نعتبر العدد الذهبي \(a = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)
أ- بيّن أن \(a^2 = a + 1\) وأن \(a - 1 = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)، واستنتج أن \(a-1\) هو مقلوب \(a\)
ب- أحسب \(a(a-1)\)
ت- بيّن أن \(\dfrac{1}{a-1} + a - 1 = \sqrt{5}\)
ث- رتّب تصاعدياً \(a^2\) و \(a\) و \(\dfrac{1}{a}\)
أ) \(a^2 = \left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^2 = \dfrac{5+2\sqrt{5}+1}{4} = \dfrac{6+2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\)
نتحقق : \(a+1 = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}+1 = \dfrac{\sqrt{5}+3}{2} = a^2\) ✓
\(a-1 = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}-1 = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) ✓
مقلوب : \(a \times (a-1) = a^2 - a = (a+1)-a = 1\) ✓
ب) \(a(a-1) = a^2 - a = (a+1) - a = 1\)
ت) لأن \(a-1 = \dfrac{1}{a}\) → مقلوب \((a-1)\) هو \(a\) :
\(\dfrac{1}{a-1} + a-1 = a + \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} = \dfrac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}\)
ث) \(\dfrac{1}{a} = a-1 < a < a+1 = a^2\)
\[a^2 = \left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^2 = \dfrac{(\sqrt{5}+1)^2}{4} = \dfrac{5+2\sqrt{5}+1}{4} = \dfrac{6+2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\]
\[a+1 = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}+1 = \dfrac{\sqrt{5}+1+2}{2} = \dfrac{\sqrt{5}+3}{2} = a^2 \checkmark\]
إثبات \(a-1 = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) :\[a-1 = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}-1 = \dfrac{\sqrt{5}+1-2}{2} = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \checkmark\]
\(a-1\) مقلوب \(a\) :\[a \times (a-1) = a^2 - a = (a+1) - a = 1\]
بما أن \(a \times (a-1) = 1\) → \(\boxed{a-1 = \dfrac{1}{a}}\) أي \(a-1\) هو مقلوب \(a\).
ب) حساب \(a(a-1)\) :\[a(a-1) = a^2 - a = (a+1) - a = \boxed{1}\]
ت) إثبات \(\dfrac{1}{a-1} + a-1 = \sqrt{5}\) :من أ) : \(a-1 = \dfrac{1}{a}\) → مقلوب \((a-1)\) هو \(a\) → \(\dfrac{1}{a-1} = a\)
\[\dfrac{1}{a-1} + a-1 = a + (a-1) = 2a - 1 = 2 \times \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} - 1 = \sqrt{5}+1-1 = \boxed{\sqrt{5}} \checkmark\]
ث) الترتيب التصاعدي لـ \(a^2\) و \(a\) و \(\dfrac{1}{a}\) :القيم الحسابية التقريبية : \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\)
\[a = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \approx \dfrac{3{,}236}{2} \approx 1{,}618\]
\[a^2 = a+1 \approx 2{,}618\]
\[\dfrac{1}{a} = a-1 \approx 0{,}618\]
التبرير الجبري : \(a > 1\) (واضح) → \(\dfrac{1}{a} < 1 < a\)، وَ\(a^2 = a+1 > a\)
\[\boxed{\dfrac{1}{a} < a < a^2}\]
أي : \(a-1 < a < a+1\)