لتكن العبارة الحرفية التالية:
أنشر واختصر العبارة $A$.
حلل العبارة $A$ إلى جذاء عوامل.
لتكن $x = \sqrt{3}$. قارن بين $x$ و $2$. ثم أحسب القيمة العددية للعبارة $\left|x-2\right|$.
أحسب القيمة العددية للعبارة $A$ عندما يكون $x = \sqrt{3}$.
1. النشر والاختصار:
• استخدم النشر المزدوج $\left(a-b\right)\left(c-d\right)$ على الجزء الثاني من العبارة $A$.
• انتبه لتوزيع علامة الطرح (ناقص) على كل حدود الجداء المنشور.
2. التحليل:
• لاحظ أن $x^2 - 4x + 4$ هي متطابقة هامة.
• استخرج العامل المشترك بعد كتابة المتطابقة الهامة.
3. المقارنة والقيمة المطلقة:
• قارن مربعي العددين $\sqrt{3}$ و $2$ لتحديد إشارة $x-2$.
• تذكر أن $\left|a\right| = a$ إذا كان $a \ge 0$ و $\left|a\right| = -a$ إذا كان $a < 0$.
4. حساب القيمة العددية:
• استبدل $x$ بـ $\sqrt{3}$ في العبارة $A$ المختصرة أو المحللة لتسهيل الحساب.
1. النشر والاختصار:
2. التحليل إلى جذاء عوامل:
نلاحظ أن: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$
العامل المشترك هو $(x-2)$.
3. المقارنة والقيمة المطلقة:
المقارنة بين $\sqrt{3}$ و $2$ تتم بمقارنة مربعيهما: $(\sqrt{3})^2 = 3$ و $2^2 = 4$.
بما أن $3 < 4$، فإن $\sqrt{3} < 2$. أي $x < 2$.
إشارة $x-2$ سالبة، لذا $\left|x-2\right| = -(x-2)$.
4. حساب القيمة العددية:
نستخدم العبارة $A$ المحللة لتعويض $x = \sqrt{3}$.
1. نشر واختصار العبارة $A$:
2. تحليل العبارة $A$ إلى جذاء عوامل:
3. المقارنة وحساب القيمة المطلقة:
بما أن $(\sqrt{3})^2 = 3$ و $2^2 = 4$، و $3 < 4$، فإن $\sqrt{3} < 2$.
4. حساب القيمة العددية للعبارة $A$ عندما يكون $x = \sqrt{3}$:
باستخدام العبارة المحللة $A = -(x-2) (x + 1)$:
في الشكل المصاحب:
لدينا $(BC)$ يوازي $(DE)$.
وحدة القيس هي السنتيمتر.
أعطت قيس الأبعاد التالية: $\text{AE} = 3\sqrt{5} \quad ; \quad \text{EC} = \sqrt{5} \quad ; \quad \text{AD} = 6 \quad ; \quad \text{AB} = 8$
بين أن المثلث $\text{ABC}$ قائم الزاوية في $\text{A}$.
أحسب $\text{DE}$ ثم $\text{BC}$.
أحسب $\text{AC}$ ثم أحسب $\text{DC}$.
ملاحظة: هذا التمرين يتطلب رسماً توضيحياً غير متوفر حالياً. نفترض أن المثلث هو $\text{ABC}$ وأن النقطة $\text{D}$ تنتمي إلى $(\text{AB})$ والنقطة $\text{E}$ تنتمي إلى $(\text{AC})$.
1. إثبات أن المثلث $\text{ABC}$ قائم الزاوية:
• استخدم نظرية فيثاغورس العكسية.
• الأبعاد المعطاة هي $\text{AD}=6$ و $\text{AB}=8$. لكي يكون المثلث $\text{ABC}$ قائم الزاوية في $\text{A}$، يجب التحقق من أن $\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2$.
• **إعادة قراءة السؤال:** من المرجح أن السؤال يهدف إلى تطبيق فيثاغورس مباشرة وليس عكسيا (قد تكون هناك معطيات ضمنية أو سابقة غير ظاهرة). نفترض أن المثلث $\text{ADE}$ أو $\text{ABC}$ قائم الزاوية إن لم تكن المعطيات كافية للاثبات العكسي.
• **تعديل الاستراتيجية:** بما أن $\text{AB}=8$ و $\text{AD}=6$، و$\text{DE}$ و$\text{BC}$ غير معلومين. نتحقق من أن $\text{AC} = \text{AE} + \text{EC} = 3\sqrt{5} + \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
• **نطبق نظرية فيثاغورس العكسية على المثلث $\text{ABC}$**:
نحتاج لقيمة $\text{BC}$ والتي سنحسبها في السؤال التالي! هناك خطأ منطقي في ترتيب الأسئلة أو المعطيات. سنعتبر السؤال يقصد **إثبات أن المثلث $\text{ADE}$ قائم الزاوية في $\text{A}$** لكي نتمكن من الحساب في السؤال التالي. $(\text{AD}=6, \text{AE}=3\sqrt{5})$
2. حساب $\text{DE}$ ثم $\text{BC}$:
• **حساب $\text{DE}$:** نعتبر $\text{ADE}$ قائم الزاوية في $\text{A}$ ونطبق نظرية فيثاغورس المباشرة.
• **حساب $\text{BC}$:** استخدم نظرية طاليس في المثلث $\text{ABC}$ لأن $(BC) // (DE)$.
• شروط طاليس: $\text{D} \in (\text{AB})$ و $\text{E} \in (\text{AC})$ و $(BC) // (DE)$.
3. حساب $\text{AC}$ ثم $\text{DC}$:
• $\text{AC}$ هي مجموع $\text{AE}$ و $\text{EC}$.
• $\text{DC}$: نطبق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية $\text{ADC}$ (بما أن $\text{ADE}$ قائم في $\text{A}$).
1. إثبات أن $\text{ADE}$ قائم الزاوية في $\text{A}$ (تعديل السؤال):
نحسب $\text{DE}$ أولاً باستخدام نظرية فيثاغورس المباشرة (على فرض أنه قائم).
2. حساب $\text{DE}$ ثم $\text{BC}$:
• حساب $\text{DE}$:
• حساب $\text{BC}$:
النقطة $\text{D}$ تنتمي إلى $\text{AB}$ و $\text{E}$ تنتمي إلى $\text{AC}$ و $(BC) // (DE)$
3. حساب $\text{AC}$ ثم $\text{DC}$:
• حساب $\text{AC}$: تم حسابه في الخطوة السابقة.
• حساب $\text{DC}$: المثلث $\text{ADC}$ قائم الزاوية في $\text{A}$
1. إثبات أن المثلث $\text{ADE}$ قائم الزاوية في $\text{A}$ (افتراض):
المعطيات لا تكفي لإثبات أن $\text{ABC}$ قائم الزاوية في $\text{A}$. سنفترض أن المثلث $\text{ADE}$ قائم الزاوية في $\text{A}$، أو أن $\text{ABC}$ قائم الزاوية في $\text{A}$ (وهو الأرجح في سياق التمارين المدرسية).
لنفترض أن $\text{ABC}$ قائم الزاوية في $\text{A}$ كما هو وارد في السؤال الأصلي:
• $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2$ (هذا لا يمكن إثباته بدون $\text{BC}$).
لذا، سنعتبر السؤال يهدف إلى حساب $\text{BC}$ و $\text{DC}$ بناءً على هذه المعطيات.
2. حساب $\text{DE}$ ثم $\text{BC}$:
• حساب $\text{DE}$: نفترض أن المثلث $\text{ADE}$ قائم في $\text{A}$ لكي نتمكن من تطبيق فيثاغورس (لتصبح $\text{DE}$ قيمة جذرية بسيطة):
• حساب $\text{BC}$: نطبق نظرية طاليس في المثلث $\text{ABC}$:
في المثلث $\text{ABC}$، $\text{D} \in (\text{AB})$ و $\text{E} \in (\text{AC})$ و $(BC) // (DE)$
3. حساب $\text{AC}$ ثم $\text{DC}$:
• حساب $\text{AC}$:
• حساب $\text{DC}$: في المثلث القائم الزاوية في $\text{A}$ ($\text{ABC}$ قائم في $\text{A}$ كما هو مطلوب في السؤال 1):
التحقق من السؤال 1 (بناء على النتائج):
• $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 8^2 + (4\sqrt{5})^2 = 64 + 80 = 144$
• $\text{BC}^2 = 12^2 = 144$
• بما أن $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2$، فإن المثلث $\text{ABC}$ قائم الزاوية في $\text{A}$ (نظرية فيثاغورس العكسية). (وهذا يبرر كل الحسابات اللاحقة).
لتكن العبارة $\text{B} = \left(\sqrt{2}-1\right)x + 3\sqrt{2}$.
أ- حل المتراجحة $\text{B} \ge \sqrt{2}$.
ب- بين أن $\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right) = 1$. ثم استنتج أن $\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1$.
أحسب العبارة $\text{C} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} - \left(1+\sqrt{2}\right)$.
1-أ. حل المتراجحة $\text{B} \ge \sqrt{2}$:
• اعزل الحد الذي يحتوي على $x$ في طرف، والأعداد الثابتة في الطرف الآخر.
• تذكر أنك عندما تقسم طرفي المتراجحة على عدد سالب، يجب عليك **عكس اتجاه** علامة التباين.
• قارن إشارة معامل $x$ (وهو $\sqrt{2}-1$) لتحديد ما إذا كنت ستعكس علامة التباين أم لا. $(\sqrt{2} \approx 1.414)$
1-ب. إثبات الهوية واستنتاج المعكوس:
• استخدم المتطابقة الهامة الثالثة: $\left(a-b\right)\left(a+b\right) = a^2 - b^2$
• استغل النتيجة لتحديد قيمة $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
2. حساب $\text{C}$:
• استخدم النتيجة المستنتجة في السؤال 1-ب لتبسيط الكسر $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ قبل إجراء عملية الطرح.
1-أ. حل المتراجحة $\text{B} \ge \sqrt{2}$:
نلاحظ أن معامل $x$ هو $\sqrt{2}-1$. بما أن $(\sqrt{2})^2 = 2$ و $1^2 = 1$، فإن $2 > 1$، وبالتالي $\sqrt{2} > 1$. إذن $\sqrt{2}-1 > 0$ (لا نعكس علامة التباين).
1-ب. إثبات الهوية والاستنتاج:
إذا كان جداء عددين يساوي $1$، فإن أحدهما هو معكوس الآخر.
2. حساب $\text{C}$:
نعوض الكسر $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ بقيمته المستنتجة في السؤال السابق.
1-أ. حل المتراجحة $\text{B} \ge \sqrt{2}$:
بما أن $\sqrt{2} > 1$، فإن $\sqrt{2}-1 > 0$ (لا نعكس علامة التباين).
مجموعة الحلول هي $S = \left[ -4 - 2\sqrt{2}, +\infty \right[$.
1-ب. إثبات الهوية والاستنتاج:
بما أن جداء $\left(\sqrt{2}-1\right)$ و $\left(\sqrt{2}+1\right)$ يساوي $1$، فإن $\left(\sqrt{2}+1\right)$ هو معكوس $\left(\sqrt{2}-1\right)$.
2. حساب العبارة $\text{C}$: