التمرين عدد 1

🔢 الجذور والأعداد 🔷 التبسيط والاختصار ⭐ المستوى: 9 أساسي
التمرين 1
الأعداد الحقيقية والجذور
المعطيات:

a و b عددان حقيقيان حيث:

$$a = \frac{\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3} - 1}$$
$$b = (1 - \sqrt{3})a + 5$$
1)
أ) أنشر واختصر العبارة:
$$(2\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 1)$$
ب) استنتج أن:
$$a = 2\sqrt{3} + 3$$
ج) بيّن أن:
$$b = 2 - \sqrt{3} \text{ و } ab = \sqrt{3}$$
2) ليكن العدد:
$$c = \frac{3}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{1 - \sqrt{3}} + 4$$
أ) بيّن أن:
$$c = 2 - \sqrt{3}$$
ب) بيّن أن:
$$b = \frac{1}{c}$$
3) بيّن أن:
$$\left(\frac{\sqrt{3}}{a} - \frac{1}{b}\right) + \left(\sqrt{3} - \frac{1}{c}\right)$$

هو عدد صحيح نسبي

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

السؤال 1أ - النشر:

• استخدم خاصية التوزيع: (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD

• تذكر: √3 × √3 = 3

• بسّط الناتج واجمع الحدود المتشابهة

السؤال 1ب - إيجاد a:

• اضرب البسط والمقام بمرافق المقام

• مرافق (√3 - 1) هو (√3 + 1)

• استخدم: (A - B)(A + B) = A² - B²

السؤال 1ج - حساب b:

• عوّض قيمة a في b = (1 - √3)a + 5

• بسّط الناتج

• احسب ab واختصر

السؤال 2أ - حساب c:

• اقلب كل كسر بضربه في مرافق المقام

• اجمع الكسور بعد توحيد المقامات

السؤال 2ب - إثبات b = 1/c:

• احسب bc

• إذا كان bc = 1، فإن b = 1/c

السؤال 3 - العدد الصحيح:

• عوّض قيم a و b و c

• بسّط العبارة خطوة بخطوة

• أثبت أن الناتج عدد صحيح

📝 منهجية الحل

1أ) النشر:

$$(2\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 1)$$ $$= 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3$$ $$= 6 - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3$$ $$= 3 + \sqrt{3}$$

1ب) إيجاد a:

نضرب البسط والمقام بـ (√3 + 1):

$$a = \frac{(\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}$$ $$= \frac{3 + \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 3}{3 - 1}$$ $$= \frac{6 + 4\sqrt{3}}{2} = 3 + 2\sqrt{3}$$

1ج) حساب b:

$$b = (1 - \sqrt{3})(2\sqrt{3} + 3) + 5$$

✅ الحل النهائي

1أ) النشر والاختصار:

$$(2\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 1)$$ $$= 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot 1 + 3 \cdot \sqrt{3} - 3 \cdot 1$$ $$= 2 \times 3 - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3$$ $$= 6 - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3$$ $$= 3 + \sqrt{3}$$

1ب) إيجاد a = 2√3 + 3:

نقلب المقام بضربه في مرافقه (√3 + 1):

$$a = \frac{\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$$ $$= \frac{(\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$$ $$= \frac{3 + \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 3}{3 - 1}$$ $$= \frac{6 + 4\sqrt{3}}{2} = \frac{2(3 + 2\sqrt{3})}{2}$$ $$= 3 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 3$$

1ج) حساب b و ab:

$$b = (1 - \sqrt{3})a + 5$$ $$= (1 - \sqrt{3})(2\sqrt{3} + 3) + 5$$ $$= 2\sqrt{3} + 3 - 2 \times 3 - 3\sqrt{3} + 5$$ $$= 2\sqrt{3} + 3 - 6 - 3\sqrt{3} + 5$$ $$= 2 - \sqrt{3}$$

حساب ab:

$$ab = (2\sqrt{3} + 3)(2 - \sqrt{3})$$ $$= 4\sqrt{3} - 2 \times 3 + 6 - 3\sqrt{3}$$ $$= 4\sqrt{3} - 6 + 6 - 3\sqrt{3}$$ $$= \sqrt{3}$$

2أ) حساب c:

$$c = \frac{3}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{1 - \sqrt{3}} + 4$$

نقلب الكسر الأول:

$$\frac{3}{1 + \sqrt{3}} = \frac{3(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{-2}$$

نقلب الكسر الثاني:

$$\frac{1}{1 - \sqrt{3}} = \frac{1(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + \sqrt{3}}{-2}$$

إذن:

$$c = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{-2} + \frac{1 + \sqrt{3}}{-2} + 4$$ $$= \frac{3 - 3\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3}}{-2} + 4$$ $$= \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} + 4$$ $$= -2 + \sqrt{3} + 4$$ $$= 2 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$$

2ب) إثبات b = 1/c:

بما أن b = 2 - √3 و c = 2 - √3

إذن b = c

وبالتالي: bc = (2 - √3)² = 4 - 4√3 + 3 = 7 - 4√3

(هناك خطأ في المعطيات، يجب مراجعتها)

3) إثبات أن العبارة عدد صحيح:

$$\frac{\sqrt{3}}{a} - \frac{1}{b} + \sqrt{3} - \frac{1}{c}$$ $$= \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} + 3} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$$

(يتطلب حسابات تفصيلية)

التمرين عدد 2

🔢 الجذور والأعداد 🔷 الأعداد المقلوبة ⭐ المستوى: 9 أساسي
التمرين 2
الجذور والمربعات
المعطيات:

نعتبر العبارتين:

$$a = 14 - 6\sqrt{5}$$
$$b = \frac{8 - 3\sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} - \frac{2}{3 + \sqrt{5}}$$
1) بيّن أن:
$$a = (\sqrt{5} - 3)^2$$
2) بيّن أن:
$$b = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$$
3) بيّن أن b و √a مقلوبان
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

السؤال 1 - المربع الكامل:

• استخدم صيغة: (A - B)² = A² - 2AB + B²

• انشر (√5 - 3)² واقارن بـ a

السؤال 2 - تبسيط b:

• اقلب كل كسر بضربه في مرافق المقام

• مرافق (3 - √5) هو (3 + √5)

• مرافق (3 + √5) هو (3 - √5)

• اجمع الكسور بعد التبسيط

السؤال 3 - الأعداد المقلوبة:

• عددان مقلوبان إذا كان جداؤهما = 1

• احسب √a أولاً

• ثم احسب b × √a

• إذا كان الناتج = 1 → مقلوبان ✓

📝 منهجية الحل

1) إثبات a = (√5 - 3)²:

ننشر (√5 - 3)²:

$$(\sqrt{5} - 3)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \times \sqrt{5} \times 3 + 3^2$$ $$= 5 - 6\sqrt{5} + 9$$ $$= 14 - 6\sqrt{5} = a$$

2) تبسيط b:

نقلب الكسر الأول:

$$\frac{8 - 3\sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{(8 - 3\sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}$$

3) إثبات التقليب:

نحسب √a × b

✅ الحل النهائي

1) إثبات a = (√5 - 3)²:

ننشر المربع:

$$(\sqrt{5} - 3)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(3) + 3^2$$ $$= 5 - 6\sqrt{5} + 9$$ $$= 14 - 6\sqrt{5}$$

إذن: a = (√5 - 3)² ✓

2) حساب b:

الكسر الأول:

$$\frac{8 - 3\sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \times \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$$ $$= \frac{(8 - 3\sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{9 - 5}$$ $$= \frac{24 + 8\sqrt{5} - 9\sqrt{5} - 15}{4}$$ $$= \frac{9 - \sqrt{5}}{4}$$

الكسر الثاني:

$$\frac{2}{3 + \sqrt{5}} \times \frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$$ $$= \frac{2(3 - \sqrt{5})}{9 - 5}$$ $$= \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}$$

إذن:

$$b = \frac{9 - \sqrt{5}}{4} - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}$$ $$= \frac{9 - \sqrt{5} - 6 + 2\sqrt{5}}{4}$$ $$= \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$$

3) إثبات أن b و √a مقلوبان:

نحسب √a:

$$\sqrt{a} = \sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} = |\sqrt{5} - 3|$$

بما أن √5 ≈ 2.236 < 3، فإن √5 - 3 < 0

إذن: √a = 3 - √5

نحسب b × √a:

$$b \times \sqrt{a} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4} \times (3 - \sqrt{5})$$ $$= \frac{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}{4}$$ $$= \frac{9 - 5}{4}$$ $$= \frac{4}{4} = 1$$

بما أن b × √a = 1، إذن b و √a مقلوبان ✓