\(\dfrac{\sqrt{3} - 3}{4\sqrt{11} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{11} + 6\)
المقام :\((4\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 16\times 11 - 36 = 140\)
ننشر البسط :\((\sqrt{3} - 3)(4\sqrt{11} + 6)\)
\(= 4\sqrt{33} + 6\sqrt{3} - 12\sqrt{11} - 18\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{11} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{33} + 6\sqrt{3} - 12\sqrt{11} - 18}{140}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{33} + 3\sqrt{3} - 6\sqrt{11} - 9}{70}\)
\(\dfrac{2\sqrt{33} + 3\sqrt{3} - 6\sqrt{11} - 9}{70}\)
\(2\sqrt{112} + \dfrac{3\sqrt{7} - 4}{\sqrt{7} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{112} = 2\sqrt{4^{2}\times 7} = 2\times 4\sqrt{7} = 8\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 1\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 7 - 1 = 6\)
البسط :\((3\sqrt{7} - 4)(\sqrt{7} - 1) = -7\sqrt{7} + 25\)
\(\dfrac{3\sqrt{7} - 4}{\sqrt{7} + 1} = \dfrac{-7\sqrt{7} + 25}{6}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{7} + \left(\dfrac{-7\sqrt{7} + 25}{6}\right) = \dfrac{41\sqrt{7} + 25}{6}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{41\sqrt{7} + 25}{6}\)
\(\dfrac{41\sqrt{7} + 25}{6}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{5} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 5\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{5} - 5} = \dfrac{2(\sqrt{5} + 5)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 5^{2} = 5 - 25 = -20\)
البسط :\(2(\sqrt{5} + 5) = 2\sqrt{5} + 10\)
\(= \dfrac{2\sqrt{5} + 10}{-20}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{5} - 5}{10}\)
\(\dfrac{-\sqrt{5} - 5}{10}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{2} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 1\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{2} + 1} = \dfrac{7(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 2 - 1 = 1\)
البسط :\(7(\sqrt{2} - 1) = 7\sqrt{2} - 7\)
\(= 7\sqrt{2} - 7\)
الكسر في أبسط صورة :\(= 7\sqrt{2} - 7\)
\(7\sqrt{2} - 7\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} - 6}{2\sqrt{7} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{7} + 2\)
المقام :\((2\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 4\times 7 - 4 = 24\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{2} - 6)(2\sqrt{7} + 2)\)
\(= 8\sqrt{14} + 8\sqrt{2} - 12\sqrt{7} - 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{7} = \sqrt{14}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{14} + 8\sqrt{2} - 12\sqrt{7} - 12}{24}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{14} + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{7} - 3}{6}\)
\(\dfrac{2\sqrt{14} + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{7} - 3}{6}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{2(\sqrt{3} - 5)}{(\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 5)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\(2(\sqrt{3} - 5) = 2\sqrt{3} - 10\)
\(= \dfrac{2\sqrt{3} - 10}{-22}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{3} + 5}{11}\)
\(\dfrac{-\sqrt{3} + 5}{11}\)
\(5\sqrt{18} - \dfrac{2\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{18} = 5\sqrt{3^{2}\times 2} = 5\times 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 3\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 2 - 9 = -7\)
البسط :\((2\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} - 3) = -9\sqrt{2} + 13\)
\(\dfrac{2\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} + 3} = \dfrac{9\sqrt{2} - 13}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{2} - \left(\dfrac{9\sqrt{2} - 13}{7}\right) = \dfrac{96\sqrt{2} + 13}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{96\sqrt{2} + 13}{7}\)
\(\dfrac{96\sqrt{2} + 13}{7}\)
\(4\sqrt{50} + \dfrac{5\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{50} = 4\sqrt{5^{2}\times 2} = 4\times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\((5\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} - 2) = -8\sqrt{2} + 6\)
\(\dfrac{5\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 2} = 4\sqrt{2} - 3\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{2} + \left(4\sqrt{2} - 3\right) = 24\sqrt{2} - 3\)
النتيجة النهائية :\(= 24\sqrt{2} - 3\)
\(24\sqrt{2} - 3\)
\(\dfrac{4\sqrt{13} + 1}{4\sqrt{11} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{11} - 6\)
المقام :\((4\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 16\times 11 - 36 = 140\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{13} + 1)(4\sqrt{11} - 6)\)
\(= 16\sqrt{143} - 24\sqrt{13} + 4\sqrt{11} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{11} = \sqrt{143}\)
\(= \dfrac{16\sqrt{143} - 24\sqrt{13} + 4\sqrt{11} - 6}{140}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{8\sqrt{143} - 12\sqrt{13} + 2\sqrt{11} - 3}{70}\)
\(\dfrac{8\sqrt{143} - 12\sqrt{13} + 2\sqrt{11} - 3}{70}\)
\(5\sqrt{325} + \dfrac{\sqrt{13} + 4}{\sqrt{13} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{325} = 5\sqrt{5^{2}\times 13} = 5\times 5\sqrt{13} = 25\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 5\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 13 - 25 = -12\)
البسط :\((\sqrt{13} + 4)(\sqrt{13} - 5) = -\sqrt{13} - 7\)
\(\dfrac{\sqrt{13} + 4}{\sqrt{13} + 5} = \dfrac{\sqrt{13} + 7}{12}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(25\sqrt{13} + \left(\dfrac{\sqrt{13} + 7}{12}\right) = \dfrac{301\sqrt{13} + 7}{12}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{301\sqrt{13} + 7}{12}\)
\(\dfrac{301\sqrt{13} + 7}{12}\)
\(2\sqrt{45} + \dfrac{5\sqrt{5} + 6}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{45} = 2\sqrt{3^{2}\times 5} = 2\times 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\((5\sqrt{5} + 6)(\sqrt{5} - 3) = -9\sqrt{5} + 7\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} + 6}{\sqrt{5} + 3} = \dfrac{9\sqrt{5} - 7}{4}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{5} + \left(\dfrac{9\sqrt{5} - 7}{4}\right) = \dfrac{33\sqrt{5} - 7}{4}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{33\sqrt{5} - 7}{4}\)
\(\dfrac{33\sqrt{5} - 7}{4}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{2} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 2\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{2} - 2} = \dfrac{4(\sqrt{2} + 2)}{(\sqrt{2} - 2)(\sqrt{2} + 2)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\(4(\sqrt{2} + 2) = 4\sqrt{2} + 8\)
\(= \dfrac{4\sqrt{2} + 8}{-2}\)
نبسّط الكسر :\(= -2\sqrt{2} - 4\)
\(-2\sqrt{2} - 4\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{2} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 1\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{2} + 1} = \dfrac{6(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 2 - 1 = 1\)
البسط :\(6(\sqrt{2} - 1) = 6\sqrt{2} - 6\)
\(= 6\sqrt{2} - 6\)
الكسر في أبسط صورة :\(= 6\sqrt{2} - 6\)
\(6\sqrt{2} - 6\)
\(\dfrac{\sqrt{5} - 6}{2\sqrt{3} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{3} + 5\)
المقام :\((2\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 4\times 3 - 25 = -13\)
ننشر البسط :\((\sqrt{5} - 6)(2\sqrt{3} + 5)\)
\(= 2\sqrt{15} + 5\sqrt{5} - 12\sqrt{3} - 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{3} = \sqrt{15}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{15} + 5\sqrt{5} - 12\sqrt{3} - 30}{-13}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{15} - 5\sqrt{5} + 12\sqrt{3} + 30}{13}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{15} - 5\sqrt{5} + 12\sqrt{3} + 30}{13}\)
\(4\sqrt{27} + \dfrac{4\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{27} = 4\sqrt{3^{2}\times 3} = 4\times 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((4\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 5) = -19\sqrt{3} + 7\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{19\sqrt{3} - 7}{22}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{3} + \left(\dfrac{19\sqrt{3} - 7}{22}\right) = \dfrac{283\sqrt{3} - 7}{22}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{283\sqrt{3} - 7}{22}\)
\(\dfrac{283\sqrt{3} - 7}{22}\)
\(4\sqrt{52} + \dfrac{4\sqrt{13} + 3}{\sqrt{13} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{52} = 4\sqrt{2^{2}\times 13} = 4\times 2\sqrt{13} = 8\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 3\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 13 - 9 = 4\)
البسط :\((4\sqrt{13} + 3)(\sqrt{13} - 3) = -9\sqrt{13} + 43\)
\(\dfrac{4\sqrt{13} + 3}{\sqrt{13} + 3} = \dfrac{-9\sqrt{13} + 43}{4}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{13} + \left(\dfrac{-9\sqrt{13} + 43}{4}\right) = \dfrac{23\sqrt{13} + 43}{4}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{23\sqrt{13} + 43}{4}\)
\(\dfrac{23\sqrt{13} + 43}{4}\)
\(\dfrac{2\sqrt{13} + 6}{\sqrt{11} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 2\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 1\times 11 - 4 = 7\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{13} + 6)(\sqrt{11} + 2)\)
\(= 2\sqrt{143} + 4\sqrt{13} + 6\sqrt{11} + 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{11} = \sqrt{143}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{143} + 4\sqrt{13} + 6\sqrt{11} + 12}{7}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{2\sqrt{143} + 4\sqrt{13} + 6\sqrt{11} + 12}{7}\)
\(\dfrac{2\sqrt{143} + 4\sqrt{13} + 6\sqrt{11} + 12}{7}\)
\(3\sqrt{325} + \dfrac{\sqrt{13} + 5}{\sqrt{13} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{325} = 3\sqrt{5^{2}\times 13} = 3\times 5\sqrt{13} = 15\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 3\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 13 - 9 = 4\)
البسط :\((\sqrt{13} + 5)(\sqrt{13} - 3) = 2\sqrt{13} - 2\)
\(\dfrac{\sqrt{13} + 5}{\sqrt{13} + 3} = \dfrac{\sqrt{13} - 1}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{13} + \left(\dfrac{\sqrt{13} - 1}{2}\right) = \dfrac{31\sqrt{13} - 1}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{31\sqrt{13} - 1}{2}\)
\(\dfrac{31\sqrt{13} - 1}{2}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{11} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 5\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{11} - 5} = \dfrac{4(\sqrt{11} + 5)}{(\sqrt{11} - 5)(\sqrt{11} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\(4(\sqrt{11} + 5) = 4\sqrt{11} + 20\)
\(= \dfrac{4\sqrt{11} + 20}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{11} - 10}{7}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{11} - 10}{7}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{7} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 3\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{7} + 3} = \dfrac{8(\sqrt{7} - 3)}{(\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 3^{2} = 7 - 9 = -2\)
البسط :\(8(\sqrt{7} - 3) = 8\sqrt{7} - 24\)
\(= \dfrac{8\sqrt{7} - 24}{-2}\)
نبسّط الكسر :\(= -4\sqrt{7} + 12\)
\(-4\sqrt{7} + 12\)