ليكن $x$ عددا حقيقيا حيث $x = 2-\sqrt{5}$.
1) بيّن أن $|x| = \sqrt{5}-2$.
2) نعتبر العبارة $A = x - 2\sqrt{5} + |\sqrt{5}-3| + 2x$. بسّط العبارة $A$.
3) نعتبر العبارة $B = x^2 - 4x + 4$. بيّن أن $B = 5$.
1) قارن $2$ و $\sqrt{5}$ لتحديد إشارة $x$.
2) $A$ تتضمن قيمتين مطلقتين، بسّط كل منهما على حدة.
3) $B$ متطابقة شهيرة من الشكل $(u-v)^2$ أو عوض مباشرة قيمة $x$ في العبارة.
1) $2^2=4$ و $(\sqrt{5})^2=5$. بما أن $4 < 5$، فإن $2 < \sqrt{5}$، إذن $x$ سالب. $|x|=-x=\sqrt{5}-2$.
2) $| \sqrt{5}-3 | = 3-\sqrt{5}$. عوض القيم في $A$ وبسّط.
3) $B = (x-2)^2$. عوض قيمة $x$ في هذا الشكل المبسّط.
1) تبيين أن $|x| = \sqrt{5}-2$:
2) تبسيط العبارة $A$:
3) تبيين أن $B = 5$:
نعتبر العبارة $E = 4x^2 - 1 + (2x-1)(3x+2)$ حيث $x$ عدد حقيقي.
1) حلل العبارة $E$ إلى جذاء عوامل من الدرجة الأولى.
2) حل المعادلة $E=0$.
3) أوجد $x$ علما أن $|-x^2 - 1| = 5$.
1) $4x^2-1$ هي متطابقة شهيرة من الشكل $u^2-v^2$. استخرج العامل المشترك.
2) استعمل خاصية الجذاء المعدوم: $A \times B = 0$ تعني $A=0$ أو $B=0$.
3) بما أن $x^2 \ge 0$، فإن $-x^2-1$ سالب قطعا، إذن $|-x^2-1| = -(-x^2-1) = x^2+1$.
1) $4x^2-1 = (2x-1)(2x+1)$. $E = (2x-1) [ (2x+1) + (3x+2) ] = (2x-1)(5x+3)$.
2) $E=0$ تعني $2x-1=0$ أو $5x+3=0$.
3) المعادلة تكافئ $x^2+1=5$ أي $x^2=4$.
1) تحليل العبارة $E$:
2) حل المعادلة $E=0$:
3) حل المعادلة $|-x^2 - 1| = 5$:
في الرسم المقابل، $ABC$ مثلث حيث $M$ نقطة من $(AB)$ و $N$ نقطة من $(AC)$ بحيث $(MN)$ يوازي $(BC)$.
لدينا الأبعاد التالية: $AM = \sqrt{2}$, $MB = 2$, $AN = 3$.
1) أثبت أن $\frac{AM}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$.
2) استنتج أن $\frac{AM}{AB} = \sqrt{2}-1$.
3) أحسب البعد $AC$ ثم البعد $NC$.
1) $AB = AM + MB$.
2) أزل الجذر من مقام الكسر $\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ بالضرب في المرافق $2-\sqrt{2}$.
3) استعمل نظرية طالس وعلاقة الأبعاد $AC = AN + NC$. تذكّر أن شرط الاستقامية يكتب: $M$ ينتمي إلى $(AB)$.
1) $\frac{AM}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}$.
2) $\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}-2}{4-2} = \sqrt{2}-1$.
3) $\frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB} = \sqrt{2}-1$. $AC = \frac{AN}{\sqrt{2}-1}$. $NC = AC - AN$.
1) إثبات أن $\frac{AM}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$:
2) استنتاج أن $\frac{AM}{AB} = \sqrt{2}-1$:
3) حساب البعد $AC$ ثم البعد $NC$ (تطبيق نظرية طالس):
1) قارن العددين $a = 3-\sqrt{7}$ و $b = 2-\sqrt{3}$.
2) نعتبر $x$ عددا حقيقيا حيث $3 \le x \le 4$. أوجد حصرًا للعبارة $C = 2-x^2$.
1) ادرس إشارة الفرق $a-b$.
2) بما أن $x$ موجب، فإن حصر $x^2$ يحافظ على نفس الترتيب. عند ضرب المتباينة في $-1$، اعكس اتجاه الترتيب.
1) $a-b = 1 - (\sqrt{7}-\sqrt{3})$. $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ موجب. قارن $1$ و $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ (أو $1+\sqrt{3}$ و $\sqrt{7}$).
2) $9 \le x^2 \le 16$. اضرب في $-1$: $-16 \le -x^2 \le -9$. ثم أضف $2$.
1) مقارنة العددين $a$ و $b$:
2) حصر العبارة $C = 2-x^2$: