📐 تمارين الرياضيات - المجموعة الوحيدة

المعطى: \((-\sqrt{3} - \sqrt{6}) \times \frac{1}{3}\sqrt{3}\)

الحل:

نوزع الضرب:

\(= -\sqrt{3} \times \frac{1}{3}\sqrt{3} - \sqrt{6} \times \frac{1}{3}\sqrt{3}\)

\(= -\frac{1}{3} \times 3 - \frac{1}{3}\sqrt{18}\)

\(= -1 - \frac{1}{3}\sqrt{9 \times 2}\)

\(= -1 - \frac{1}{3} \times 3\sqrt{2}\)

\(= -1 - \sqrt{2}\)

\(= -(1 + \sqrt{2})\)

المعطى: x عدد سالب و \(y = \frac{1}{x}\) (مقلوبه)

نحسب: \((-x)^2 \times y - \sqrt{(-y)^2}\)

الحل:

• بما أن \(x < 0\)، فإن \(-x > 0\)

• \((-x)^2 = x^2\)

• \(\sqrt{(-y)^2} = |y|\)

• بما أن \(x < 0\) و \(y = \frac{1}{x}\)، فإن \(y < 0\) أيضا

• إذن \(|y| = -y\)

العبارة تصبح:

\(= x^2 \times y - (-y)\)

\(= x^2 \times \frac{1}{x} + y\)

\(= x + y\)

المعطى: \((x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = (2x - \sqrt{3})(x - \sqrt{3})\)

الحل:

ننقل كل شيء للجهة اليسرى:

\((x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) - (2x - \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) = 0\)

نخرج العامل المشترك \((x - \sqrt{3})\):

\((x - \sqrt{3})[(x + \sqrt{3}) - (2x - \sqrt{3})] = 0\)

\((x - \sqrt{3})[x + \sqrt{3} - 2x + \sqrt{3}] = 0\)

\((x - \sqrt{3})[-x + 2\sqrt{3}] = 0\)

إذن:

• إما \(x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow x = \sqrt{3}\)

• أو \(-x + 2\sqrt{3} = 0 \Rightarrow x = 2\sqrt{3}\)

المعطى: \(E(-a, b)\) و \(F(\frac{1}{2}a, \frac{3}{4}b)\)

نبحث عن: مناظرة E بالنسبة لـ F (أي G)

الحل:

إذا كانت G مناظرة E بالنسبة لـ F، فإن F هي منتصف [EG]:

\(F = \left(\frac{x_E + x_G}{2}, \frac{y_E + y_G}{2}\right)\)

للإحداثي x:

\(\frac{1}{2}a = \frac{-a + x_G}{2}\)

\(a = -a + x_G\)

\(x_G = 2a\)

للإحداثي y:

\(\frac{3}{4}b = \frac{b + y_G}{2}\)

\(\frac{3}{2}b = b + y_G\)

\(y_G = \frac{1}{2}b\)

حساب a:

\(a = 5\sqrt{8} - 2\sqrt{72} + \sqrt{9}\)

\(= 5\sqrt{4 \times 2} - 2\sqrt{36 \times 2} + 3\)

\(= 5 \times 2\sqrt{2} - 2 \times 6\sqrt{2} + 3\)

\(= 10\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 3\)

\(= -2\sqrt{2} + 3\)

\(= 3 - 2\sqrt{2}\) ✓

حساب b:

\(b = -1 + \sqrt{2}(2\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 2)(1 + \sqrt{2})\)

نفك الأقواس:

\(= -1 + 2 \times 2 + \sqrt{2} - (\sqrt{2} + 2 - 2 - 2\sqrt{2})\)

\(= -1 + 4 + \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 2\sqrt{2})\)

\(= 3 + \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2\sqrt{2}\)

\(= 3 + 2\sqrt{2}\) ✓

حساب a × b:

\(a \times b = (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})\)

نستعمل المتطابقة الشهيرة: \((x - y)(x + y) = x^2 - y^2\)

\(= 3^2 - (2\sqrt{2})^2\)

\(= 9 - 4 \times 2\)

\(= 9 - 8 = 1\)

حساب |a|:

بما أن \(a \times b = 1\) فإن \(a = \frac{1}{b}\)

نحسب قيمة a:

\(a = 3 - 2\sqrt{2} \approx 3 - 2.828 \approx 0.172 > 0\)

إذن: \(|a| = a = 3 - 2\sqrt{2}\)

أو يمكن كتابة: \(|a| = \frac{1}{b} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}\)

\(c = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times (3\sqrt{2} - 1) - 3(3 + 2\sqrt{2})\)

نعلم أن \(\frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{1}{a}\) و \(a \times b = 1\)

إذن \(\frac{1}{a} = b = 3 + 2\sqrt{2}\)

\(c = (3 + 2\sqrt{2})(3\sqrt{2} - 1) - 3(3 + 2\sqrt{2})\)

نفك القوس الأول:

\(= 9\sqrt{2} - 3 + 6 \times 2 - 2\sqrt{2} - 9 - 6\sqrt{2}\)

\(= 9\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} - 3 + 12 - 9\)

\(= \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}\)

\(e = \left|\frac{2}{b}\right| \times \left|b + \frac{1}{a}\right|\)

نعلم أن \(b = 3 + 2\sqrt{2} > 0\) و \(\frac{1}{a} = b\)

\(e = \frac{2}{b} \times (b + b)\)

\(= \frac{2}{b} \times 2b = 4\)

\((a + 4\sqrt{2})x^2 - bx(1 - 3x) = 0\)

نعوض \(a = 3 - 2\sqrt{2}\):

\((3 - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2})x^2 - bx(1 - 3x) = 0\)

\((3 + 2\sqrt{2})x^2 - bx(1 - 3x) = 0\)

لكن \(b = 3 + 2\sqrt{2}\):

\(bx^2 - bx(1 - 3x) = 0\)

\(bx^2 - bx + 3bx^2 = 0\)

\(4bx^2 - bx = 0\)

\(bx(4x - 1) = 0\)

بما أن \(b \neq 0\):

• إما \(x = 0\)

• أو \(4x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}\)

\(F = (5x + 7)(x + 3) - 2x - 6\)

نعوض \(x = -\frac{7}{5}\):

\(F = \left(5 \times \left(-\frac{7}{5}\right) + 7\right)\left(\left(-\frac{7}{5}\right) + 3\right) - 2 \times \left(-\frac{7}{5}\right) - 6\)

\(= (-7 + 7)\left(\frac{-7 + 15}{5}\right) + \frac{14}{5} - 6\)

\(= 0 \times \frac{8}{5} + \frac{14}{5} - \frac{30}{5}\)

\(= 0 - \frac{16}{5} = -\frac{16}{5}\)

\(F = (5x + 7)(x + 3) - 2x - 6\)

نلاحظ أن: \(-2x - 6 = -2(x + 3)\)

\(F = (5x + 7)(x + 3) - 2(x + 3)\)

نخرج العامل المشترك \((x + 3)\):

\(F = (x + 3)[(5x + 7) - 2]\)

\(F = (x + 3)(5x + 5)\)

\(F = 5(x + 3)(x + 1)\) ✓

\(5(x + 3)(x + 1) = 0\)

جداء يساوي صفرا إذا وفقط إذا كان أحد عوامله يساوي صفرا:

• \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)

• أو \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)

إذا كان F و \((2x + 6)\) متقابلين، فإن:

\(F = -(2x + 6)\)

\(5(x + 3)(x + 1) = -2x - 6\)

\(5(x + 3)(x + 1) = -2(x + 3)\)

\(5(x + 3)(x + 1) + 2(x + 3) = 0\)

\((x + 3)[5(x + 1) + 2] = 0\)

\((x + 3)(5x + 7) = 0\)

• \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)

• أو \(5x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{5}\)

نعلم أن: \(\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|\)

\(|x + 1| = \pi - 3\)

بما أن \(\pi \approx 3.14\) فإن \(\pi - 3 \approx 0.14 > 0\)

إذن:

• إما \(x + 1 = \pi - 3 \Rightarrow x = \pi - 4\)

• أو \(x + 1 = -(\pi - 3) \Rightarrow x = -\pi + 2\)

المعطى: مثلث ABC متقايس الأضلاع في معين (O,I,J)

إحداثيات: \(A(1, 0)\) و \(B(\frac{1}{2}, -\sqrt{3})\)

المطلوب: إحداثيات D

هذا السؤال يتطلب معلومات إضافية عن موقع النقطة D بالنسبة للمثلث.

المعطى: \(A(\sqrt{3}, 0)\) و \(C(5, -\sqrt{2})\)

ABCD متوازي أضلاع

في متوازي الأضلاع، القطران يتقاطعان في منتصفهما.

إذا كانت O منتصف AC، يمكننا إيجاد إحداثيات D باستخدام خواص متوازي الأضلاع.

المعطى: u و v عددان حقيقيان مختلفان في العلامة

\(A = \sqrt{(u-v)^2} + \sqrt{4u^2-8uv+4v^2}\)

الحل:

بما أن u و v مختلفان في العلامة (أحدهما موجب والآخر سالب):

• إذا \(u > 0\) و \(v < 0\)، فإن \(u - v > 0\)

\(\sqrt{(u-v)^2} = |u-v| = u-v\)

\(\sqrt{4u^2-8uv+4v^2} = \sqrt{4(u^2-2uv+v^2)} = 2\sqrt{(u-v)^2}\)

\(= 2|u-v| = 2(u-v)\)

\(A = (u-v) + 2(u-v) = 3(u-v)\)

لكن هذا لا يطابق الخيارات المعطاة، ربما هناك خطأ في نقل السؤال.

المعطى: \(a = \sqrt{ab}\) و \(b = \pi - x - \sqrt{(1-\pi)^2}\)

تبسيط b:

بما أن \(\pi \approx 3.14 > 1\) فإن \(1 - \pi < 0\)

\(\sqrt{(1-\pi)^2} = |1-\pi| = \pi-1\)

\(b = \pi - x - (\pi-1) = \pi - x - \pi + 1 = 1 - x\)