ج* بين أن العدد \(2\sqrt{6}(|b| - \sqrt{a^2})\) هو مربع لعدد صحيح طبيعي

3) أوجد العدد الحقيقي \(x\) إذا علمت أن العددين \(a\) و \(c\) متقابلان

1 الإرشاد - حساب \((3 - \sqrt{6})^2\)

لحساب \((3 - \sqrt{6})^2\):

استخدم الهوية الهامة \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
عوض \(a = 3\) و \(b = \sqrt{6}\)

2 المنهجية - حساب \((3 - \sqrt{6})^2\)

\[(3 - \sqrt{6})^2 = 3^2 - 2 \times 3 \times \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2\] \[= 9 - 6\sqrt{6} + 6\] \[= 15 - 6\sqrt{6}\]

3 الحل الكامل - حساب \((3 - \sqrt{6})^2\)

\[(3 - \sqrt{6})^2 = 15 - 6\sqrt{6}\]

1 الإرشاد - حساب \(a\)

لحساب \(a\):

بسط \(|-3\sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{8}|\) (لاحظ أن \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\))
استخدم النتيجة السابقة: \(\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = \sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} = |3 - \sqrt{6}|\)
حدد إشارة \(-5 - 2\sqrt{6}\)

2 المنهجية - حساب \(a\)

الحد الأول:

\[-3\sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{8} = -3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -3\sqrt{2}\] \[|-3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}\] \[\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} = 3\sqrt{6}\]

الحد الثاني:

\[\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = \sqrt{(3 - \sqrt{6})^2}\]

بما أن \(3 > \sqrt{6}\) (لأن \(\sqrt{6} \approx 2.45\)):

\[\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} = |3 - \sqrt{6}| = 3 - \sqrt{6}\]

الحد الثالث:

بما أن \(-5 - 2\sqrt{6} < 0\):

\[|-5 - 2\sqrt{6}| = 5 + 2\sqrt{6}\]

الحساب النهائي:

\[a = 3\sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) + (5 + 2\sqrt{6})\] \[a = 3\sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} + 5 + 2\sqrt{6}\] \[a = (3\sqrt{6} + \sqrt{6} + 2\sqrt{6}) + (-3 + 5)\] \[a = 6\sqrt{6} + 2\]

انتبه! هناك خطأ في حسابي. دعني أعيد الحساب بعناية...

\[a = 3\sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} + 5 + 2\sqrt{6}\]

في الواقع، يجب أن نحسب بدقة أكبر. دعنا نتحقق من كل خطوة.

3 الحل الكامل - حساب \(a\)

إعادة الحساب بدقة:

\[a = 3\sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) + (5 + 2\sqrt{6})\] \[a = 3\sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} + 5 + 2\sqrt{6}\] \[a = 6\sqrt{6} + 2\]

ولكن المطلوب إثبات أن \(a = 5 - 2\sqrt{6}\)...

ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في قراءة المعطيات من الصورة أو في الصياغة الأصلية. القيمة المحسوبة لا تتطابق مع المطلوب.

1 الإرشاد - حساب \(b\)

لحساب \(b = \frac{1}{2}(\sqrt{24} - 6) + \sqrt{3}(\sqrt{\frac{52}{26}} + \frac{8\sqrt{3}}{3})\):

بسط \(\sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)
بسط \(\sqrt{\frac{52}{26}} = \sqrt{2}\)
احسب كل حد على حدة ثم اجمع

2 المنهجية - حساب \(b\)

الحد الأول:

\[\frac{1}{2}(\sqrt{24} - 6) = \frac{1}{2}(2\sqrt{6} - 6) = \sqrt{6} - 3\]

الحد الثاني:

\[\sqrt{3}\left(\sqrt{\frac{52}{26}} + \frac{8\sqrt{3}}{3}\right) = \sqrt{3}(\sqrt{2} + \frac{8\sqrt{3}}{3})\] \[= \sqrt{3} \times \sqrt{2} + \sqrt{3} \times \frac{8\sqrt{3}}{3}\] \[= \sqrt{6} + \frac{8 \times 3}{3}\] \[= \sqrt{6} + 8\]

الحساب النهائي:

\[b = (\sqrt{6} - 3) + (\sqrt{6} + 8)\] \[b = 2\sqrt{6} + 5\] \[b = 5 + 2\sqrt{6}\]

3 الحل الكامل - حساب \(b\)

\[b = 5 + 2\sqrt{6}\]

1 الإرشاد - حساب \(c\)

لحساب \(c = \frac{x\sqrt{2} + \sqrt{12}}{\sqrt{2}}\):

بسط \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)
قسم كل حد في البسط على \(\sqrt{2}\)

2 المنهجية - حساب \(c\)

\[c = \frac{x\sqrt{2} + \sqrt{12}}{\sqrt{2}}\] \[c = \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}\] \[c = x + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\] \[c = x + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\] \[c = x + \frac{2\sqrt{6}}{2}\] \[c = x + \sqrt{6}\]

3 الحل الكامل - حساب \(c\)

\[c = x + \sqrt{6}\]

1 الإرشاد للسؤال 2 (أ)

لإثبات أن \(a\) مقلوب \(b\):

يجب إثبات أن \(a \times b = 1\)
استخدم \(a = 5 - 2\sqrt{6}\) و \(b = 5 + 2\sqrt{6}\)
الهوية الهامة: \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\)

2 المنهجية للسؤال 2 (أ)

\[a \times b = (5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})\]

باستخدام الهوية \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\):

\[a \times b = 5^2 - (2\sqrt{6})^2\] \[a \times b = 25 - 4 \times 6\] \[a \times b = 25 - 24\] \[a \times b = 1\]

3 الحل الكامل للسؤال 2 (أ)

بما أن \(a \times b = 1\)، فإن \(a = \frac{1}{b}\)
إذن \(a\) هو مقلوب \(b\)

1 الإرشاد للسؤال 2 (ب)

لحساب \(\frac{a+2}{a} - b\):

استخدم نتيجة السؤال السابق: \(ab = 1\) أي \(\frac{1}{a} = b\)
بسط التعبير \(\frac{a+2}{a}\) أولاً
اطرح \(b\)

2 المنهجية للسؤال 2 (ب)

الطريقة الأولى (استخدام \(\frac{1}{a} = b\)):

\[\frac{a+2}{a} - b = \frac{a}{a} + \frac{2}{a} - b\] \[= 1 + 2 \times \frac{1}{a} - b\]

بما أن \(\frac{1}{a} = b\):

\[= 1 + 2b - b\] \[= 1 + b\] \[= 1 + (5 + 2\sqrt{6})\] \[= 6 + 2\sqrt{6}\]

الطريقة الثانية (استخدام \(ab = 1\)):

\[\frac{a+2}{a} - b = \frac{a+2 - ab}{a}\]

بما أن \(ab = 1\):

\[= \frac{a + 2 - 1}{a} = \frac{a + 1}{a}\] \[= 1 + \frac{1}{a}\] \[= 1 + b\] \[= 1 + (5 + 2\sqrt{6})\] \[= 6 + 2\sqrt{6}\]

الطريقة الثالثة (التعويض المباشر):

\[\frac{a+2}{a} - b = \frac{(5 - 2\sqrt{6}) + 2}{5 - 2\sqrt{6}} - (5 + 2\sqrt{6})\] \[= \frac{7 - 2\sqrt{6}}{5 - 2\sqrt{6}} - (5 + 2\sqrt{6})\]

نرشد المقام:

\[= \frac{(7 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})} - (5 + 2\sqrt{6})\] \[= \frac{(7 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})}{1} - (5 + 2\sqrt{6})\]

ننشر البسط:

\[= 35 + 14\sqrt{6} - 10\sqrt{6} - 24 - 5 - 2\sqrt{6}\] \[= 35 - 24 - 5 + (14\sqrt{6} - 10\sqrt{6} - 2\sqrt{6})\] \[= 6 + 2\sqrt{6}\]

3 الحل الكامل للسؤال 2 (ب)

\[\frac{a+2}{a} - b = 6 + 2\sqrt{6}\]

يمكن أيضاً كتابة النتيجة على الشكل:

\[\frac{a+2}{a} - b = 2(3 + \sqrt{6})\]

1 الإرشاد للسؤال 2 (ج)

لإثبات أن \(2\sqrt{6}(|b| - \sqrt{a^2})\) هو مربع لعدد صحيح طبيعي:

احسب \(\sqrt{a^2} = |a|\)
احسب \(|b|\)
احسب الفرق \(|b| - \sqrt{a^2}\)
اضرب في \(2\sqrt{6}\)
تحقق من أن النتيجة مربع كامل

2 المنهجية للسؤال 2 (ج)

حساب \(\sqrt{a^2}\):

\[\sqrt{a^2} = |a| = |5 - 2\sqrt{6}|\]

بما أن \(\sqrt{6} \approx 2.449\)، فإن \(2\sqrt{6} \approx 4.898 < 5\)

إذن \(5 - 2\sqrt{6} > 0\)، وبالتالي:

\[|a| = 5 - 2\sqrt{6}\]

حساب \(|b|\):

\[|b| = |5 + 2\sqrt{6}| = 5 + 2\sqrt{6}\]

(لأن \(b > 0\) بوضوح)

حساب الفرق:

\[|b| - \sqrt{a^2} = (5 + 2\sqrt{6}) - (5 - 2\sqrt{6})\] \[= 5 + 2\sqrt{6} - 5 + 2\sqrt{6}\] \[= 4\sqrt{6}\]

الضرب في \(2\sqrt{6}\):

\[2\sqrt{6}(|b| - \sqrt{a^2}) = 2\sqrt{6} \times 4\sqrt{6}\] \[= 8 \times (\sqrt{6})^2\] \[= 8 \times 6\] \[= 48\]

التحقق من كون 48 مربعاً كاملاً:

نحلل 48 إلى عوامله الأولية:

\[48 = 16 \times 3 = 2^4 \times 3\]

انتبه! العدد 48 ليس مربعاً كاملاً لعدد صحيح.

ولكن، هل السؤال يطلب إثبات أن التعبير نفسه (وليس قيمته العددية) هو مربع؟

دعنا نتحقق مرة أخرى من قيم \(a\) و \(b\). إذا كانت هناك قيم أخرى لـ \(a\) و \(b\)، قد تكون النتيجة مختلفة.

3 الحل الكامل للسؤال 2 (ج)

\[2\sqrt{6}(|b| - \sqrt{a^2}) = 48\]

ملاحظة: العدد 48 ليس مربعاً كاملاً لعدد صحيح طبيعي.
قد تكون هناك قيم مختلفة لـ \(a\) و \(b\) في المسألة الأصلية، أو ربما يوجد خطأ في قراءة المعطيات من الصورة.

1 الإرشاد للسؤال 3

لإيجاد \(x\) بحيث \(a\) و \(c\) متقابلان:

عددان متقابلان يعني \(a + c = 0\)
استخدم \(a = 5 - 2\sqrt{6}\) و \(c = x + \sqrt{6}\)

2 المنهجية للسؤال 3

\[a + c = 0\] \[(5 - 2\sqrt{6}) + (x + \sqrt{6}) = 0\] \[5 - 2\sqrt{6} + x + \sqrt{6} = 0\] \[x + 5 - \sqrt{6} = 0\] \[x = -5 + \sqrt{6}\] \[x = \sqrt{6} - 5\]

3 الحل الكامل للسؤال 3

\[x = \sqrt{6} - 5\]

تمرين عدد 3

لتكن العبارة: \[A = (2x - 3)(1 - 3x)\] حيث \(x \in \mathbb{R}\)

1) أحسب \(|A|\) إذا كان \(x = -\sqrt{2}\)

2) أوجد العدد الحقيقي \(x\) إذا علمت أن \(A = 0\)

3) لتكن العبارة \(B = (3 - 2x)(5x - 4)\) حيث \(x \in \mathbb{R}\)

أ* بين أن \(A - B = (2x - 3)^2\)

ب* أوجد العدد الحقيقي \(x\) إذا كان \(\sqrt{A - B} = 2\)

1 الإرشاد للسؤال 1

لحساب \(|A|\) عند \(x = -\sqrt{2}\):

عوض قيمة \(x = -\sqrt{2}\) في التعبير \(A = (2x - 3)(1 - 3x)\)
احسب قيمة كل قوس
احسب الجذاء
خذ القيمة المطلقة

2 المنهجية للسؤال 1

عند \(x = -\sqrt{2}\):

القوس الأول:

\[2x - 3 = 2(-\sqrt{2}) - 3 = -2\sqrt{2} - 3\]

القوس الثاني:

\[1 - 3x = 1 - 3(-\sqrt{2}) = 1 + 3\sqrt{2}\]

الجذاء:

\[A = (-2\sqrt{2} - 3)(1 + 3\sqrt{2})\] \[= -2\sqrt{2} \times 1 + (-2\sqrt{2}) \times 3\sqrt{2} - 3 \times 1 - 3 \times 3\sqrt{2}\] \[= -2\sqrt{2} - 6 \times 2 - 3 - 9\sqrt{2}\] \[= -2\sqrt{2} - 12 - 3 - 9\sqrt{2}\] \[= -11\sqrt{2} - 15\]

القيمة المطلقة:

بما أن \(-11\sqrt{2} - 15 < 0\):

\[|A| = |-11\sqrt{2} - 15| = 11\sqrt{2} + 15\]

3 الحل الكامل للسؤال 1

عند \(x = -\sqrt{2}\): \[|A| = 11\sqrt{2} + 15\]

1 الإرشاد للسؤال 2

لإيجاد قيم \(x\) التي تحقق \(A = 0\):

استخدم \(A = (2x - 3)(1 - 3x)\)
جداء يساوي صفراً يعني أحد العاملين على الأقل يساوي صفراً

2 المنهجية للسؤال 2

\[A = 0 \Leftrightarrow (2x - 3)(1 - 3x) = 0\]

جداء يساوي صفراً يعني:

\[2x - 3 = 0 \quad \text{أو} \quad 1 - 3x = 0\]

الحل الأول:

\[2x - 3 = 0\] \[2x = 3\] \[x = \frac{3}{2}\]

الحل الثاني:

\[1 - 3x = 0\] \[3x = 1\] \[x = \frac{1}{3}\]

3 الحل الكامل للسؤال 2

الحلول هي: \(x = \frac{3}{2}\) أو \(x = \frac{1}{3}\)

1 الإرشاد للسؤال 3 (أ)

لإثبات أن \(A - B = (2x - 3)^2\):

انشر كلاً من \(A\) و \(B\)
احسب \(A - B\)
عمل التعبير الناتج

2 المنهجية للسؤال 3 (أ)

نشر A:

\[A = (2x - 3)(1 - 3x)\] \[A = 2x - 6x^2 - 3 + 9x\] \[A = -6x^2 + 11x - 3\]

نشر B:

\[B = (3 - 2x)(5x - 4)\] \[B = 15x - 12 - 10x^2 + 8x\] \[B = -10x^2 + 23x - 12\]

حساب A - B:

\[A - B = (-6x^2 + 11x - 3) - (-10x^2 + 23x - 12)\] \[A - B = -6x^2 + 11x - 3 + 10x^2 - 23x + 12\] \[A - B = 4x^2 - 12x + 9\]

التعميل:

نتعرف على الشكل \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\):

\[4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2\] \[= (2x - 3)^2\]

3 الحل الكامل للسؤال 3 (أ)

\[A - B = (2x - 3)^2\]

1 الإرشاد للسؤال 3 (ب)

لإيجاد \(x\) بحيث \(\sqrt{A - B} = 2\):

استخدم النتيجة السابقة: \(A - B = (2x - 3)^2\)
إذن \(\sqrt{A - B} = \sqrt{(2x - 3)^2} = |2x - 3|\)
حل المعادلة \(|2x - 3| = 2\)

2 المنهجية للسؤال 3 (ب)

\[\sqrt{A - B} = 2\] \[\sqrt{(2x - 3)^2} = 2\] \[|2x - 3| = 2\]

المعادلة \(|2x - 3| = 2\) تكافئ:

\[2x - 3 = 2 \quad \text{أو} \quad 2x - 3 = -2\]

الحل الأول:

\[2x - 3 = 2\] \[2x = 5\] \[x = \frac{5}{2}\]

الحل الثاني:

\[2x - 3 = -2\] \[2x = 1\] \[x = \frac{1}{2}\]

3 الحل الكامل للسؤال 3 (ب)

الحلول هي: \(x = \frac{5}{2}\) أو \(x = \frac{1}{2}\)