التمرين رقم 9(9 نقاط — من اقتراح السيد عماد الدريدي)

→ السابق ☰ ← التالي
التمرين رقم 9(9 نقاط — من اقتراح السيد عماد الدريدي)الجذاآت المعتبرة

\[a = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \qquad b = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\]

1- أ- أحسب \(a^2\)، \(b^2\)، \(ab\)

ب- استنتج \((a-b)^2\) و \((a-b)^{2015}\)

2- مربع \(ABCD\)، \(E \in [CD]\)، \(AD = \dfrac{x+1}{2}\)، \(DE = \dfrac{x-1}{2}\)، \(F\) مسقط \(E\) على \([AB]\)

أ- بيّن أن \(S' = \dfrac{x+1}{2}\) ؛ ب- بيّن أن \(S-3S'+\dfrac{9}{4} = \dfrac{1}{4}(x-2)^2\)

ج- بيّن أن \(S-3S' = \dfrac{1}{4}(x-5)(x+1)\) ؛ د- أوجد \(x\) في حالة \(S = 3S'\)

💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • لاحظ : \(a+b = \sqrt{5}\) و \(a-b = 1\) — حسابات مباشرة جدًا
  • 1-ب) \((a-b)^2 = (a-b)^2\) وبما أن \(a-b=1\) → \((a-b)^{2015}=1\)
  • 2-أ) \(BCEF\) مستطيل، \(BC = AB-EF\)... أو \(S' = BC \cdot BF = AD \cdot EF\)
  • 2-ب) \(S = AD^2 = \left(\dfrac{x+1}{2}\right)^2\)، عوّض وبسّط

📝 الطريقة

1-أ) \(a^2 = \dfrac{6+2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\) ؛ \(b^2 = \dfrac{6-2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\) ؛ \(ab = \dfrac{5-1}{4} = 1\)

1-ب) \(a-b = \dfrac{\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1}{2} = 1\) → \((a-b)^2 = 1\) → \((a-b)^{2015} = 1^{2015} = 1\)

2-أ) \(EF = AD = \dfrac{x+1}{2}\) (لأن \(ABFE\) مستطيل). \(BF = BC = AD = \dfrac{x+1}{2}\).

\(S' = S_{BCEF} = BC \times BF = \dfrac{x+1}{2} \times 1\)... لا — نحسب \(S'\) صحيحًا :

\(EF \parallel AB\) و \(EF = AD\) (لأن \(ABFE\) متوازي أضلاع في المربع).

\(BF = DE = \dfrac{x-1}{2}\)... لا، \(F\) مسقط \(E\) على \([AB]\) → \(EF \perp AB\) → \(EF = AD = \dfrac{x+1}{2}\).

\(BF = AB-AF = AD-AF\). بما أن \(AF = DE = \dfrac{x-1}{2}\) → \(BF = \dfrac{x+1}{2}-\dfrac{x-1}{2} = 1\).

\(S' = BC \times BF = \dfrac{x+1}{2} \times 1 = \dfrac{x+1}{2}\) ✓

2-ب) \(S = AD^2 = \left(\dfrac{x+1}{2}\right)^2 = \dfrac{(x+1)^2}{4}\)

\(S-3S'+\dfrac{9}{4} = \dfrac{(x+1)^2}{4}-\dfrac{3(x+1)}{2}+\dfrac{9}{4} = \dfrac{(x+1)^2-6(x+1)+9}{4} = \dfrac{(x+1-3)^2}{4} = \dfrac{(x-2)^2}{4}\) ✓

✅ الحل الكامل

1-أ) الحسابات :

\[a^2 = \left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^2 = \dfrac{5+2\sqrt{5}+1}{4} = \dfrac{6+2\sqrt{5}}{4} = \boxed{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}\]

\[b^2 = \left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2 = \dfrac{6-2\sqrt{5}}{4} = \boxed{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}\]

\[ab = \dfrac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}{4} = \dfrac{5-1}{4} = \boxed{1}\]

1-ب) استنتاج \((a-b)^2\) و \((a-b)^{2015}\) :

\[a-b = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\]

\[(a-b)^2 = 1^2 = \boxed{1}\]

\[(a-b)^{2015} = 1^{2015} = \boxed{1}\]

2-أ) إثبات \(S' = \dfrac{x+1}{2}\) :

\(F\) مسقط \(E\) على \([AB]\) → \(EF \perp AB\) → \(ABFE\) مستطيل → \(EF = AD = \dfrac{x+1}{2}\)

\(AF = DE = \dfrac{x-1}{2}\) (لأن \(AFED\) مستطيل)

\(BF = AB-AF = \dfrac{x+1}{2}-\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\)

\[S' = S_{BCEF} = BC \times BF = \dfrac{x+1}{2} \times 1 = \boxed{\dfrac{x+1}{2}}\]

2-ب) إثبات \(S-3S'+\dfrac{9}{4} = \dfrac{1}{4}(x-2)^2\) :

\[S = AD^2 = \left(\dfrac{x+1}{2}\right)^2 = \dfrac{(x+1)^2}{4}\]

\[S-3S'+\dfrac{9}{4} = \dfrac{(x+1)^2}{4}-\dfrac{3(x+1)}{2}+\dfrac{9}{4} = \dfrac{(x+1)^2-6(x+1)+9}{4} = \dfrac{\big[(x+1)-3\big]^2}{4} = \dfrac{(x-2)^2}{4} \checkmark\]

2-ج) إثبات \(S-3S' = \dfrac{1}{4}(x-5)(x+1)\) :

\[S-3S' = S-3S'+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4} = \dfrac{(x-2)^2}{4}-\dfrac{9}{4} = \dfrac{(x-2)^2-9}{4} = \dfrac{(x-2-3)(x-2+3)}{4} = \dfrac{(x-5)(x+1)}{4} \checkmark\]

2-د) حل \(S = 3S'\) :

\[S-3S' = 0 \Rightarrow \dfrac{(x-5)(x+1)}{4} = 0\]

\[x = 5 \quad \text{أو} \quad x = -1\]

بما أن \(x > 1\) : \(\boxed{x = 5}\)