نعتبر العددين الحقيقيين $a$ و $b$ حيث:
$$ a = 6\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)-\sqrt{3}(2\sqrt{3}-2)-(-\sqrt{(5)^2}) $$
$$ b = \frac{2}{1+\sqrt{3}} + \sqrt{27} + \sqrt{64} $$
1) بيّن أن: $a = 7-4\sqrt{3}$ و $b = 7+4\sqrt{3}$ (باستعمال القيم المطلوبة).
2) بيّن أن $a$ مقلوب $b$.
3) (أ) استنتج علامة العدد $a$.
3) (ب) لتكن العبارة $c = \frac{1}{7-4\sqrt{3}}(a-1) - \sqrt{\frac{a}{b}}$. بيّن أن $c$ عدد صحيح نسبي.
1) استعمل خاصية النشر والتبسيط. $\sqrt{x^2}=|x|$ و $\frac{1}{u+\sqrt{v}} = \frac{u-\sqrt{v}}{u^2-v}$.
2) اضرب $a$ في $b$. النتيجة يجب أن تكون 1. استخدم المتطابقة الشهيرة $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$.
3) قارن العددين $7$ و $4\sqrt{3}$ بتربيع كل منهما. في الجزء (ب)، بسّط العبارة $c$ باستخدام خاصية المقلوب: $\frac{1}{7-4\sqrt{3}}=b$ و $\frac{a}{b}=a^2$.
1) تبسيط $a$ و $b$ بالطريقة الجبرية. ملاحظة: تبسيط $a$ يعطي $17-4\sqrt{3}$ وليس $7-4\sqrt{3}$، ولكن سنتابع بالقيم المطلوبة.
2) $a \times b = (7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2$.
3) (أ) $7^2=49$ و $(4\sqrt{3})^2=48$. (ب) $c = b(a-1) - \sqrt{a^2}$ (حيث $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{a^2}$).
1) تبيين أن $a = 7-4\sqrt{3}$ و $b = 7+4\sqrt{3}$ (بناءً على القيم المطلوبة):
$$ a = 6\sqrt{3} \times \sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - (-5) $$
$$ a = 18 - 6\sqrt{3} - 6 + 2\sqrt{3} + 5 = 17 - 4\sqrt{3} $$
*(بما أن $17-4\sqrt{3} \neq 7-4\sqrt{3}$، نعتمد قيمة $a=7-4\sqrt{3}$ للمواصلة)*.
$$ b = \frac{2(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} + 3\sqrt{3} + 8 $$
$$ b = \frac{2(1-\sqrt{3})}{1-3} + 3\sqrt{3} + 8 = -(1-\sqrt{3}) + 3\sqrt{3} + 8 $$
$$ b = -1 + \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 8 = 7 + 4\sqrt{3} $$
2) تبيين أن $a$ مقلوب $b$:
$$ a \times b = (7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) $$
$$ a \times b = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \times 3 $$
$$ a \times b = 49 - 48 = 1 $$
بما أن $a \times b = 1$، فإن $a$ مقلوب $b$.
3) (أ) استنتاج علامة العدد $a$:
$$ 7^2 = 49 \quad \text{و} \quad (4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48 $$
بما أن $49 > 48$، فإن $7 > 4\sqrt{3}$. إذن، $a = 7 - 4\sqrt{3}$ هو عدد موجب ($a > 0$).
3) (ب) تبيين أن $c$ عدد صحيح نسبي:
لدينا $\frac{1}{7-4\sqrt{3}} = \frac{1}{a} = b$ و $\frac{a}{b} = a \times a = a^2$.
$$ c = b(a-1) - \sqrt{a^2} $$
بما أن $a > 0$، فإن $\sqrt{a^2} = a$.
$$ c = ab - b - a $$
بما أن $ab = 1$:
$$ c = 1 - b - a $$
$$ c = 1 - (7+4\sqrt{3}) - (7-4\sqrt{3}) $$
$$ c = 1 - 7 - 4\sqrt{3} - 7 + 4\sqrt{3} = 1 - 14 = -13 $$
بما أن $c = -13$، فهو عدد صحيح نسبي.
نعتبر العبارتين $A$ و $B$ حيث $x$ عدد حقيقي:
$$ A = 3 - \sqrt{3}x + x - x\sqrt{3} $$
$$ B = (x-\sqrt{3}) + (2x-\sqrt{12})(x-1) $$
1) بيّن أن $A = (\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}-1)$ و $B = (x-\sqrt{3})(2x-1)$.
2) أوجد العدد الحقيقي $x$ في كل حالة:
(أ) $A$ و $B$ متقابلان.
(ب) $\frac{\sqrt{3}+1}{2}\sqrt{A^2} = \sqrt{3}$.
1) لتبسيط $A$، قم بإخراج العامل المشترك $\sqrt{3}-1$ بعد إعادة ترتيب الحدود: $3-\sqrt{3} - x\sqrt{3} + x$. لتبسيط $B$، لاحظ أن $2x-\sqrt{12} = 2(x-\sqrt{3})$.
2) (أ) $A$ و $B$ متقابلان يعني $A+B=0$. استخدم خاصية أن $x-\sqrt{3} = -(\sqrt{3}-x)$ لتوحيد العوامل. (ب) $\sqrt{A^2}=|A|$. استخدم المتطابقة الشهيرة $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 2$ لتبسيط المعادلة.
1) $A = \sqrt{3}(\sqrt{3}-1) - x(\sqrt{3}-1)$. $B = (x-\sqrt{3}) [ 1 + 2(x-1) ]$.
2) (أ) $\implies (\sqrt{3}-x) [ (\sqrt{3}-1) - (2x-1) ] = 0$. (ب) $\implies \frac{2}{2} |\sqrt{3}-x| = \sqrt{3}$.
1) تبيين أن $A = (\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}-1)$ و $B = (x-\sqrt{3})(2x-1)$:
تحليل $A$:
$$ A = (3-\sqrt{3}) - (x\sqrt{3}-x) = \sqrt{3}(\sqrt{3}-1) - x(\sqrt{3}-1) $$
$$ A = (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-x) $$
تحليل $B$:
$$ B = (x-\sqrt{3}) + 2(x-\sqrt{3})(x-1) $$
$$ B = (x-\sqrt{3}) [ 1 + 2(x-1) ] $$
$$ B = (x-\sqrt{3}) [ 1 + 2x - 2 ] = (x-\sqrt{3})(2x-1) $$
2) إيجاد العدد الحقيقي $x$:
(أ) $A$ و $B$ متقابلان ($A+B=0$):
$$ (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-x) + (x-\sqrt{3})(2x-1) = 0 $$
نستبدل $x-\sqrt{3} = -(\sqrt{3}-x)$:
$$ (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-x) - (\sqrt{3}-x)(2x-1) = 0 $$
$$ (\sqrt{3}-x) [ (\sqrt{3}-1) - (2x-1) ] = 0 $$
$$ (\sqrt{3}-x) [ \sqrt{3} - 1 - 2x + 1 ] = 0 $$
$$ (\sqrt{3}-x) [ \sqrt{3} - 2x ] = 0 $$
إذن $x = \sqrt{3}$ أو $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
(ب) $\frac{\sqrt{3}+1}{2}\sqrt{A^2} = \sqrt{3}$:
نعوض $A$ ونستبدل $\sqrt{A^2}=|A|$:
$$ \frac{\sqrt{3}+1}{2} |(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-x)| = \sqrt{3} $$
بما أن $\sqrt{3}-1$ موجب، فإن $|\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$.
$$ \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{2} |\sqrt{3}-x| = \sqrt{3} $$
$$ \frac{3 - 1}{2} |\sqrt{3}-x| = \sqrt{3} \implies 1 \times |\sqrt{3}-x| = \sqrt{3} $$
$$ \sqrt{3}-x = \sqrt{3} \quad \text{أو} \quad \sqrt{3}-x = -\sqrt{3} $$
الحل الأول: $x = 0$. الحل الثاني: $x = 2\sqrt{3}$.
نعتبر شبه منحرف $ABCD$ قاعدتاه $[AB]$ و $[CD]$. $I$ منتصف $[AD]$ و $J$ منتصف $[BC]$.
إذا كان $AB = \sqrt{2}$ و $IJ = \sqrt{3}+1$ و $CD = 2\sqrt{12}$، فإن $CD$ يساوي: $3\sqrt{3}-1$ أو $\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$ أو $2\sqrt{12}$.
*(ملاحظة: السؤال الأصلي هو اختيار الإجابة الصحيحة. سنقوم هنا بحساب $CD$ بناءً على صيغة قطعة المنتصف لشبه المنحرف) *.
طول القطعة الواصلة بين منتصفي الساقين في شبه المنحرف يساوي **نصف مجموع طولي القاعدتين**. الصيغة هي: $\text{IJ} = \frac{\text{AB} + \text{CD}}{2}$. قم بتعويض القيم المعطاة واستنتج $CD$.
1. نستخدم الصيغة: $2 \times IJ = AB + CD$.
2. نعوض القيم: $2(\sqrt{3}+1) = \sqrt{2} + CD$.
3. نستنتج $CD = 2\sqrt{3}+2 - \sqrt{2}$ ونقارنها بالاجابات المقترحة في الصورة الأصلية. الإجابات في الصورة لا تتطابق مع المعطيات، سنحسب قيمة $CD$ الصحيحة.
بما أن $ABCD$ شبه منحرف قاعدتاه $[AB]$ و $[CD]$، و $I$ منتصف $[AD]$ و $J$ منتصف $[BC]$، فإن $[IJ]$ هي القطعة الواصلة بين منتصفي الساقين. طولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين.
1. كتابة الصيغة:
$$ IJ = \frac{AB + CD}{2} $$
2. تعويض القيم:
$$ \sqrt{3}+1 = \frac{\sqrt{2} + CD}{2} $$
3. حساب $CD$:
$$ 2(\sqrt{3}+1) = \sqrt{2} + CD $$
$$ 2\sqrt{3}+2 = \sqrt{2} + CD $$
$$ CD = 2\sqrt{3} + 2 - \sqrt{2} $$
*(بالنظر إلى السؤال الأصلي في الصورة، الذي يقترح $CD=2\sqrt{12}$ كأحد الخيارات، هذا يتعارض مع المعطيات $AB = \sqrt{2}$ و $IJ = \sqrt{3}+1$. القيمة المحسوبة $2\sqrt{3} + 2 - \sqrt{2}$ هي القيمة الصحيحة)*.
النتيجة النهائية:
$$ CD = 2\sqrt{3} + 2 - \sqrt{2} $$