🎓 مجموعة شاملة من تمارين الرياضيات مع الحلول التفصيلية

المعطيات:

$AB = 2\sqrt{5}$ و $AD = \sqrt{5} - 2$

الحساب:

$$\text{المساحة} = AB \times AD$$

$$= 2\sqrt{5} \times (\sqrt{5} - 2)$$

$$= 2\sqrt{5} \times \sqrt{5} - 2\sqrt{5} \times 2$$

$$= 2 \times 5 - 4\sqrt{5}$$

$$= 10 - 4\sqrt{5}$$

المعطى: $a = 6 - 4\sqrt{2}$

نضرب البسط والمقام في المرافق:

$$\frac{1}{a} = \frac{1}{6 - 4\sqrt{2}}$$

$$= \frac{1}{6 - 4\sqrt{2}} \times \frac{6 + 4\sqrt{2}}{6 + 4\sqrt{2}}$$

$$= \frac{6 + 4\sqrt{2}}{(6 - 4\sqrt{2})(6 + 4\sqrt{2})}$$

نستخدم المتطابقة الهامة: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

$$= \frac{6 + 4\sqrt{2}}{36 - 16 \times 2}$$

$$= \frac{6 + 4\sqrt{2}}{36 - 32}$$

$$= \frac{6 + 4\sqrt{2}}{4}$$

$$= \frac{6}{4} + \frac{4\sqrt{2}}{4}$$

$$= \frac{3}{2} + \sqrt{2}$$

المعطى: $a$ و $\frac{b}{2}$ مقلوبان

بما أنهما مقلوبان فإن:

$$a \times \frac{b}{2} = 1$$

$$\frac{ab}{2} = 1$$

$$ab = 2$$

$$a = \frac{2}{b}$$

نحسب الآن:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$

$$= \sqrt{\frac{2/b}{b}}$$

$$= \sqrt{\frac{2}{b^2}}$$

$$= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b^2}}$$

$$= \frac{\sqrt{2}}{b}$$

المعطيات:

$M(1, 3)$ و $N(-1, 3)$

الملاحظة:

• النقطتان لهما نفس الإحداثي $y = 3$

• الإحداثي $x$ متقابل: $1$ و $-1$

• منتصف المقطع $[MN]$ هو: $I\left(\frac{1 + (-1)}{2}, \frac{3 + 3}{2}\right) = I(0, 3)$

النتيجة:

النقطتان $M$ و $N$ متناظرتان بالنسبة لمحور الإحداثيات $(OJ)$ (محور $y$)

حساب $a$:

$$a = \frac{5\sqrt{6} - 12}{\sqrt{6}}$$

$$= \frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{6}} - \frac{12}{\sqrt{6}}$$

$$= 5 - \frac{12}{\sqrt{6}}$$

ترشيد المقام:

$$= 5 - \frac{12\sqrt{6}}{6}$$

$$= 5 - 2\sqrt{6}$$ ✓

حساب $b$:

$$b = \sqrt{150} + \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} - \sqrt{54}$$

تبسيط كل جذر:

$\sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = 5\sqrt{6}$

$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$

التعويض:

$$b = 5\sqrt{6} + 5 - 3\sqrt{6}$$

$$= 5 + (5\sqrt{6} - 3\sqrt{6})$$

$$= 5 + 2\sqrt{6}$$ ✓

لإثبات أنهما مقلوبان، يجب أن يكون: $a \times b = 1$

الحساب:

$$a \times b = (5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})$$

نستخدم المتطابقة الهامة: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

$$= 5^2 - (2\sqrt{6})^2$$

$$= 25 - 4 \times 6$$

$$= 25 - 24$$

$$= 1$$ ✓

المطلوب: $\frac{\sqrt{2}}{a} - \frac{\sqrt{2}}{b}$

توحيد المقام:

$$\frac{\sqrt{2}}{a} - \frac{\sqrt{2}}{b} = \sqrt{2}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$$

$$= \sqrt{2}\left(\frac{b - a}{ab}\right)$$

بما أن $ab = 1$:

$$= \sqrt{2}(b - a)$$

التعويض:

$$b - a = (5 + 2\sqrt{6}) - (5 - 2\sqrt{6})$$

$$= 5 + 2\sqrt{6} - 5 + 2\sqrt{6}$$

$$= 4\sqrt{6}$$

النتيجة:

$$\frac{\sqrt{2}}{a} - \frac{\sqrt{2}}{b} = \sqrt{2} \times 4\sqrt{6}$$

$$= 4\sqrt{12}$$

$$= 4\sqrt{4 \times 3}$$

$$= 4 \times 2\sqrt{3}$$

$$= 8\sqrt{3}$$

المطلوب إثبات أن: $(1-a)(2+\sqrt{6})$ مربع كامل

نعوض $a = 5 - 2\sqrt{6}$:

$$1 - a = 1 - (5 - 2\sqrt{6})$$

$$= 1 - 5 + 2\sqrt{6}$$

$$= -4 + 2\sqrt{6}$$

$$= 2(\sqrt{6} - 2)$$

الحساب:

$$(1-a)(2+\sqrt{6}) = 2(\sqrt{6} - 2)(2 + \sqrt{6})$$

$$= 2[(\sqrt{6} - 2)(2 + \sqrt{6})]$$

$$= 2[\sqrt{6} \times 2 + \sqrt{6} \times \sqrt{6} - 2 \times 2 - 2\sqrt{6}]$$

$$= 2[2\sqrt{6} + 6 - 4 - 2\sqrt{6}]$$

$$= 2[6 - 4]$$

$$= 2 \times 2$$

$$= 4$$

$$= 2^2$$

نبسط $\sqrt{8}$ أولاً:

$$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$$

التعويض:

$$4\sqrt{2}x - 3\sqrt{8} = 4\sqrt{2}x - 3 \times 2\sqrt{2}$$

$$= 4\sqrt{2}x - 6\sqrt{2}$$

إخراج العامل المشترك $2\sqrt{2}$:

$$= 2\sqrt{2}(2x - 3)$$

العبارة الأصلية:

$$E = (x + 2\sqrt{2} - \sqrt{3})(2x - 3) - 4\sqrt{2}x + 3\sqrt{8}$$

نلاحظ أن:

$$-4\sqrt{2}x + 3\sqrt{8} = -(4\sqrt{2}x - 3\sqrt{8})$$

$$= -2\sqrt{2}(2x - 3)$$

التعويض في $E$:

$$E = (x + 2\sqrt{2} - \sqrt{3})(2x - 3) - 2\sqrt{2}(2x - 3)$$

إخراج العامل المشترك $(2x - 3)$:

$$E = (2x - 3)[(x + 2\sqrt{2} - \sqrt{3}) - 2\sqrt{2}]$$

$$= (2x - 3)[x + 2\sqrt{2} - \sqrt{3} - 2\sqrt{2}]$$

$$= (2x - 3)[x - \sqrt{3}]$$

$$= (x - \sqrt{3})(2x - 3)$$

إذا كان $E$ و $x - \sqrt{3}$ متقابلان، فإن:

$$E + (x - \sqrt{3}) = 0$$

$$E = -(x - \sqrt{3})$$

$$E = -x + \sqrt{3}$$

بما أن $E = (x - \sqrt{3})(2x - 3)$:

$$(x - \sqrt{3})(2x - 3) = -(x - \sqrt{3})$$

$$(x - \sqrt{3})(2x - 3) + (x - \sqrt{3}) = 0$$

$$(x - \sqrt{3})[(2x - 3) + 1] = 0$$

$$(x - \sqrt{3})(2x - 2) = 0$$

$$(x - \sqrt{3}) \times 2(x - 1) = 0$$

إذن:

$x - \sqrt{3} = 0$ أو $x - 1 = 0$

$x = \sqrt{3}$ أو $x = 1$

شرط الوجود: $x^2 - 5 \geq 0$ أي $x^2 \geq 5$

إذن: $x \leq -\sqrt{5}$ أو $x \geq \sqrt{5}$

تربيع الطرفين:

$$(\sqrt{x^2 - 5})^2 = 2^2$$

$$x^2 - 5 = 4$$

$$x^2 = 9$$

$$x = 3 \text{ أو } x = -3$$

التحقق من الشرط:

• $x = 3$: بما أن $3 > \sqrt{5} \approx 2.24$ ✓

• $x = -3$: بما أن $-3 < -\sqrt{5} \approx -2.24$ ✓

النقاط المعطاة:

• $F(0, -2)$: على محور $y$ تحت الأصل بمقدار 2

• $C(2, -2)$: الإحداثي $x = 2$ والإحداثي $y = -2$

• $B(4, 0)$: على محور $x$ على بعد 4 من الأصل

• $A(2, \sqrt{2})$: الإحداثي $x = 2$ والإحداثي $y = \sqrt{2} \approx 1.41$