| $\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}$ | $2\sqrt{3}$ | $0$ | العبارة $3-3\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ تساوي | (1 |
| $\sqrt{5}$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{1}{\sqrt{5}}$ | العبارة $\frac{\sqrt{5}+5}{\sqrt{125}+5}$ تساوي | (2 |
| $-\sqrt{2}+3$ | $\sqrt{2}+3$ | $3-2\sqrt{2}$ | العبارة $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ تساوي | (3 |
المطلوب: $3-3\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$
التبسيط:
$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$3-3\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$= 3 - 3\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$= 3 - \frac{9\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}$$
$$= 3 - \frac{10\sqrt{3}}{3}$$
المطلوب: $\frac{\sqrt{5}+5}{\sqrt{125}+5}$
تبسيط المقام:
$$\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$$
$$\frac{\sqrt{5}+5}{5\sqrt{5}+5} = \frac{\sqrt{5}+5}{5(\sqrt{5}+1)}$$
إخراج العامل المشترك:
$$= \frac{\sqrt{5}(1 + \sqrt{5})}{\sqrt{5} \cdot 5(\sqrt{5}+1)}$$
بعد التبسيط:
$$= \frac{1}{\sqrt{5}}$$
المطلوب: $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$
نبحث عن الشكل: $\sqrt{(a-b)^2}$ حيث $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
التجربة:
نفترض $11-6\sqrt{2} = (3-\sqrt{2})^2$
$$= 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$$ ✓
إذن:
$$\sqrt{11-6\sqrt{2}} = \sqrt{(3-\sqrt{2})^2} = |3-\sqrt{2}|$$
بما أن $3 > \sqrt{2} \approx 1.414$:
$$= 3 - \sqrt{2}$$
$$a = \frac{\frac{-34+13\sqrt{3}}{2}}{4-5\sqrt{3}}$$
أ- أحسب $(3\sqrt{3}-1)(4-5\sqrt{3})$
ب- استنتج اختصار العبارة $a$
$$b = \frac{5\sqrt{3}+4}{3} - \frac{3+\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}$$
بين أن $b = \frac{2\sqrt{3}+3}{3}$
$$c = \frac{\sqrt{108}-\sqrt{75}}{2}$$
بين أن $c = 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$
المطلوب: $(3\sqrt{3}-1)(4-5\sqrt{3})$
النشر:
$$= 3\sqrt{3} \times 4 - 3\sqrt{3} \times 5\sqrt{3} - 1 \times 4 + 1 \times 5\sqrt{3}$$
$$= 12\sqrt{3} - 15 \times 3 - 4 + 5\sqrt{3}$$
$$= 12\sqrt{3} - 45 - 4 + 5\sqrt{3}$$
$$= 17\sqrt{3} - 49$$
$$= -49 + 17\sqrt{3}$$
من السؤال السابق نلاحظ:
$$-49 + 17\sqrt{3} = 2(-34 + 13\sqrt{3}) \times \frac{1}{2} \times 2$$
هذا يعني: $-34 + 13\sqrt{3} = \frac{-49 + 17\sqrt{3}}{2} \times 2$
لذلك:
$$a = \frac{-34+13\sqrt{3}}{2(4-5\sqrt{3})}$$
إذا كانت $-34+13\sqrt{3} = (3\sqrt{3}-1) \times k$، فيمكن التبسيط
المطلوب: $b = \frac{5\sqrt{3}+4}{3} - \frac{3+\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}$
تبسيط الجزء الثاني:
$$\frac{3+\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}$$
$$= \frac{3\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}$$
$$= \sqrt{3} + \frac{1}{3}$$
$$= \frac{3\sqrt{3} + 1}{3}$$
الحساب:
$$b = \frac{5\sqrt{3}+4}{3} - \frac{3\sqrt{3}+1}{3}$$
$$= \frac{5\sqrt{3}+4 - 3\sqrt{3} - 1}{3}$$
$$= \frac{2\sqrt{3}+3}{3}$$ ✓
المطلوب: $c = \frac{\sqrt{108}-\sqrt{75}}{2}$
تبسيط الجذور:
$$\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$$
$$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$$
التعويض:
$$c = \frac{6\sqrt{3} - 5\sqrt{3}}{2}$$
$$= \frac{\sqrt{3}}{2}$$
ملاحظة: إذا أردنا $c = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$، فربما هناك خطأ في نص السؤال
$$a = \sqrt{50} + \sqrt{27} - \sqrt{2}\left(2 + \frac{3\sqrt{6}}{2}\right)$$
$$b = \frac{12+5\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$
المعطى: $a = \sqrt{50} + \sqrt{27} - \sqrt{2}\left(2 + \frac{3\sqrt{6}}{2}\right)$
تبسيط الجذور:
$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$$
$$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$$
التوسيع:
$$a = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}\sqrt{6}}{2}$$
$$= 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{12}}{2}$$
$$= 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - \frac{3 \times 2\sqrt{3}}{2}$$
$$= 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$$
$$= 3\sqrt{2}$$
إخراج $\sqrt{6}$:
$$3\sqrt{2} = \sqrt{6}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$$
للتحقق: $\sqrt{6}(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{18} - \sqrt{12} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
المعطى: $b = \frac{12+5\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
ضرب البسط والمقام في المرافق:
$$b = \frac{(12+5\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$$
$$= \frac{(12+5\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}$$
$$= (12+5\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$$
النشر:
$$= 12\sqrt{3} - 12\sqrt{2} + 5\sqrt{6}\sqrt{3} - 5\sqrt{6}\sqrt{2}$$
$$= 12\sqrt{3} - 12\sqrt{2} + 5\sqrt{18} - 5\sqrt{12}$$
$$= 12\sqrt{3} - 12\sqrt{2} + 15\sqrt{2} - 10\sqrt{3}$$
$$= 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$$
إخراج $\sqrt{6}$:
$$= \sqrt{6}(\sqrt{3}+\sqrt{2})$$
لإثبات أن $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ و $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ مقلوبان:
$$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$$
$$= 3 - 2$$
$$= 1$$ ✓
المطلوب: $x = a(b-1)+(b-\sqrt{48})$
التبسيط:
$$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$$
نعوض:
$$x = a(b-1) + b - 4\sqrt{3}$$
$$= ab - a + b - 4\sqrt{3}$$
من السؤال السابق:
$$a = \sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2}), \quad b = \sqrt{6}(\sqrt{3}+\sqrt{2})$$
$$ab = 6(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) = 6 \times 1 = 6$$
$$x = 6 - \sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \sqrt{6}(\sqrt{3}+\sqrt{2}) - 4\sqrt{3}$$
$$= 6 - \sqrt{18} + \sqrt{12} + \sqrt{18} + \sqrt{12} - 4\sqrt{3}$$
$$= 6 + 2\sqrt{12} - 4\sqrt{3}$$
$$= 6 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}$$
$$= 6$$
$$A = x\sqrt{2}-2-(x-\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})$$
$$B = x^2-x\sqrt{2}$$
المعطى: $A = x\sqrt{2}-2-(x-\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})$
نشر $(x-\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})$:
$$= x^2 - 2x\sqrt{2} - x\sqrt{2} + 2 \times 2$$
$$= x^2 - 3x\sqrt{2} + 4$$
التعويض في $A$:
$$A = x\sqrt{2} - 2 - (x^2 - 3x\sqrt{2} + 4)$$
$$= x\sqrt{2} - 2 - x^2 + 3x\sqrt{2} - 4$$
$$= -x^2 + 4x\sqrt{2} - 6$$
التحليل:
$$A = -(x^2 - 4x\sqrt{2} + 6)$$
نبحث عن $(x-a)(b-x)$:
$(x-\sqrt{2})(3\sqrt{2}-x) = x \times 3\sqrt{2} - x^2 - \sqrt{2} \times 3\sqrt{2} + \sqrt{2}x$
$$= 3x\sqrt{2} - x^2 - 6 + x\sqrt{2}$$
$$= -x^2 + 4x\sqrt{2} - 6$$ ✓
المعطى:
$$A = (x-\sqrt{2})(3\sqrt{2}-x)$$
$$B = x^2 - x\sqrt{2} = x(x-\sqrt{2})$$
الحساب:
$$A - B = (x-\sqrt{2})(3\sqrt{2}-x) - x(x-\sqrt{2})$$
$$= (x-\sqrt{2})[(3\sqrt{2}-x) - x]$$
$$= (x-\sqrt{2})(3\sqrt{2} - 2x)$$ ✓
المعطيات:
$E(2x^2+6, -1)$ و $F(5x\sqrt{2}, 3)$
$(OJ)$ هو محور الإحداثيات $y$: معادلته $x = 0$
شرط التوازي:
$(EF) \parallel (OJ)$ يعني أن $(EF)$ عمودي أيضاً
أي: $x_E = x_F$
المعادلة:
$$2x^2 + 6 = 5x\sqrt{2}$$
$$2x^2 - 5x\sqrt{2} + 6 = 0$$
باستخدام القانون العام:
$$x = \frac{5\sqrt{2} \pm \sqrt{50 - 48}}{4}$$
$$= \frac{5\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{4}$$
$$x = \frac{6\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ أو $x = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$$