\(\dfrac{2}{\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 4\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{3} + 4} = \dfrac{2(\sqrt{3} - 4)}{(\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\(2(\sqrt{3} - 4) = 2\sqrt{3} - 8\)
\(= \dfrac{2\sqrt{3} - 8}{-13}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{3} + 8}{13}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{3} + 8}{13}\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} + 6}{\sqrt{3} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 3\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 1\times 3 - 9 = -6\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{13} + 6)(\sqrt{3} + 3)\)
\(= 3\sqrt{39} + 9\sqrt{13} + 6\sqrt{3} + 18\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{3} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{39} + 9\sqrt{13} + 6\sqrt{3} + 18}{-6}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{39} - 3\sqrt{13} - 2\sqrt{3} - 6}{2}\)
\(\dfrac{-\sqrt{39} - 3\sqrt{13} - 2\sqrt{3} - 6}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{7} + 1}{2\sqrt{3} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{3} + 3\)
المقام :\((2\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 4\times 3 - 9 = 3\)
ننشر البسط :\((\sqrt{7} + 1)(2\sqrt{3} + 3)\)
\(= 2\sqrt{21} + 3\sqrt{7} + 2\sqrt{3} + 3\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{3} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{21} + 3\sqrt{7} + 2\sqrt{3} + 3}{3}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{2\sqrt{21} + 3\sqrt{7} + 2\sqrt{3} + 3}{3}\)
\(\dfrac{2\sqrt{21} + 3\sqrt{7} + 2\sqrt{3} + 3}{3}\)
\(3\sqrt{44} + \dfrac{\sqrt{11} + 4}{\sqrt{11} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{44} = 3\sqrt{2^{2}\times 11} = 3\times 2\sqrt{11} = 6\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 3\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 11 - 9 = 2\)
البسط :\((\sqrt{11} + 4)(\sqrt{11} - 3) = \sqrt{11} - 1\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 4}{\sqrt{11} + 3} = \dfrac{\sqrt{11} - 1}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{11} + \left(\dfrac{\sqrt{11} - 1}{2}\right) = \dfrac{13\sqrt{11} - 1}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{13\sqrt{11} - 1}{2}\)
\(\dfrac{13\sqrt{11} - 1}{2}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{7} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 4\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{7} - 4} = \dfrac{5(\sqrt{7} + 4)}{(\sqrt{7} - 4)(\sqrt{7} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 7 - 16 = -9\)
البسط :\(5(\sqrt{7} + 4) = 5\sqrt{7} + 20\)
\(= \dfrac{5\sqrt{7} + 20}{-9}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{7} - 20}{9}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{7} - 20}{9}\)
\(\dfrac{\sqrt{7} + 2}{4\sqrt{13} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{13} + 5\)
المقام :\((4\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 16\times 13 - 25 = 183\)
ننشر البسط :\((\sqrt{7} + 2)(4\sqrt{13} + 5)\)
\(= 4\sqrt{91} + 5\sqrt{7} + 8\sqrt{13} + 10\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{13} = \sqrt{91}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{91} + 5\sqrt{7} + 8\sqrt{13} + 10}{183}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{4\sqrt{91} + 5\sqrt{7} + 8\sqrt{13} + 10}{183}\)
\(\dfrac{4\sqrt{91} + 5\sqrt{7} + 8\sqrt{13} + 10}{183}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 3\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3} - 3} = \dfrac{1(\sqrt{3} + 3)}{(\sqrt{3} - 3)(\sqrt{3} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 3 - 9 = -6\)
البسط :\(1(\sqrt{3} + 3) = \sqrt{3} + 3\)
\(= \dfrac{\sqrt{3} + 3}{-6}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{3} - 3}{6}\)
\(\dfrac{-\sqrt{3} - 3}{6}\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} + 2}{4\sqrt{2} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{2} + 6\)
المقام :\((4\sqrt{2})^{2} - 6^{2} = 16\times 2 - 36 = -4\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{3} + 2)(4\sqrt{2} + 6)\)
\(= 16\sqrt{6} + 24\sqrt{3} + 8\sqrt{2} + 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{2} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{16\sqrt{6} + 24\sqrt{3} + 8\sqrt{2} + 12}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= -4\sqrt{6} - 6\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 3\)
\(-4\sqrt{6} - 6\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 3\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{11} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 6\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{11} - 6} = \dfrac{5(\sqrt{11} + 6)}{(\sqrt{11} - 6)(\sqrt{11} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 11 - 36 = -25\)
البسط :\(5(\sqrt{11} + 6) = 5\sqrt{11} + 30\)
\(= \dfrac{5\sqrt{11} + 30}{-25}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{11} - 6}{5}\)
\(\dfrac{-\sqrt{11} - 6}{5}\)
\(\dfrac{2\sqrt{13} + 6}{\sqrt{7} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 6\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 6^{2} = 1\times 7 - 36 = -29\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{13} + 6)(\sqrt{7} + 6)\)
\(= 2\sqrt{91} + 12\sqrt{13} + 6\sqrt{7} + 36\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{7} = \sqrt{91}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{91} + 12\sqrt{13} + 6\sqrt{7} + 36}{-29}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{91} - 12\sqrt{13} - 6\sqrt{7} - 36}{29}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{91} - 12\sqrt{13} - 6\sqrt{7} - 36}{29}\)
\(5\sqrt{125} + \dfrac{\sqrt{5} - 6}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{125} = 5\sqrt{5^{2}\times 5} = 5\times 5\sqrt{5} = 25\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\((\sqrt{5} - 6)(\sqrt{5} - 4) = -10\sqrt{5} + 29\)
\(\dfrac{\sqrt{5} - 6}{\sqrt{5} + 4} = \dfrac{10\sqrt{5} - 29}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(25\sqrt{5} + \left(\dfrac{10\sqrt{5} - 29}{11}\right) = \dfrac{285\sqrt{5} - 29}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{285\sqrt{5} - 29}{11}\)
\(\dfrac{285\sqrt{5} - 29}{11}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{13} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 5\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{13} - 5} = \dfrac{6(\sqrt{13} + 5)}{(\sqrt{13} - 5)(\sqrt{13} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 13 - 25 = -12\)
البسط :\(6(\sqrt{13} + 5) = 6\sqrt{13} + 30\)
\(= \dfrac{6\sqrt{13} + 30}{-12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{13} - 5}{2}\)
\(\dfrac{-\sqrt{13} - 5}{2}\)
\(2\sqrt{44} + \dfrac{2\sqrt{11} + 2}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{44} = 2\sqrt{2^{2}\times 11} = 2\times 2\sqrt{11} = 4\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\((2\sqrt{11} + 2)(\sqrt{11} - 5) = -8\sqrt{11} + 12\)
\(\dfrac{2\sqrt{11} + 2}{\sqrt{11} + 5} = \dfrac{4\sqrt{11} - 6}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(4\sqrt{11} + \left(\dfrac{4\sqrt{11} - 6}{7}\right) = \dfrac{32\sqrt{11} - 6}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{32\sqrt{11} - 6}{7}\)
\(\dfrac{32\sqrt{11} - 6}{7}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{13} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 4\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{13} + 4} = \dfrac{4(\sqrt{13} - 4)}{(\sqrt{13} + 4)(\sqrt{13} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 13 - 16 = -3\)
البسط :\(4(\sqrt{13} - 4) = 4\sqrt{13} - 16\)
\(= \dfrac{4\sqrt{13} - 16}{-3}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{13} + 16}{3}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{13} + 16}{3}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{1(\sqrt{3} - 5)}{(\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 5)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\(1(\sqrt{3} - 5) = \sqrt{3} - 5\)
\(= \dfrac{\sqrt{3} - 5}{-22}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{3} + 5}{22}\)
\(\dfrac{-\sqrt{3} + 5}{22}\)
\(\dfrac{3\sqrt{5} - 1}{\sqrt{7} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 6\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 6^{2} = 1\times 7 - 36 = -29\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{5} - 1)(\sqrt{7} + 6)\)
\(= 3\sqrt{35} + 18\sqrt{5} - \sqrt{7} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{7} = \sqrt{35}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{35} + 18\sqrt{5} - \sqrt{7} - 6}{-29}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{35} - 18\sqrt{5} + \sqrt{7} + 6}{29}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{35} - 18\sqrt{5} + \sqrt{7} + 6}{29}\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} - 2}{\sqrt{13} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 2\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 2^{2} = 1\times 13 - 4 = 9\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{3} - 2)(\sqrt{13} + 2)\)
\(= 2\sqrt{39} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{13} - 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{13} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{39} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{13} - 4}{9}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{2\sqrt{39} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{13} - 4}{9}\)
\(\dfrac{2\sqrt{39} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{13} - 4}{9}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 5\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3} - 5} = \dfrac{1(\sqrt{3} + 5)}{(\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\(1(\sqrt{3} + 5) = \sqrt{3} + 5\)
\(= \dfrac{\sqrt{3} + 5}{-22}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{3} - 5}{22}\)
\(\dfrac{-\sqrt{3} - 5}{22}\)
\(5\sqrt{50} - \dfrac{2\sqrt{2} + 5}{\sqrt{2} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{50} = 5\sqrt{5^{2}\times 2} = 5\times 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 1\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 2 - 1 = 1\)
البسط :\((2\sqrt{2} + 5)(\sqrt{2} - 1) = 3\sqrt{2} - 1\)
\(\dfrac{2\sqrt{2} + 5}{\sqrt{2} + 1} = 3\sqrt{2} - 1\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(25\sqrt{2} - \left(3\sqrt{2} - 1\right) = 22\sqrt{2} + 1\)
النتيجة النهائية :\(= 22\sqrt{2} + 1\)
\(22\sqrt{2} + 1\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} + 1}{2\sqrt{7} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{7} - 2\)
المقام :\((2\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 4\times 7 - 4 = 24\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{13} + 1)(2\sqrt{7} - 2)\)
\(= 10\sqrt{91} - 10\sqrt{13} + 2\sqrt{7} - 2\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{7} = \sqrt{91}\)
\(= \dfrac{10\sqrt{91} - 10\sqrt{13} + 2\sqrt{7} - 2}{24}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{5\sqrt{91} - 5\sqrt{13} + \sqrt{7} - 1}{12}\)
\(\dfrac{5\sqrt{91} - 5\sqrt{13} + \sqrt{7} - 1}{12}\)