نعتبر العددين $a$ و $b$ حيث:
$$ a = 2|\sqrt{2}-2|-1 \quad \text{و} \quad b = 2(\sqrt{2}+1) - (1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) $$
1) بيّن أن $a = 3-2\sqrt{2}$ و $b = 3+2\sqrt{2}$.
2) بيّن أن $a$ و $b$ مقلوبان.
3) بيّن أن $\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \frac{1}{(a-b) - 2\sqrt{2}}$ هو عدد حقيقي يكتب في أبسط صورة.
1) $\sqrt{2}-2$ سالب، إذن $|\sqrt{2}-2| = 2-\sqrt{2}$. استعمل المتطابقة $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$ لتبسيط $b$.
2) اضرب $a$ في $b$. يجب أن تحصل على $1$.
3) بسّط $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = a+b$. ثم احسب $a-b$ وعوّض في العبارة النهائية.
1) $a = 2(2-\sqrt{2}) - 1 = 3-2\sqrt{2}$. $b = 2\sqrt{2}+2 - (1-2) = 3+2\sqrt{2}$.
2) $a \times b = (3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1$.
3) $a+b = 6$. $a-b = -4\sqrt{2}$. العبارة تصبح: $\frac{6}{-6\sqrt{2}}$.
1) تبيين أن $a = 3-2\sqrt{2}$ و $b = 3+2\sqrt{2}$:
تبسيط $a$: بما أن $\sqrt{2} < 2$، فإن $\sqrt{2}-2$ عدد سالب، إذن $|\sqrt{2}-2| = -(\sqrt{2}-2) = 2-\sqrt{2}$.
$$ a = 2(2-\sqrt{2}) - 1 = 4 - 2\sqrt{2} - 1 = 3-2\sqrt{2} $$
تبسيط $b$:
$$ b = 2\sqrt{2} + 2 - (1^2 - (\sqrt{2})^2) = 2\sqrt{2} + 2 - (1 - 2) $$
$$ b = 2\sqrt{2} + 2 - (-1) = 2\sqrt{2} + 3 = 3+2\sqrt{2} $$
2) تبيين أن $a$ و $b$ مقلوبان:
$$ a \times b = (3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1 $$
بما أن $a \times b = 1$، فإن $a$ و $b$ مقلوبان.
3) تبسيط العبارة:
لدينا $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = b+a = 6$. و $a-b = (3-2\sqrt{2}) - (3+2\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}$.
العبارة المطلوبة هي: $\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \times \frac{1}{(a-b) - 2\sqrt{2}}$
$$ \text{العـبارة} = (a+b) \times \frac{1}{(-4\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}} $$
$$ \text{العـبارة} = 6 \times \frac{1}{-6\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} $$
للتبسيط: $-\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
نعتبر العبارتين $A$ و $B$ حيث $x$ عدد حقيقي:
$$ A = 3-\sqrt{3}x+x-x\sqrt{3} \quad \text{و} \quad B = (x-\sqrt{3}) + (2x-\sqrt{12})(x-1) $$
1) بيّن أن $A = (\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}-1)$ و $B = (x-\sqrt{3})(2x-1)$.
2) أوجد العدد الحقيقي $x$ في كل حالة:
(أ) $A$ و $B$ متقابلان ($A+B=0$).
(ب) $\frac{\sqrt{3}+1}{2}\sqrt{A^2} = \sqrt{3}$.
1) التحليل:
تحليل $A$:
$$ A = (3-\sqrt{3}) + (-x\sqrt{3}+x) = \sqrt{3}(\sqrt{3}-1) - x(\sqrt{3}-1) $$
$$ A = (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-x) $$
تحليل $B$:
$$ B = (x-\sqrt{3}) + 2(x-\sqrt{3})(x-1) $$
$$ B = (x-\sqrt{3}) [ 1 + 2(x-1) ] = (x-\sqrt{3}) [ 1 + 2x - 2 ] = (x-\sqrt{3})(2x-1) $$
2) حل المعادلات:
(أ) $A+B=0$: نعلم أن $x-\sqrt{3} = -(\sqrt{3}-x)$.
$$ (\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}-1) - (\sqrt{3}-x)(2x-1) = 0 $$
$$ (\sqrt{3}-x) [ (\sqrt{3}-1) - (2x-1) ] = 0 $$
$$ (\sqrt{3}-x) [ \sqrt{3} - 2x ] = 0 $$
إذن $x = \sqrt{3}$ أو $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
(ب) $\frac{\sqrt{3}+1}{2}\sqrt{A^2} = \sqrt{3}$: بما أن $\sqrt{A^2}=|A| = |\sqrt{3}-x||\sqrt{3}-1|$:
$$ \frac{\sqrt{3}+1}{2} (\sqrt{3}-1) |\sqrt{3}-x| = \sqrt{3} $$
$$ \frac{3 - 1}{2} |\sqrt{3}-x| = \sqrt{3} \implies |\sqrt{3}-x| = \sqrt{3} $$
$$ \sqrt{3}-x = \sqrt{3} \quad \text{أو} \quad \sqrt{3}-x = -\sqrt{3} $$
إذن $x = 0$ أو $x = 2\sqrt{3}$.
في الرسم المقابل، $MN // BC$. $AM = 3$, $AB = 5$, $BC = 10$. أحسب $MN$.
لتطبيق نظرية طالس (Théorème de Thalès) في المثلث، نتحقق من الشروط ونكتب العلاقات:
1. شرط الاستقامية والانتماء:
$$ M \in (AB) $$
$$ N \in (AC) $$
2. شرط التوازي:
$$ (MN) // (BC) $$
3. كتابة علاقات طالس:
حسب نظرية طالس في المثلث $ABC$:
$$ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} $$
4. التعويض والحساب:
نعوض بالقيم المعلومة: $AM=3$, $AB=5$, $BC=10$ ونبحث عن $MN$:
$$ \frac{3}{5} = \frac{MN}{10} $$
نستنتج قيمة $MN$:
$$ MN = \frac{3 \times 10}{5} $$
$$ MN = \frac{30}{5} $$
$$ MN = 6 $$
ليكن $x$ عدد حقيقي. حلل العبارات التالية:
$$ A = (x+3)^2 - 4 $$
$$ B = 4x^2 - 12x + 9 - (2x-3)(x+1) $$
1) تحليل العبارة $A$ (باستخدام $u^2-v^2$):
$$ A = (x+3)^2 - 2^2 $$
$$ A = [(x+3) - 2] [(x+3) + 2] $$
$$ A = (x+1)(x+5) $$
2) تحليل العبارة $B$:
نلاحظ أن $4x^2 - 12x + 9$ هي متطابقة شهيرة من الشكل $u^2-2uv+v^2 = (u-v)^2$ حيث $u=2x$ و $v=3$:
$$ 4x^2 - 12x + 9 = (2x-3)^2 $$
نعوض في $B$:
$$ B = (2x-3)^2 - (2x-3)(x+1) $$
نستخرج العامل المشترك $(2x-3)$:
$$ B = (2x-3) [ (2x-3) - (x+1) ] $$
$$ B = (2x-3) [ 2x-3 - x-1 ] $$
$$ B = (2x-3)(x-4) $$
1) قارن العددين $5\sqrt{2}$ و $\sqrt{49}$.
2) استنتج مقارنة للعددين $\frac{5\sqrt{2}}{-7}$ و $\frac{7\sqrt{2}}{-7}$ (خطأ محتمل في النص الأصلي، نقارن $5\sqrt{2}-7$ و $0$).
3) أوجد $x$ إذا كان $x \sqrt{3} + 5\sqrt{2} = x + 7$ (خطأ محتمل في النص الأصلي، نقارن $5\sqrt{2}$ و $7$).
*(سنقوم بمقارنة الأعداد الآتية من التمرين الأصلي قدر الإمكان) *.
نقارن: $A = 5\sqrt{2}$ و $B = 7$.
استنتج مقارنة: $C = \sqrt{2} - 5\sqrt{2}$ و $D = \sqrt{3} - 5\sqrt{2}$.
1) مقارنة $A = 5\sqrt{2}$ و $B = 7$:
نقارن مربعيهما لأن العددين موجبان:
$$ A^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50 $$
$$ B^2 = 7^2 = 49 $$
بما أن $A^2 > B^2$ ($50 > 49$)، والعددان موجبان، فإن $A > B$.
إذن: $5\sqrt{2} > 7$.
2) استنتاج مقارنة للعددين $C = \sqrt{2} - 5\sqrt{2}$ و $D = \sqrt{3} - 5\sqrt{2}$:
لمقارنة $C$ و $D$، نحسب الفرق $C-D$:
$$ C - D = (\sqrt{2} - 5\sqrt{2}) - (\sqrt{3} - 5\sqrt{2}) $$
$$ C - D = \sqrt{2} - 5\sqrt{2} - \sqrt{3} + 5\sqrt{2} $$
$$ C - D = \sqrt{2} - \sqrt{3} $$
بما أن $2 < 3$، فإن $\sqrt{2} < \sqrt{3}$، إذن $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ هو عدد **سالب**.
بما أن $C-D < 0$، فإن $C < D$.
3) حل المعادلة $x \sqrt{3} + 5\sqrt{2} = x + 7$:
نجمع الحدود التي تحتوي على $x$ في طرف والأعداد الأخرى في طرف:
$$ x\sqrt{3} - x = 7 - 5\sqrt{2} $$
نستخرج العامل المشترك $x$:
$$ x(\sqrt{3} - 1) = 7 - 5\sqrt{2} $$
نقسم على معامل $x$ ($\sqrt{3} - 1 \neq 0$):
$$ x = \frac{7 - 5\sqrt{2}}{\sqrt{3} - 1} $$
نزيل الجذر من المقام بالضرب في المرافق $\sqrt{3}+1$:
$$ x = \frac{(7 - 5\sqrt{2})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} $$
$$ x = \frac{7\sqrt{3} + 7 - 5\sqrt{6} - 5\sqrt{2}}{3 - 1} $$
$$ x = \frac{7\sqrt{3} + 7 - 5\sqrt{6} - 5\sqrt{2}}{2} $$
في الشكل المقابل، $AD = 4$, $AB = 6$, $AE = 6$, $AC = 9$.
1) بيّن أن $(DE) // (BC)$.
2) نعتبر $K$ نقطة من $(BC)$ حيث $DK \perp BC$. إذا كان $BC = 12$ فاحسب $DE$.
1) تبيين أن $(DE) // (BC)$ (باستعمال مبرهنة طالس العكسية):
1. شرط الاستقامية:
النقاط $A, D, B$ على استقامة واحدة. النقاط $A, E, C$ على استقامة واحدة وبنفس الترتيب.
2. شرط المساواة (النسبة):
نحسب النسبتين $\frac{AD}{AB}$ و $\frac{AE}{AC}$:
$$ \frac{AD}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$
$$ \frac{AE}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $$
بما أن $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ والنقاط مرتبة بنفس الترتيب، فإن حسب مبرهنة طالس العكسية، **$(DE) // (BC)$**.
2) حساب $DE$ (باستعمال نظرية طالس المباشرة):
بما أن $(DE) // (BC)$، يمكننا تطبيق نظرية طالس المباشرة:
$$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} $$
نعوض بالقيم المعلومة: $BC=12$ و $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$:
$$ \frac{2}{3} = \frac{DE}{12} $$
نستنتج قيمة $DE$:
$$ DE = \frac{2 \times 12}{3} = \frac{24}{3} $$
$$ DE = 8 $$
نعتبر العددين الحقيقيين $a$ و $b$ حيث:
$$ a = \frac{2 \times 10^3 + 1.2 \times 10^4}{100 \times 10^{-2}} \quad \text{و} \quad b = \sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{8} $$
1) اكتب $a$ على شكل كتابة علمية.
2) بيّن أن $b = 6\sqrt{2}$.
3) بيّن أن $2a$ مقلوب $b$.
1) كتابة $a$ على شكل كتابة علمية:
نحسب البسط ونبسط المقام:
$$ \text{البسط} = 2 \times 10^3 + 12 \times 10^3 = 10^3 (2+12) = 14 \times 10^3 $$
$$ \text{المقام} = 10^2 \times 10^{-2} = 10^0 = 1 $$
$$ a = \frac{14 \times 10^3}{1} = 14000 $$
الكتابة العلمية لـ $a$ هي (بما أن $1 \le 1.4 < 10$):
$$ a = 1.4 \times 10^4 $$
2) تبيين أن $b = 6\sqrt{2}$:
نبسط الجذور:
$$ b = \sqrt{9 \times 2} + \sqrt{25 \times 2} - \sqrt{4 \times 2} $$
$$ b = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} $$
$$ b = (3 + 5 - 2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} $$
3) تبيين أن $2a$ مقلوب $b$:
الشرط هو $2a \times b = 1$.
لدينا $a = 14000$ و $b = 6\sqrt{2}$. (ملاحظة: هناك خطأ منطقي في نص السؤال الأصلي. $2a$ عدد كبير جدا و $b$ عدد صغير. سنفترض أن $a$ في السؤال الأصلي كان $\frac{1}{12\sqrt{2}}$.)
بتجاهل نتيجة $a$ المحسوبة وتعديل المطلوب ليكون منطقيا: نعتبر أن المطلوب هو تبيين أن $b$ مقلوب $\frac{1}{6\sqrt{2}}$.
إذا كان المطلوب هو إثبات أن $\frac{1}{b}$ مقلوب $\frac{1}{2a}$:
مقلوب $b$ هو $\frac{1}{b} = \frac{1}{6\sqrt{2}}$.
نترك هذا الجزء على أساس **خطأ في التمرين الأصلي** ونكتفي بحساب جداء $2a \times b$ بالقيم المحسوبة:
$$ 2a \times b = 2 \times (14000) \times (6\sqrt{2}) = 168000\sqrt{2} $$
بما أن $2a \times b \neq 1$، فإن **$2a$ ليس مقلوب $b$**.
ليكن $x$ عدد حقيقي. بسّط العبارات التالية:
$$ A = 2\sqrt{3} - (2+\sqrt{3})^2 - 1 $$
$$ B = 5 + \sqrt{5}(2-\sqrt{5}) - |1-\sqrt{5}| $$
1) تبسيط العبارة $A$:
نستخدم المتطابقة الشهيرة $(u+v)^2 = u^2+2uv+v^2$ حيث $u=2$ و $v=\sqrt{3}$:
$$ (2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} $$
نعوض في $A$:
$$ A = 2\sqrt{3} - (7 + 4\sqrt{3}) - 1 $$
$$ A = 2\sqrt{3} - 7 - 4\sqrt{3} - 1 $$
$$ A = -8 - 2\sqrt{3} $$
2) تبسيط العبارة $B$:
نحسب $|1-\sqrt{5}|$. بما أن $1 < \sqrt{5}$، فإن $1-\sqrt{5}$ عدد سالب. إذن $|1-\sqrt{5}| = -(1-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-1$.
$$ B = 5 + (2\sqrt{5} - 5) - (\sqrt{5}-1) $$
$$ B = 5 + 2\sqrt{5} - 5 - \sqrt{5} + 1 $$
$$ B = (5-5+1) + (2\sqrt{5} - \sqrt{5}) $$
$$ B = 1 + \sqrt{5} $$