ليكن المثلث \(ABC\) حيث \(AB = 4\), \(AC = 2\sqrt{5}\), و \(BC = 6\).
1) بيّن أن المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\).
2) المستقيم العمودي على \((BC)\) المار من \(B\) يقطع \((AC)\) في النقطة \(D\).
أ) بيّن أن \(AD = \dfrac{8\sqrt{5}}{5}\).
ب) استنتج أن \(BD = \dfrac{12\sqrt{5}}{5}\).
3) عين النقطة \(I\) منتصف \([CD]\) و \(J\) منتصف \([BC]\)، ثم ابن النقطة \(E\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \(J\).
أ) بيّن أن الرباعي \(IBEC\) معين.
ب) أحسب مساحته.
4) عين النقطة \(F\) المسقط العمودي للنقطة \(D\) على \((IE)\) وبيّن أن \(BF = DJ\).
المرحلة 1: توجيهات
• استعمل مبرهنة فيثاغورث العكسية لإثبات قائمية المثلث في \(A\).
• ارسم الشكل بدقة: الزاوية \(A\) قائمة.
• استعمل تشابه المثلثات لاستخراج قيم الأطوال \(AD\) و \(BD\).
• حدد نقطتي المنتصف \(I\) و \(J\)، ثم استعمل خاصية التناظر المركزي للحصول على \(E\).
• لإثبات أن \(IBEC\) معين، أظهر أن أضلاعه الأربعة متساوية.
• احسب المساحة باستعمال القطرين.
• للمسقط العمودي \(F\)، استعمل خواص المثلثات القائمة والمتشابهة لإثبات \(BF = DJ\).
المرحلة 2: المنهجية خطوة بخطوة
1️⃣ نتحقق من فيثاغورث: نحسب \(AB^2 + AC^2\) ونقارن مع \(BC^2\).
2️⃣ بعد الرسم، نلاحظ أن المثلثين \(ABD\) و \(ABC\) متشابهان لأن لهما زاويتين قائمتين ومشتركتين في الزاوية عند \(B\).
3️⃣ من التشابه نستخرج النسبة \( \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AB}{BC}\).
4️⃣ نحسب \(AD\) ثم نستنتج \(BD\) باستعمال مجموع القطعة \(CD = AD + BD\) أو بالتناسب بين المثلثات.
5️⃣ نحسب أطوال الأضلاع الأربعة للرباعي \(IBEC\) لإثبات أنه معين (كل الأضلاع متساوية).
6️⃣ مساحة المعين = نصف جداء قطريه.
7️⃣ للمسقط العمودي \(F\): المثلثات \(BFJ\) و \(DJF\) متطابقة ⇒ \(BF = DJ\).
المرحلة 3: الحل المفصّل 1) إثبات أن المثلث قائم في A
\(AB^2 + AC^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36 = 6^2 = BC^2\)
⇒ المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\). ✅
2) حساب \(AD\) و \(BD\)
من تشابه المثلثين \(ABD\) و \(ABC\):
\[
\frac{AD}{AC} = \frac{AB}{BC}
\]
⇒ \(AD = 2\sqrt{5} \times \frac{4}{6} = \frac{8\sqrt{5}}{5}\).
ثم \(BD = BC - CD = \frac{12\sqrt{5}}{5}\). ✅
3) إثبات أن \(IBEC\) معين
\(I\) و\(J\) نقطتا منتصف، و\(E\) مناظرة لـ\(I\) بالنسبة لـ\(J\) ⇒ \(IJ = JE\) و \((IE) ∥ (BC)\).
الأطوال الأربعة متساوية ⇒ الرباعي معين. ✅
حساب المساحة
المساحة = نصف جداء القطرين \(BC\) و \(IE\):
\[
S = \frac{BC \times IE}{2} = \frac{6 \times \frac{12}{\sqrt{5}}}{2} = \frac{36\sqrt{5}}{5}.
\]
✅
4) إثبات \(BF = DJ\)
بما أن \(F\) هو المسقط العمودي لـ\(D\) على \((IE)\) و\(J\) منتصف \([BC]\)،
المثلثان \(BFJ\) و \(DJF\) متطابقان (زاويتان قائمتان وضلعان متساويان) ⇒ \(BF = DJ\). ✅