📐 فرض مراقبة عدد 2 - الثانية إعدادي 📏

الأعداد الحقيقية وصفات الجذور - مثال رقم 22

🎓 إعدادي ثانوي ⏱ المدة: 45 دقيقة 📊 التمارين: 4

التمرين رقم 1 (2 نقاط)

متوسط

اختر الجواب الصحيح من بين الإجابات التالية مع التعليل:

(1) إذا $a$ و $b$ عددين متطابقان و $b$ عدد حقيقي سالب، فالعدد:

أ) $M(\sqrt{3-a};a)$ ب) $(a)$ ج) $(0)$

(2) مقلوب العدد $\sqrt{5}-1$ هو العدد:

أ) $\frac{\sqrt{5}+1}{16}$ ب) $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ ج) $\frac{1}{\sqrt{5}+1}$

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

التمرين رقم 2 (6 نقاط)

صعب

$$b = \sqrt{98} - 2\sqrt{50} - \sqrt{16} \quad \text{و} \quad a = \sqrt{32} - 6 + (2-\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})$$

(أ) اكتب $b$ في صيغة جذاء عوامل العبارة $\sqrt{32}-6$

(ب) استنتج تفكيك العبارة $a$ إلى جذاء عوامل

(ج) بين أن $a = 4 - 3\sqrt{2}$ وأن $b = -4 - 3\sqrt{2}$

(2) بين أن $a$ و $b$ مقلوبان

(ب) اختصر العبارة $\left(2a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{2}{a}+b\right)$

(ج) احسب مع حذف الإجابة العبارة $\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

📝 منهجية الحل:

حساب $b$:

$$b = \sqrt{98} - 2\sqrt{50} - \sqrt{16}$$ $$= \sqrt{49 \times 2} - 2\sqrt{25 \times 2} - 4$$ $$= 7\sqrt{2} - 2 \times 5\sqrt{2} - 4$$ $$= 7\sqrt{2} - 10\sqrt{2} - 4$$ $$= -3\sqrt{2} - 4$$ $$= -4 - 3\sqrt{2}$$

حساب $a$:

أولاً: $\sqrt{32} - 6 = \sqrt{16 \times 2} - 6 = 4\sqrt{2} - 6$

ثانياً: نضرب $(2-\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})$

$$= 2 \times 3 + 2 \times (-2\sqrt{2}) + (-\sqrt{2}) \times 3 + (-\sqrt{2}) \times (-2\sqrt{2})$$ $$= 6 - 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2 \times 2$$ $$= 6 - 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4$$ $$= 10 - 7\sqrt{2}$$

النتيجة:

$$a = (4\sqrt{2} - 6) + (10 - 7\sqrt{2})$$ $$= 4\sqrt{2} - 6 + 10 - 7\sqrt{2}$$ $$= 4 - 3\sqrt{2}$$

إثبات أن $a$ و $b$ مقلوبان:

$$a \times b = (4 - 3\sqrt{2}) \times (-4 - 3\sqrt{2})$$ $$= -(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})$$ $$= -[4^2 - (3\sqrt{2})^2]$$ $$= -[16 - 9 \times 2]$$ $$= -[16 - 18]$$ $$= -(-2) = 2$$

⚠️ ملاحظة: النتيجة 2 وليس 1، إذن هناك خطأ في البيان أو الحساب

حساب $\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$:

أولاً: نحدد إشارة $a$ و $b$

$a = 4 - 3\sqrt{2} \approx 4 - 4.24 \approx -0.24 < 0$

$b = -4 - 3\sqrt{2} < 0$

إذن:

$$\sqrt{a^2} = |a| = -a = -(4 - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 4$$ $$\sqrt{b^2} = |b| = -b = -(-4 - 3\sqrt{2}) = 4 + 3\sqrt{2}$$ $$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} = (3\sqrt{2} - 4) - (4 + 3\sqrt{2})$$ $$= 3\sqrt{2} - 4 - 4 - 3\sqrt{2}$$ $$= -8$$

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (أ) - حساب $b$:

$$b = \sqrt{98} - 2\sqrt{50} - \sqrt{16}$$ $$= 7\sqrt{2} - 10\sqrt{2} - 4$$ $$= -3\sqrt{2} - 4 = -4 - 3\sqrt{2}$$

حساب $a$:

$$\sqrt{32} - 6 = 4\sqrt{2} - 6$$ $$(2-\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 10 - 7\sqrt{2}$$ $$a = (4\sqrt{2} - 6) + (10 - 7\sqrt{2}) = 4 - 3\sqrt{2}$$

السؤال (2) - المقلوب:

$$a \times b = (4 - 3\sqrt{2})(-4 - 3\sqrt{2})$$ $$= -(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})$$ $$= -(16 - 18) = 2$$

النتيجة ليست 1، إذن $a$ و $b$ ليسا مقلوبين بالمعنى الدقيق

السؤال (ج) - حساب $\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$:

بما أن $a < 0$ و $b < 0$:

$$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} = |a| - |b| = (-a) - (-b)$$ $$= (3\sqrt{2} - 4) - (4 + 3\sqrt{2}) = -8$$

🎯 المفاهيم المستخدمة:

تبسيط الجذور: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
ضرب ذوات الحدين
المطابقات الشهيرة: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
القيمة المطلقة: $\sqrt{x^2} = |x|$

التمرين رقم 3 (3 نقاط)

متوسط

نعتبر العبارة: $$A = (3x+1)(2x-\sqrt{2}) - 2x\sqrt{18} - \sqrt{8}$$

$$B = 3\sqrt{2}x - 9$$

(أ) فكك إلى جذاء عوامل العبارة $2x\sqrt{18} + \sqrt{8}$

(ب) بين أن $(x\sqrt{2} - 3)A = \sqrt{2}(3x+1)$

(ج) استنتج تفكيك إلى جذاء عوامل العبارة A+B

(2) احسب القيمة العددية A+B إذا كان $x = \sqrt{2}$

(3) أوجد العدد الحقيقي $x$ في الحالات التالية:

أ) A=B

ب) $\sqrt{x^2 + 2} = 3\sqrt{2}$

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

📝 منهجية الحل:

السؤال (أ) - التفكيك:

$$2x\sqrt{18} + \sqrt{8}$$ $$= 2x \times 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$$ $$= 6x\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$$ $$= 2\sqrt{2}(3x + 1)$$

حساب $A$:

$$A = (3x+1)(2x-\sqrt{2}) - 2x\sqrt{18} - \sqrt{8}$$ $$= (3x+1)(2x-\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}(3x + 1)$$ $$= (3x+1)[(2x-\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}]$$ $$= (3x+1)(2x - 3\sqrt{2})$$

إثبات $(x\sqrt{2} - 3)A = \sqrt{2}(3x+1)$:

$$A = (3x+1)(2x - 3\sqrt{2})$$ $$(x\sqrt{2} - 3)A = (x\sqrt{2} - 3)(3x+1)(2x - 3\sqrt{2})$$

نلاحظ أن: $2x - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}x - 3)$

$$= (x\sqrt{2} - 3)(3x+1) \times \sqrt{2}(\sqrt{2}x - 3)$$ $$= \sqrt{2}(3x+1)(x\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2}x - 3)$$

يبدو أن هناك خطأ في البيان أو يحتاج إلى مزيد من التبسيط

السؤال (2) - حساب A+B عند $x = \sqrt{2}$:

$$A = (3\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2} - 3\sqrt{2})$$ $$= (3\sqrt{2}+1)(-\sqrt{2})$$ $$= -3 \times 2 - \sqrt{2}$$ $$= -6 - \sqrt{2}$$ $$B = 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} - 9 = 6 - 9 = -3$$ $$A + B = -6 - \sqrt{2} - 3 = -9 - \sqrt{2}$$

السؤال (3أ) - حل A=B:

$$A = B$$ $$(3x+1)(2x - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}x - 9$$

بتطوير الطرف الأيسر وحل المعادلة الناتجة...

السؤال (3ب) - حل $\sqrt{x^2 + 2} = 3\sqrt{2}$:

$$\sqrt{x^2 + 2} = 3\sqrt{2}$$ $$x^2 + 2 = (3\sqrt{2})^2$$ $$x^2 + 2 = 9 \times 2$$ $$x^2 + 2 = 18$$ $$x^2 = 16$$ $$x = \pm 4$$

🎯 دليل الامتحان

📋 معلومات عن الامتحان

🔍 كيفية استخدام الصفحة

📝 المفاهيم الأساسية

التمرين رقم 1 (2 نقاط)

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

السؤال الأول:

السؤال الثاني:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (1):

السؤال (2):

🎯 المفاهيم المستخدمة:

التمرين رقم 2 (6 نقاط)

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

حساب $b$:

حساب $a$:

إثبات أن $a$ و $b$ مقلوبان:

حساب $\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (أ) - حساب $b$:

حساب $a$:

السؤال (2) - المقلوب:

السؤال (ج) - حساب $\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$:

🎯 المفاهيم المستخدمة:

التمرين رقم 3 (3 نقاط)

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

السؤال (أ) - التفكيك:

حساب $A$:

إثبات $(x\sqrt{2} - 3)A = \sqrt{2}(3x+1)$:

السؤال (2) - حساب A+B عند $x = \sqrt{2}$:

السؤال (3أ) - حل A=B:

السؤال (3ب) - حل $\sqrt{x^2 + 2} = 3\sqrt{2}$:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (أ):

السؤال (ب):

السؤال (2):

السؤال (3ب):

🎯 المفاهيم المستخدمة: