التمرين رقم 3

📐 مبرهنة طالس 🔸 القطران والتقاطع ⭐ المستوى: 9 أساسي
التمرين 3
شبه منحرف والقطران
📏 وحدة القياس هي السنتيمتر
المعطيات:

ABCD شبه منحرف قاعدتاه AB و CD حيث:

  • AB = 6
  • CD = 9
  • القطران AC و BD يتقاطعان في O
1) بيّن أن:
$$\frac{OA}{OC} = \frac{6}{9}$$
2) ابنِ النقطة M من AD حيث:
$$\frac{AM}{AD} = \frac{2}{5}$$
3) المستقيم المار من O و الموازي لـ AB يقطع BC في N
أ) حقق أن M ينتمي إلى ON
ب) بيّن أن:
$$\frac{BN}{BC} = \frac{2}{5}$$
4) أحسب OM و ON
5) عيّن I و J منتصفي MD و NC على التوالي. بيّن أن IJ // DC وأحسب IJ
6) IJ يقطع OD في P
أ) بيّن أن P منتصف OD
ب) أحسب IP
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

📚 مبرهنة طالس:

في مثلث، إذا رُسم مستقيم يوازي أحد الأضلاع، فإنه يقسم الضلعين الآخرين بنفس النسبة

للسؤال 1:

• طبّق مبرهنة طالس في المثلثين OAB و ODC (شكل الفراشة).

للسؤال 3أ:

• استخدم النسبة AO/AC وطبّق مبرهنة طالس العكسية في المثلث ADC.

للسؤال 4:

• أحسب OM باستخدام طالس في المثلث ADC.

• أحسب ON باستخدام طالس في المثلث BCD.

📝 منهجية الحل

1) إثبات النسبة OA/OC = 6/9:

نطبق مبرهنة طالس في المثلثين المتشابهين OAB و ODC (حالة الفراشة):

$$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC} = \frac{6}{9}$$

3أ) إثبات أن M ينتمي إلى ON:

في المثلث ADC، نطبق مبرهنة طالس:

$$\frac{AO}{AC} = \frac{AO}{AO + OC} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$$

نتحقق من أن $$\frac{AO}{AC} = \frac{AM}{AD}$$

4) حساب OM و ON:

نستخدم مبرهنة طالس في المثلث ADC لحساب OM :

$$\frac{OM}{DC} = \frac{AM}{AD} = \frac{2}{5}$$

نستخدم مبرهنة طالس في المثلث BCD لحساب ON :

$$\frac{ON}{DC} = \frac{BN}{BC} = \frac{2}{5}$$

✅ الحل النهائي

1) إثبات النسبة OA/OC = 6/9:

الخطوة 1: تحديد الشروط الهندسية

في المثلثين $$\Delta OAB$$ و $$\Delta OCD$$ :

  • النقط $$A, O, C$$ على استقامة واحدة.
  • النقط $$B, O, D$$ على استقامة واحدة.
  • المستقيم (AB) يوازي المستقيم (DC) (لأن ABCD شبه منحرف).

الخطوة 2: تطبيق مبرهنة طالس

$$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{DC}$$

الخطوة 3: التعويض بالقيم

$$\frac{OA}{OC} = \frac{6}{9}$$
$$\frac{OA}{OC} = \frac{2}{3}$$

∴ OA/OC = 6/9 = 2/3 ✓

2) إنشاء النقطة M:

نضع M على [AD] بحيث: $$\frac{AM}{AD} = \frac{2}{5}$$

3أ) إثبات أن M ينتمي إلى ON:

نستنتج أن $$\frac{AO}{AC} = \frac{2}{5}$$ (من السؤال 1)، وبما أن $$\frac{AM}{AD} = \frac{2}{5}$$ أيضاً، إذن $$\frac{AO}{AC} = \frac{AM}{AD}$$

حسب مبرهنة طالس العكسية، فإن $$(OM) // (DC)$$. وبما أن (ON) // (DC) وبما أن O مشتركة، فإن M تنتمي إلى ON. M, O, N على استقامة واحدة ✓

3ب) حساب النسبة BN/BC:

في المثلث $$\Delta CAB$$، لدينا : $$N \in (BC)$$ و $$(ON) // (AB)$$.

حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{CN}{CB} = \frac{CO}{CA} = \frac{3}{5}$$

ومنه:

$$\frac{BN}{BC} = 1 - \frac{CN}{CB}$$
$$\frac{BN}{BC} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$$

∴ BN/BC = 2/5 ✓

4) حساب OM و ON:

حساب OM:

الخطوة 1: تحديد الشروط الهندسية

في المثلث $$\Delta ADC$$ :

  • $$M \in (AD)$$ و $$O \in (AC)$$.
  • المستقيم (OM) يوازي المستقيم (DC).

الخطوة 2: تطبيق مبرهنة طالس

$$\frac{OM}{DC} = \frac{AM}{AD}$$

الخطوة 3: التعويض بالقيم

$$\frac{OM}{9} = \frac{2}{5}$$
$$OM = \frac{2 \times 9}{5}$$
$$OM = 3.6 \text{ cm}$$

حساب ON:

الخطوة 1: تحديد الشروط الهندسية

في المثلث $$\Delta BCD$$ :

  • $$N \in (BC)$$ و $$O \in (BD)$$.
  • المستقيم (ON) يوازي المستقيم (DC).

الخطوة 2: تطبيق مبرهنة طالس

$$\frac{ON}{DC} = \frac{BN}{BC}$$

الخطوة 3: التعويض بالقيم

$$\frac{ON}{9} = \frac{2}{5}$$
$$ON = 3.6 \text{ cm}$$

∴ OM = ON = 3.6 cm ✓

5) إثبات IJ // DC وحساب IJ:

IJ هو الخط الأوسط في شبه المنحرف MNDC (لأن I و J منتصفي ساقيه):

$$IJ \parallel DC$$
$$MN = 3.6 + 3.6 = 7.2 \text{ cm}$$
$$IJ = \frac{7.2 + 9}{2}$$
$$IJ = 8.1 \text{ cm}$$

∴ IJ // DC و IJ = 8.1 cm ✓

6أ) إثبات أن P منتصف OD:

في المثلث $$\Delta MOD$$، بما أن $$I$$ منتصف [MD] و $$(IP) // (OM)$$ (لأن $$(IJ) // (MN)$$)، فإن P منتصف [OD]. P منتصف [OD] ✓

6ب) حساب IP:

في المثلث $$\Delta MOD$$: [IP] هو الخط الأوسط:

$$IP = \frac{OM}{2}$$
$$IP = \frac{3.6}{2}$$
$$IP = 1.8 \text{ cm}$$

∴ IP = 1.8 cm ✓