التمرين رقم 3

→ السابق ☰ ← التالي
التمرين رقم 3الجذاآت المعتبرة

\[E = 2x^2-4x+2 \qquad F = 4x-3\]

1- أ- بيّن أن \(E = 2(x-1)^2\) واستنتج أن \(F = (2x-3)(2x+1)\) (إشارة : استعمل \(4x-3\))

ب- حل \(E = 0\)

2- أ- أنشر \((2x+1)(2x-1)\)

ب- تحقق أن \(E+F = (2x+1)(4x-2)\)

ج- أوجد \(x\) إذا علمت أن \(E\) و \(F\) متقابلان

3- \(C = (x-3)^2-(5-x)^2\)

أ- أنشر واختصر \(C\) ؛ ب- فكّك \(C\)

💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • 1-أ) \(E = 2(x-1)^2\) → \(4x-3 = E+4x-3-2(x-1)^2+2(x-1)^2\)... الإشارة : \(F = 4x-3 = (2x-1)^2-(2x-2)^2\)... لا — الأبسط : \(F = (2x)^2-(2x)-2 = ...\)

الطريق الصحيح للإشارة : استعمل \(4x-3 = (4x^2-1)-(4x^2-4x+2) = (2x-1)(2x+1)-2(x-1)^2 = (2x-1)(2x+1)-E\). إذًا \(F+E = (2x-1)(2x+1)\) → \(F = (2x-1)(2x+1)-E = (2x-1)(2x+1)-2(x-1)^2\)... يبقى معقدًا.

الأسهل مباشرة : \((2x-3)(2x+1) = 4x^2+2x-6x-3 = 4x^2-4x-3\) لكن \(F=4x-3\) → لا تتطابق.

ملاحظة : في النص \(F = 4x^2-3\) على الأرجح (خطأ مطبعي في المصدر). نعمل بـ \(F = 4x^2-3\) :

\(F = 4x^2-3 = (2x-\sqrt{3})(2x+\sqrt{3})\) أو \(F = (2x)^2-(\sqrt{3})^2\)...

أو ربما \(E = 2(x-1)^2\) و الإشارة هي : \(F = 4x-3\) مرتبطة بـ \(E\) عبر \(E+4x-3 = 2x^2-4x+2+4x-3 = 2x^2-1\)...

نعمل بالتفكيك المباشر للنص كما هو :

📝 الطريقة

1-أ) إثبات \(E = 2(x-1)^2\) :

\[2(x-1)^2 = 2(x^2-2x+1) = 2x^2-4x+2 = E \checkmark\]

للإشارة المذكورة حول \(F\) : نلاحظ أن \(F = 4x-3\) لا يُفكّك بالجذاآت المعتبرة. يُرجَّح أن المسألة تعني استنتاج تفكيك لعبارة أخرى باستعمال \(E\)، مثل \(2x^2-1 = E+(4x-3)\) ← \(2x^2-1 = (2x-1)(2x+1)/2 \cdot ...\). نكتفي بإثبات \(E\).

1-ب) حل \(E=0\) : \(2(x-1)^2=0\) → \(\boxed{x=1}\)

2-أ) \((2x+1)(2x-1) = 4x^2-1\)

2-ب) \(E+F = 2x^2-4x+2+4x-3 = 2x^2-1 = (2x+1)(2x-1)/... \)

تحقق : \((2x+1)(4x-2) = 8x^2-4x+4x-2 = 8x^2-2\) ← لا يساوي \(2x^2-1\)

ملاحظة نهائية : هذا التمرين يحتوي على تناقضات مطبعية متعددة في المصدر الأصلي. نُقدّم ما يمكن إثباته :

✅ الحل الكامل

1-أ) إثبات \(E = 2(x-1)^2\) :

\[2(x-1)^2 = 2x^2-4x+2 = E \checkmark\]

1-ب) حل \(E=0\) :

\[2(x-1)^2 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow \boxed{x=1}\]

2-أ) \[(2x+1)(2x-1) = 4x^2-1\]

2-ج) \(E\) و \(F\) متقابلان : \(E+F=0\)

\[2x^2-4x+2+4x-3 = 0 \Rightarrow 2x^2-1 = 0 \Rightarrow x^2 = \dfrac{1}{2}\]

\[\boxed{x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{أو} \quad x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\]

3-أ) نشر \(C\) :

\[C = (x-3)^2-(5-x)^2 = x^2-6x+9-(25-10x+x^2) = x^2-6x+9-25+10x-x^2 = 4x-16\]

\[\boxed{C = 4x-16}\]

3-ب) تفكيك \(C\) :

بالعامل المشترك : \(C = 4(x-4)\)

أو بفرق المربعين :

\[C = (x-3)^2-(5-x)^2 = \big[(x-3)+(5-x)\big]\big[(x-3)-(5-x)\big] = (2)(2x-8) = 4(x-4)\]

\[\boxed{C = 4(x-4)}\]