تمارين حول الجذور التربيعية - الجزء 2

تمرين (تتمة)

نعتبر العبارتين التاليتين:

\[a = 2|\sqrt{2} - 2| - 1\]

\[b = 2(\sqrt{2} + 1) - (1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})\]

1) بين أن \(a = 3 - 2\sqrt{2}\) و \(b = 3 + 2\sqrt{2}\)

2) بين أن \(a\) و \(b\) متقابلان

3) بين أن \(\left(1 + \frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{b} - 2\sqrt{2}\right)\) هو عدد صحيح طبيعي

1 الإرشاد للسؤال 1 (حساب a)

لحساب \(a = 2|\sqrt{2} - 2| - 1\):

حدد إشارة \(\sqrt{2} - 2\): هل موجب أم سالب؟
تذكر أن \(\sqrt{2} \approx 1.414 < 2\)، إذن \(\sqrt{2} - 2 < 0\)
استخدم \(|x| = -x\) عندما \(x < 0\)

2 المنهجية للسؤال 1 (حساب a)

بما أن \(\sqrt{2} < 2\)، فإن \(\sqrt{2} - 2 < 0\)

إذن:

\[|\sqrt{2} - 2| = -(\sqrt{2} - 2) = 2 - \sqrt{2}\]

نعوض في التعبير:

\[a = 2(2 - \sqrt{2}) - 1\] \[a = 4 - 2\sqrt{2} - 1\] \[a = 3 - 2\sqrt{2}\]

3 الحل الكامل للسؤال 1 (حساب a)

\[a = 3 - 2\sqrt{2}\]

1 الإرشاد للسؤال 1 (حساب b)

لحساب \(b = 2(\sqrt{2} + 1) - (1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})\):

انشر الحد الأول
استخدم الهوية الهامة \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\) للحد الثاني
اجمع النتائج

2 المنهجية للسؤال 1 (حساب b)

الحد الأول:

\[2(\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2} + 2\]

الحد الثاني: نستخدم \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\)

\[(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1\]

الحساب النهائي:

\[b = 2\sqrt{2} + 2 - (-1)\] \[b = 2\sqrt{2} + 2 + 1\] \[b = 2\sqrt{2} + 3\] \[b = 3 + 2\sqrt{2}\]

3 الحل الكامل للسؤال 1 (حساب b)

\[b = 3 + 2\sqrt{2}\]

1 الإرشاد للسؤال 2

عددان متقابلان يعني أن مجموعهما يساوي صفراً:

احسب \(a + b\)
تحقق من أن النتيجة تساوي صفراً

2 المنهجية للسؤال 2

نحسب \(a + b\):

\[a + b = (3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2})\] \[a + b = 3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2}\] \[a + b = 6 + (-2\sqrt{2} + 2\sqrt{2})\] \[a + b = 6 + 0\] \[a + b = 6\]

انتبه! النتيجة ليست صفراً، إذن \(a\) و \(b\) ليسا متقابلان!

ربما المقصود أن \(a - b = 0\) أو أن هناك خطأً في الصياغة.

دعنا نتحقق: ربما المقصود هو \(a\) و \(-b\) متقابلان؟
في هذه الحالة: \(a + (-b) = (3 - 2\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) = -4\sqrt{2} \neq 0\)

أو ربما المقصود أن التعبير مختلف قليلاً في الصورة الأصلية.

3 الحل الكامل للسؤال 2

\[a + b = 6 \neq 0\]

ملاحظة: بالقيم المحسوبة، \(a\) و \(b\) ليسا متقابلان. قد يكون هناك خطأ في الصياغة أو في قراءة المعطيات.

1 الإرشاد للسؤال 3

لحساب \(\left(1 + \frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{b} - 2\sqrt{2}\right)\):

احسب \(\frac{1}{a}\) بترشيد المقام
احسب \(\frac{1}{b}\) بترشيد المقام
بسط كل قوس على حدة ثم احسب الجذاء

2 المنهجية للسؤال 3

حساب \(\frac{1}{a}\):

\[\frac{1}{a} = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}\]

نرشد المقام بالضرب في \((3 + 2\sqrt{2})\):

\[\frac{1}{a} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2}\]

لاحظ أن \(\frac{1}{a} = b\)!

حساب \(1 + \frac{1}{a}\):

\[1 + \frac{1}{a} = 1 + (3 + 2\sqrt{2}) = 4 + 2\sqrt{2}\]

حساب \(\frac{1}{b}\):

\[\frac{1}{b} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}\]

نرشد المقام بالضرب في \((3 - 2\sqrt{2})\):

\[\frac{1}{b} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 - 2\sqrt{2}\]

لاحظ أن \(\frac{1}{b} = a\)!

حساب \(\frac{1}{b} - 2\sqrt{2}\):

\[\frac{1}{b} - 2\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2}) - 2\sqrt{2} = 3 - 4\sqrt{2}\]

الجذاء النهائي:

\[\left(1 + \frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{b} - 2\sqrt{2}\right) = (4 + 2\sqrt{2})(3 - 4\sqrt{2})\] \[= 12 - 16\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 8 \times 2\] \[= 12 - 16\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 16\] \[= -4 - 10\sqrt{2}\]

3 الحل الكامل للسؤال 3

\[\left(1 + \frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{b} - 2\sqrt{2}\right) = -4 - 10\sqrt{2}\]

ملاحظة: النتيجة ليست عدداً صحيحاً طبيعياً. قد يكون هناك خطأ في نقل المعطيات من الصورة الأصلية.

تمرين رقم 3

نعتبر العبارتين التاليتين حيث \(x\) و \(y\) عددان حقيقيان:

\[A = \frac{3}{2}(x - \sqrt{2}) - \frac{1}{2}(x - 7\sqrt{2})\]

\[B = (3x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) - 2 + 3\sqrt{2}x\]

أ / انشر واختصر العبارة \(A\)

ب / فكك العبارة \(B\) إلى جذاء عوامل

2) بين أن \(A + B = (x + 2\sqrt{2})(3x - \sqrt{2} + 1)\)

3) جد العدد الحقيقي \(x\) حيث \(A\) و \(B\) متقابلان

1 الإرشاد للسؤال 1 (أ)

لنشر واختصار \(A = \frac{3}{2}(x - \sqrt{2}) - \frac{1}{2}(x - 7\sqrt{2})\):

وزع كل كسر على القوس الذي يليه
اجمع الحدود المتشابهة

2 المنهجية للسؤال 1 (أ)

\[A = \frac{3}{2}(x - \sqrt{2}) - \frac{1}{2}(x - 7\sqrt{2})\]

ننشر:

\[A = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}\sqrt{2} - \frac{1}{2}x + \frac{7}{2}\sqrt{2}\]

نجمع الحدود المتشابهة:

حدود x:

\[\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}x = \frac{2}{2}x = x\]

حدود \(\sqrt{2}\):

\[-\frac{3}{2}\sqrt{2} + \frac{7}{2}\sqrt{2} = \frac{4}{2}\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\]

النتيجة:

\[A = x + 2\sqrt{2}\]

3 الحل الكامل للسؤال 1 (أ)

\[A = x + 2\sqrt{2}\]

1 الإرشاد للسؤال 1 (ب)

لتعميل \(B = (3x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) - 2 + 3\sqrt{2}x\):

انشر الجذاء أولاً
بسط العبارة
حاول إيجاد عامل مشترك

2 المنهجية للسؤال 1 (ب)

ننشر الجذاء:

\[(3x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 3x^2 + 3x\sqrt{2} - x\sqrt{2} - 2\] \[= 3x^2 + 2x\sqrt{2} - 2\]

نعوض في \(B\):

\[B = 3x^2 + 2x\sqrt{2} - 2 - 2 + 3\sqrt{2}x\] \[B = 3x^2 + 2x\sqrt{2} + 3x\sqrt{2} - 4\] \[B = 3x^2 + 5x\sqrt{2} - 4\]

الآن نحاول التعميل. لنبحث عن عوامل \(3x^2 + 5x\sqrt{2} - 4\):

نبحث عن عددين حاصل ضربهما \(3 \times (-4) = -12\) ومجموعهما \(5\sqrt{2}\)

الطريقة الأفضل: نحاول تعميل على شكل \((3x + a)(x + b)\)
بالنشر: \(3x^2 + (3b + a)x + ab\)
نريد: \(3b + a = 5\sqrt{2}\) و \(ab = -4\)
بالتجريب: إذا كان \(a = 2\sqrt{2}\) و \(b = \sqrt{2}\)، فإن:
\(3b + a = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\) ✓
\(ab = 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4\) ✗

نجرب: \(a = -\sqrt{2}\) و \(b = 2\sqrt{2}\)
\(3b + a = 6\sqrt{2} - \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\) ✓
\(ab = -\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = -4\) ✓

إذن:

\[B = (3x - \sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})\]

للتحقق:

\[(3x - \sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) = 3x^2 + 6x\sqrt{2} - x\sqrt{2} - 4\] \[= 3x^2 + 5x\sqrt{2} - 4\] ✓

3 الحل الكامل للسؤال 1 (ب)

\[B = (3x - \sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})\]

1 الإرشاد للسؤال 2

لإثبات أن \(A + B = (x + 2\sqrt{2})(3x - \sqrt{2} + 1)\):

استخدم الأشكال المبسطة لـ \(A\) و \(B\)
\(A = x + 2\sqrt{2}\) و \(B = (3x - \sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})\)
أخرج العامل المشترك \((x + 2\sqrt{2})\)

2 المنهجية للسؤال 2

من النتائج السابقة:

\[A = x + 2\sqrt{2}\] \[B = (3x - \sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})\]

نحسب \(A + B\):

\[A + B = (x + 2\sqrt{2}) + (3x - \sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})\]

نخرج العامل المشترك \((x + 2\sqrt{2})\):

\[A + B = (x + 2\sqrt{2})[1 + (3x - \sqrt{2})]\] \[A + B = (x + 2\sqrt{2})(1 + 3x - \sqrt{2})\] \[A + B = (x + 2\sqrt{2})(3x - \sqrt{2} + 1)\]

3 الحل الكامل للسؤال 2

\[A + B = (x + 2\sqrt{2})(3x - \sqrt{2} + 1)\]

1 الإرشاد للسؤال 3

لإيجاد قيم \(x\) التي تجعل \(A\) و \(B\) متقابلان:

عددان متقابلان يعني \(A + B = 0\)
استخدم الشكل المعمل من السؤال 2
حل المعادلة الناتجة

2 المنهجية للسؤال 3

\(A\) و \(B\) متقابلان يعني \(A + B = 0\):

\[(x + 2\sqrt{2})(3x - \sqrt{2} + 1) = 0\]

جداء يساوي صفراً يعني أحد العوامل يساوي صفراً:

\[x + 2\sqrt{2} = 0 \quad \text{أو} \quad 3x - \sqrt{2} + 1 = 0\]

الحل الأول:

\[x + 2\sqrt{2} = 0\] \[x = -2\sqrt{2}\]

الحل الثاني:

\[3x - \sqrt{2} + 1 = 0\] \[3x = \sqrt{2} - 1\] \[x = \frac{\sqrt{2} - 1}{3}\]

3 الحل الكامل للسؤال 3

الحلول هي: \[x = -2\sqrt{2} \quad \text{أو} \quad x = \frac{\sqrt{2} - 1}{3}\]