تمارين شاملة في مجموعة الأعداد الحقيقية (الـ 9)

تطبيقات الجذور التربيعية الحساب في $\mathbb{R}$ حل المعادلات والمتراجحات
التمرين 4
عمليات في $\mathbb{R}$ وحل معادلات

  1. أحسب:

    $$A = 2+\sqrt{2}-\left|3-\sqrt{2}\right|$$
    $$B = \sqrt{5}(\sqrt{5}+1)-3\sqrt{5}$$
    $$C = 2\sqrt{2} \times \left(\frac{3}{2}\times \sqrt{2}\right)$$

  2. أوجد العدد الحقيقي $x$ في كل حالة من الحالات التالية:

    أ-

    $$x^2-2\sqrt{2}x-2 = 0$$

    ب-

    $$(x-\sqrt{3})(x+2) = 0$$

    ج-

    $$\left|x-3\right| = 2$$
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1 (الحساب):

• بالنسبة لـ $A$، قارن بين $3$ و $\sqrt{2}$ لتحديد إشارة $3-\sqrt{2}$ وبالتالي التخلص من القيمة المطلقة.

• بالنسبة لـ $B$، استخدم خاصية التوزيع (نشر) ثم جمع الحدود المتشابهة.

• بالنسبة لـ $C$، استخدم خاصية ضرب الجذور التربيعية: $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$

للسؤال 2 (حل المعادلات):

• بالنسبة لـ $x^2-2\sqrt{2}x-2 = 0$: حاول كتابة الطرف الأيسر على شكل $\left(x-a\right)^2$ أو استخدام التحليل إلى عوامل.

• بالنسبة لـ $(x-\sqrt{3})(x+2) = 0$: استخدم خاصية "جداء عاملين يساوي صفر".

• بالنسبة لـ $\left|x-3\right| = 2$: تذكر أن $|a|=b$ يعني $a=b$ أو $a=-b$ (حيث $b \ge 0$).

📝 منهجية الحل

1) حساب العبارات:

العبارة $A$:

$$A = 2+\sqrt{2}-\left|3-\sqrt{2}\right|$$

بما أن $3^2 = 9$ و $(\sqrt{2})^2 = 2$، فإن $3 > \sqrt{2}$. وبالتالي $\left|3-\sqrt{2}\right| = 3-\sqrt{2}$.

$$A = 2+\sqrt{2}-(3-\sqrt{2})$$

العبارة $B$:

$$B = \sqrt{5}(\sqrt{5}+1)-3\sqrt{5}$$
$$B = \sqrt{5} \times \sqrt{5} + \sqrt{5} \times 1 - 3\sqrt{5}$$

العبارة $C$:

$$C = 2\sqrt{2} \times \frac{3}{2}\sqrt{2}$$
$$C = 2 \times \frac{3}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}$$

2) حل المعادلات:

المعادلة أ:

$$x^2-2\sqrt{2}x-2 = 0$$

نحاول كتابة $-2$ كـ $-4+2$.

$$x^2-2\sqrt{2}x+2-4 = 0$$

نلاحظ أن $x^2-2\sqrt{2}x+2 = \left(x-\sqrt{2}\right)^2$

$$\left(x-\sqrt{2}\right)^2 - 4 = 0$$
$$\left(x-\sqrt{2}\right)^2 - 2^2 = 0$$

باستخدام المتطابقة الهامة $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

المعادلة ب:

$$(x-\sqrt{3})(x+2) = 0$$

إما أن $x-\sqrt{3} = 0$ أو $x+2 = 0$

المعادلة ج:

$$\left|x-3\right| = 2$$

إما $x-3 = 2$ أو $x-3 = -2$

✅ الحل النهائي

1) حساب العبارات:

العبارة $A$:

$$A = 2+\sqrt{2}-\left|3-\sqrt{2}\right|$$
$$A = 2+\sqrt{2}-(3-\sqrt{2}) \quad \text{لأن } 3>\sqrt{2}$$
$$A = 2+\sqrt{2}-3+\sqrt{2}$$
$$A = (2-3) + (\sqrt{2}+\sqrt{2})$$
$$A = -1 + 2\sqrt{2}$$

العبارة $B$:

$$B = \sqrt{5}(\sqrt{5}+1)-3\sqrt{5}$$
$$B = 5 + \sqrt{5} - 3\sqrt{5}$$
$$B = 5 + (1-3)\sqrt{5}$$
$$B = 5 - 2\sqrt{5}$$

العبارة $C$:

$$C = 2\sqrt{2} \times \left(\frac{3}{2}\times \sqrt{2}\right)$$
$$C = \left(2 \times \frac{3}{2}\right) \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})$$
$$C = 3 \times 2$$
$$C = 6$$

2) حل المعادلات:

أ- المعادلة $x^2-2\sqrt{2}x-2 = 0$:

$$\left(x-\sqrt{2}\right)^2 - 4 = 0$$
$$\left(x-\sqrt{2}-2\right)\left(x-\sqrt{2}+2\right) = 0$$
$$x-\sqrt{2}-2 = 0 \quad \text{أو} \quad x-\sqrt{2}+2 = 0$$
$$x = \sqrt{2}+2 \quad \text{أو} \quad x = \sqrt{2}-2$$

إذن، مجموعة الحلول هي $S = \left\{\sqrt{2}+2, \sqrt{2}-2\right\}$

ب- المعادلة $(x-\sqrt{3})(x+2) = 0$:

$$x-\sqrt{3} = 0 \quad \text{أو} \quad x+2 = 0$$
$$x = \sqrt{3} \quad \text{أو} \quad x = -2$$

إذن، مجموعة الحلول هي $S = \left\{\sqrt{3}, -2\right\}$

ج- المعادلة $\left|x-3\right| = 2$:

$$x-3 = 2 \quad \text{أو} \quad x-3 = -2$$
$$x = 2+3 \quad \text{أو} \quad x = -2+3$$
$$x = 5 \quad \text{أو} \quad x = 1$$

إذن، مجموعة الحلول هي $S = \left\{5, 1\right\}$

التمرين 5
النشر، الاختصار، والعبارات الجذرية

  1. أنشر واختصر العبارتين التاليتين:

    $$a = \left(\sqrt{2}+3\right)\left(\sqrt{2}-1\right)$$
    $$b = \sqrt{2}\left(2-3\sqrt{2}\right)-4\left(\sqrt{2}-\frac{9}{4}\right)$$

  2. اختصر العبارات التالية:

    $$c = \sqrt{45}-\sqrt{20}+2\sqrt{80}$$
    $$d = \sqrt{8}+\sqrt{200}-\sqrt{128}$$
    $$e = \frac{\sqrt{2}(x-2)}{\sqrt{2}x-2\sqrt{2}}$$
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

• للسؤال 1: استخدم خاصية التوزيع (النشر) ثم جمع الحدود المتشابهة. تذكر أن $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ و $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$.

• للسؤال 2 (اختصار الجذور): فكك الأعداد تحت الجذر إلى جداء مربع كامل وعدد آخر. على سبيل المثال: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$.

• للسؤال 2 (العبارة $e$): حاول التحليل إلى عوامل في البسط والمقام لاختصار الكسر.

📝 منهجية الحل

1) النشر والاختصار:

العبارة $a$:

$$a = \sqrt{2}\times\sqrt{2} + \sqrt{2}\times(-1) + 3\times\sqrt{2} + 3\times(-1)$$
$$a = 2 - \sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 3$$

العبارة $b$:

$$b = 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2}\times\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 4\times\frac{9}{4}$$

2) اختصار العبارات:

العبارة $c$:

$$c = \sqrt{9\times 5} - \sqrt{4\times 5} + 2\sqrt{16\times 5}$$

العبارة $d$:

$$d = \sqrt{4\times 2} + \sqrt{100\times 2} - \sqrt{64\times 2}$$

العبارة $e$:

$$e = \frac{\sqrt{2}(x-2)}{\sqrt{2}(x-2)}$$

يجب تحديد شروط الاختصار: $x-2 \neq 0$ و $\sqrt{2}(x-2) \neq 0$

✅ الحل النهائي

1) النشر والاختصار:

العبارة $a$:

$$a = \left(\sqrt{2}+3\right)\left(\sqrt{2}-1\right)$$
$$a = 2 - \sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 3$$
$$a = (2-3) + (-1+3)\sqrt{2}$$
$$a = -1 + 2\sqrt{2}$$

العبارة $b$:

$$b = \sqrt{2}\left(2-3\sqrt{2}\right)-4\left(\sqrt{2}-\frac{9}{4}\right)$$
$$b = 2\sqrt{2} - 3\times 2 - 4\sqrt{2} + 4\times\frac{9}{4}$$
$$b = 2\sqrt{2} - 6 - 4\sqrt{2} + 9$$
$$b = (-6+9) + (2-4)\sqrt{2}$$
$$b = 3 - 2\sqrt{2}$$

2) اختصار العبارات:

العبارة $c$:

$$c = \sqrt{45}-\sqrt{20}+2\sqrt{80}$$
$$c = \sqrt{9\times 5} - \sqrt{4\times 5} + 2\sqrt{16\times 5}$$
$$c = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 2 \times 4\sqrt{5}$$
$$c = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 8\sqrt{5}$$
$$c = (3-2+8)\sqrt{5}$$
$$c = 9\sqrt{5}$$

العبارة $d$:

$$d = \sqrt{8}+\sqrt{200}-\sqrt{128}$$
$$d = \sqrt{4\times 2} + \sqrt{100\times 2} - \sqrt{64\times 2}$$
$$d = 2\sqrt{2} + 10\sqrt{2} - 8\sqrt{2}$$
$$d = (2+10-8)\sqrt{2}$$
$$d = 4\sqrt{2}$$

العبارة $e$:

$$e = \frac{\sqrt{2}(x-2)}{\sqrt{2}x-2\sqrt{2}}$$
$$e = \frac{\sqrt{2}(x-2)}{\sqrt{2}(x-2)}$$

بشرط $x-2 \neq 0$ أي $x \neq 2$:

$$e = 1$$
التمرين 6
عمليات في $\mathbb{R}$ وحل معادلات

1) أحسب:

$$\left|3-\sqrt{5}\right|-\left|-\sqrt{5}+2\right| \quad ; \quad 5\left(\sqrt{2}+3\right)-2\left(\sqrt{3}-5\right) \quad ; \quad 3\sqrt{2} \times \left(\frac{3}{2}\times \left(-\sqrt{2}\right)\right)$$

2) أوجد العدد الحقيقي $x$ في الحالتين التاليتين:

$$\left(\pi-1\right)(x-2+\sqrt{3}) = 0$$
$$\sqrt{\left(x-1\right)^2} = 5$$
تمارين إضافية (7, 8, 9)
التمارين التالية تحتاج لإنشاء الحلول التفاعلية

التمارين 7 و 8 و 9 موجودة في الصورة الأصلية وتتطلب نفس هيكلة الحل المكون من 3 خطوات عند الطلب.