\(5\sqrt{32} - \dfrac{4\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{32} = 5\sqrt{4^{2}\times 2} = 5\times 4\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 5\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 2 - 25 = -23\)
البسط :\((4\sqrt{2} - 5)(\sqrt{2} - 5) = -25\sqrt{2} + 33\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2} + 5} = \dfrac{25\sqrt{2} - 33}{23}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{2} - \left(\dfrac{25\sqrt{2} - 33}{23}\right) = \dfrac{435\sqrt{2} + 33}{23}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{435\sqrt{2} + 33}{23}\)
\(\dfrac{435\sqrt{2} + 33}{23}\)
\(5\sqrt{63} + \dfrac{4\sqrt{7} + 3}{\sqrt{7} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{63} = 5\sqrt{3^{2}\times 7} = 5\times 3\sqrt{7} = 15\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 4\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 7 - 16 = -9\)
البسط :\((4\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 4) = -13\sqrt{7} + 16\)
\(\dfrac{4\sqrt{7} + 3}{\sqrt{7} + 4} = \dfrac{13\sqrt{7} - 16}{9}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{7} + \left(\dfrac{13\sqrt{7} - 16}{9}\right) = \dfrac{148\sqrt{7} - 16}{9}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{148\sqrt{7} - 16}{9}\)
\(\dfrac{148\sqrt{7} - 16}{9}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 4\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3} - 4} = \dfrac{1(\sqrt{3} + 4)}{(\sqrt{3} - 4)(\sqrt{3} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\(1(\sqrt{3} + 4) = \sqrt{3} + 4\)
\(= \dfrac{\sqrt{3} + 4}{-13}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{3} - 4}{13}\)
\(\dfrac{-\sqrt{3} - 4}{13}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{5} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 6\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{5} - 6} = \dfrac{1(\sqrt{5} + 6)}{(\sqrt{5} - 6)(\sqrt{5} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 6^{2} = 5 - 36 = -31\)
البسط :\(1(\sqrt{5} + 6) = \sqrt{5} + 6\)
\(= \dfrac{\sqrt{5} + 6}{-31}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{5} - 6}{31}\)
\(\dfrac{-\sqrt{5} - 6}{31}\)
\(3\sqrt{52} + \dfrac{3\sqrt{13} - 6}{\sqrt{13} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{52} = 3\sqrt{2^{2}\times 13} = 3\times 2\sqrt{13} = 6\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 5\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 13 - 25 = -12\)
البسط :\((3\sqrt{13} - 6)(\sqrt{13} - 5) = -21\sqrt{13} + 69\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} - 6}{\sqrt{13} + 5} = \dfrac{7\sqrt{13} - 23}{4}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{13} + \left(\dfrac{7\sqrt{13} - 23}{4}\right) = \dfrac{31\sqrt{13} - 23}{4}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{31\sqrt{13} - 23}{4}\)
\(\dfrac{31\sqrt{13} - 23}{4}\)
\(2\sqrt{27} - \dfrac{3\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{27} = 2\sqrt{3^{2}\times 3} = 2\times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 1\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 3 - 1 = 2\)
البسط :\((3\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1) = -4\sqrt{3} + 10\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = -2\sqrt{3} + 5\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{3} - \left(-2\sqrt{3} + 5\right) = 8\sqrt{3} - 5\)
النتيجة النهائية :\(= 8\sqrt{3} - 5\)
\(8\sqrt{3} - 5\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{5} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 5\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{5} - 5} = \dfrac{6(\sqrt{5} + 5)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 5^{2} = 5 - 25 = -20\)
البسط :\(6(\sqrt{5} + 5) = 6\sqrt{5} + 30\)
\(= \dfrac{6\sqrt{5} + 30}{-20}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{5} - 15}{10}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{5} - 15}{10}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{3} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 1\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{3(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 3 - 1 = 2\)
البسط :\(3(\sqrt{3} + 1) = 3\sqrt{3} + 3\)
\(= \dfrac{3\sqrt{3} + 3}{2}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{3} + 3}{2}\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} + 3}{2}\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{13} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{13} - 3\)
المقام :\((2\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 4\times 13 - 9 = 43\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{13} - 3)\)
\(= 8\sqrt{26} - 12\sqrt{2} + 2\sqrt{13} - 3\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{13} = \sqrt{26}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{26} - 12\sqrt{2} + 2\sqrt{13} - 3}{43}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{8\sqrt{26} - 12\sqrt{2} + 2\sqrt{13} - 3}{43}\)
\(\dfrac{8\sqrt{26} - 12\sqrt{2} + 2\sqrt{13} - 3}{43}\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} + 4}{2\sqrt{11} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{11} + 1\)
المقام :\((2\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 4\times 11 - 1 = 43\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{3} + 4)(2\sqrt{11} + 1)\)
\(= 4\sqrt{33} + 2\sqrt{3} + 8\sqrt{11} + 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{11} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{33} + 2\sqrt{3} + 8\sqrt{11} + 4}{43}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{4\sqrt{33} + 2\sqrt{3} + 8\sqrt{11} + 4}{43}\)
\(\dfrac{4\sqrt{33} + 2\sqrt{3} + 8\sqrt{11} + 4}{43}\)
\(\dfrac{2\sqrt{11} - 6}{2\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{3} - 4\)
المقام :\((2\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 4\times 3 - 16 = -4\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{11} - 6)(2\sqrt{3} - 4)\)
\(= 4\sqrt{33} - 8\sqrt{11} - 12\sqrt{3} + 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{3} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{33} - 8\sqrt{11} - 12\sqrt{3} + 24}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= -\sqrt{33} + 2\sqrt{11} + 3\sqrt{3} - 6\)
\(-\sqrt{33} + 2\sqrt{11} + 3\sqrt{3} - 6\)
\(3\sqrt{112} + \dfrac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{112} = 3\sqrt{4^{2}\times 7} = 3\times 4\sqrt{7} = 12\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 2\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3\)
البسط :\((\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 2) = -\sqrt{7} + 5\)
\(\dfrac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7} + 2} = \dfrac{-\sqrt{7} + 5}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{7} + \left(\dfrac{-\sqrt{7} + 5}{3}\right) = \dfrac{35\sqrt{7} + 5}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{35\sqrt{7} + 5}{3}\)
\(\dfrac{35\sqrt{7} + 5}{3}\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} + 2}{3\sqrt{2} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{2} - 1\)
المقام :\((3\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 9\times 2 - 1 = 17\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{5} + 2)(3\sqrt{2} - 1)\)
\(= 15\sqrt{10} - 5\sqrt{5} + 6\sqrt{2} - 2\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{2} = \sqrt{10}\)
\(= \dfrac{15\sqrt{10} - 5\sqrt{5} + 6\sqrt{2} - 2}{17}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{15\sqrt{10} - 5\sqrt{5} + 6\sqrt{2} - 2}{17}\)
\(\dfrac{15\sqrt{10} - 5\sqrt{5} + 6\sqrt{2} - 2}{17}\)
\(\dfrac{4\sqrt{13} + 6}{4\sqrt{2} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{2} + 5\)
المقام :\((4\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 16\times 2 - 25 = 7\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{13} + 6)(4\sqrt{2} + 5)\)
\(= 16\sqrt{26} + 20\sqrt{13} + 24\sqrt{2} + 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{2} = \sqrt{26}\)
\(= \dfrac{16\sqrt{26} + 20\sqrt{13} + 24\sqrt{2} + 30}{7}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{16\sqrt{26} + 20\sqrt{13} + 24\sqrt{2} + 30}{7}\)
\(\dfrac{16\sqrt{26} + 20\sqrt{13} + 24\sqrt{2} + 30}{7}\)
\(\dfrac{3\sqrt{5} - 5}{4\sqrt{11} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{11} - 6\)
المقام :\((4\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 16\times 11 - 36 = 140\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{5} - 5)(4\sqrt{11} - 6)\)
\(= 12\sqrt{55} - 18\sqrt{5} - 20\sqrt{11} + 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{11} = \sqrt{55}\)
\(= \dfrac{12\sqrt{55} - 18\sqrt{5} - 20\sqrt{11} + 30}{140}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{6\sqrt{55} - 9\sqrt{5} - 10\sqrt{11} + 15}{70}\)
\(\dfrac{6\sqrt{55} - 9\sqrt{5} - 10\sqrt{11} + 15}{70}\)
\(\dfrac{4\sqrt{13} + 4}{3\sqrt{5} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{5} + 3\)
المقام :\((3\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 9\times 5 - 9 = 36\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{13} + 4)(3\sqrt{5} + 3)\)
\(= 12\sqrt{65} + 12\sqrt{13} + 12\sqrt{5} + 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{5} = \sqrt{65}\)
\(= \dfrac{12\sqrt{65} + 12\sqrt{13} + 12\sqrt{5} + 12}{36}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{65} + \sqrt{13} + \sqrt{5} + 1}{3}\)
\(\dfrac{\sqrt{65} + \sqrt{13} + \sqrt{5} + 1}{3}\)
\(\dfrac{3\sqrt{2} + 3}{3\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{11} - 5\)
المقام :\((3\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 9\times 11 - 25 = 74\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{2} + 3)(3\sqrt{11} - 5)\)
\(= 9\sqrt{22} - 15\sqrt{2} + 9\sqrt{11} - 15\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{11} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{9\sqrt{22} - 15\sqrt{2} + 9\sqrt{11} - 15}{74}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{9\sqrt{22} - 15\sqrt{2} + 9\sqrt{11} - 15}{74}\)
\(\dfrac{9\sqrt{22} - 15\sqrt{2} + 9\sqrt{11} - 15}{74}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{13} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 4\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{13} + 4} = \dfrac{1(\sqrt{13} - 4)}{(\sqrt{13} + 4)(\sqrt{13} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 13 - 16 = -3\)
البسط :\(1(\sqrt{13} - 4) = \sqrt{13} - 4\)
\(= \dfrac{\sqrt{13} - 4}{-3}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{13} + 4}{3}\)
\(\dfrac{-\sqrt{13} + 4}{3}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{3} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 3\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{3} - 3} = \dfrac{6(\sqrt{3} + 3)}{(\sqrt{3} - 3)(\sqrt{3} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 3 - 9 = -6\)
البسط :\(6(\sqrt{3} + 3) = 6\sqrt{3} + 18\)
\(= \dfrac{6\sqrt{3} + 18}{-6}\)
نبسّط الكسر :\(= -\sqrt{3} - 3\)
\(-\sqrt{3} - 3\)
\(\dfrac{3\sqrt{2} + 5}{2\sqrt{7} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{7} - 1\)
المقام :\((2\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 4\times 7 - 1 = 27\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{2} + 5)(2\sqrt{7} - 1)\)
\(= 6\sqrt{14} - 3\sqrt{2} + 10\sqrt{7} - 5\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{7} = \sqrt{14}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{14} - 3\sqrt{2} + 10\sqrt{7} - 5}{27}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{6\sqrt{14} - 3\sqrt{2} + 10\sqrt{7} - 5}{27}\)
\(\dfrac{6\sqrt{14} - 3\sqrt{2} + 10\sqrt{7} - 5}{27}\)