\(\dfrac{\sqrt{11} + 6}{2\sqrt{7} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{7} - 6\)
المقام :\((2\sqrt{7})^{2} - 6^{2} = 4\times 7 - 36 = -8\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} + 6)(2\sqrt{7} - 6)\)
\(= 2\sqrt{77} - 6\sqrt{11} + 12\sqrt{7} - 36\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{7} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{77} - 6\sqrt{11} + 12\sqrt{7} - 36}{-8}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{77} + 3\sqrt{11} - 6\sqrt{7} + 18}{4}\)
\(\dfrac{-\sqrt{77} + 3\sqrt{11} - 6\sqrt{7} + 18}{4}\)
\(3\sqrt{48} + \dfrac{2\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{48} = 3\sqrt{4^{2}\times 3} = 3\times 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 4\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\((2\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 4) = -9\sqrt{3} + 10\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 4} = \dfrac{9\sqrt{3} - 10}{13}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{3} + \left(\dfrac{9\sqrt{3} - 10}{13}\right) = \dfrac{165\sqrt{3} - 10}{13}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{165\sqrt{3} - 10}{13}\)
\(\dfrac{165\sqrt{3} - 10}{13}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{11} + 5} = \dfrac{5(\sqrt{11} - 5)}{(\sqrt{11} + 5)(\sqrt{11} - 5)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\(5(\sqrt{11} - 5) = 5\sqrt{11} - 25\)
\(= \dfrac{5\sqrt{11} - 25}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{11} + 25}{14}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{11} + 25}{14}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{5} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 5\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{5} + 5} = \dfrac{2(\sqrt{5} - 5)}{(\sqrt{5} + 5)(\sqrt{5} - 5)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 5^{2} = 5 - 25 = -20\)
البسط :\(2(\sqrt{5} - 5) = 2\sqrt{5} - 10\)
\(= \dfrac{2\sqrt{5} - 10}{-20}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{5} + 5}{10}\)
\(\dfrac{-\sqrt{5} + 5}{10}\)
\(\dfrac{\sqrt{13} - 1}{3\sqrt{3} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{3} + 1\)
المقام :\((3\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 9\times 3 - 1 = 26\)
ننشر البسط :\((\sqrt{13} - 1)(3\sqrt{3} + 1)\)
\(= 3\sqrt{39} + \sqrt{13} - 3\sqrt{3} - 1\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{3} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{39} + \sqrt{13} - 3\sqrt{3} - 1}{26}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{39} + \sqrt{13} - 3\sqrt{3} - 1}{26}\)
\(\dfrac{3\sqrt{39} + \sqrt{13} - 3\sqrt{3} - 1}{26}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{7} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 6\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{7} - 6} = \dfrac{2(\sqrt{7} + 6)}{(\sqrt{7} - 6)(\sqrt{7} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 6^{2} = 7 - 36 = -29\)
البسط :\(2(\sqrt{7} + 6) = 2\sqrt{7} + 12\)
\(= \dfrac{2\sqrt{7} + 12}{-29}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{7} - 12}{29}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{7} - 12}{29}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{3} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 6\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{3} - 6} = \dfrac{8(\sqrt{3} + 6)}{(\sqrt{3} - 6)(\sqrt{3} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 6^{2} = 3 - 36 = -33\)
البسط :\(8(\sqrt{3} + 6) = 8\sqrt{3} + 48\)
\(= \dfrac{8\sqrt{3} + 48}{-33}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-8\sqrt{3} - 48}{33}\)
\(\dfrac{-8\sqrt{3} - 48}{33}\)
\(\dfrac{4\sqrt{11} - 6}{2\sqrt{2} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{2} + 1\)
المقام :\((2\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 4\times 2 - 1 = 7\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{11} - 6)(2\sqrt{2} + 1)\)
\(= 8\sqrt{22} + 4\sqrt{11} - 12\sqrt{2} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{2} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{22} + 4\sqrt{11} - 12\sqrt{2} - 6}{7}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{8\sqrt{22} + 4\sqrt{11} - 12\sqrt{2} - 6}{7}\)
\(\dfrac{8\sqrt{22} + 4\sqrt{11} - 12\sqrt{2} - 6}{7}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{13} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 4\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{13} - 4} = \dfrac{4(\sqrt{13} + 4)}{(\sqrt{13} - 4)(\sqrt{13} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 13 - 16 = -3\)
البسط :\(4(\sqrt{13} + 4) = 4\sqrt{13} + 16\)
\(= \dfrac{4\sqrt{13} + 16}{-3}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{13} - 16}{3}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{13} - 16}{3}\)
\(\dfrac{\sqrt{13} + 6}{2\sqrt{5} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{5} + 4\)
المقام :\((2\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 4\times 5 - 16 = 4\)
ننشر البسط :\((\sqrt{13} + 6)(2\sqrt{5} + 4)\)
\(= 2\sqrt{65} + 4\sqrt{13} + 12\sqrt{5} + 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{5} = \sqrt{65}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{65} + 4\sqrt{13} + 12\sqrt{5} + 24}{4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{65} + 2\sqrt{13} + 6\sqrt{5} + 12}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{65} + 2\sqrt{13} + 6\sqrt{5} + 12}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2} - 3}{4\sqrt{13} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{13} + 4\)
المقام :\((4\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 16\times 13 - 16 = 192\)
ننشر البسط :\((\sqrt{2} - 3)(4\sqrt{13} + 4)\)
\(= 4\sqrt{26} + 4\sqrt{2} - 12\sqrt{13} - 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{13} = \sqrt{26}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{26} + 4\sqrt{2} - 12\sqrt{13} - 12}{192}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{26} + \sqrt{2} - 3\sqrt{13} - 3}{48}\)
\(\dfrac{\sqrt{26} + \sqrt{2} - 3\sqrt{13} - 3}{48}\)
\(5\sqrt{44} + \dfrac{\sqrt{11} - 4}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{44} = 5\sqrt{2^{2}\times 11} = 5\times 2\sqrt{11} = 10\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\((\sqrt{11} - 4)(\sqrt{11} - 5) = -9\sqrt{11} + 31\)
\(\dfrac{\sqrt{11} - 4}{\sqrt{11} + 5} = \dfrac{9\sqrt{11} - 31}{14}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{11} + \left(\dfrac{9\sqrt{11} - 31}{14}\right) = \dfrac{149\sqrt{11} - 31}{14}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{149\sqrt{11} - 31}{14}\)
\(\dfrac{149\sqrt{11} - 31}{14}\)
\(5\sqrt{325} + \dfrac{5\sqrt{13} - 6}{\sqrt{13} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{325} = 5\sqrt{5^{2}\times 13} = 5\times 5\sqrt{13} = 25\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 2\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 2^{2} = 13 - 4 = 9\)
البسط :\((5\sqrt{13} - 6)(\sqrt{13} - 2) = -16\sqrt{13} + 77\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} - 6}{\sqrt{13} + 2} = \dfrac{-16\sqrt{13} + 77}{9}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(25\sqrt{13} + \left(\dfrac{-16\sqrt{13} + 77}{9}\right) = \dfrac{209\sqrt{13} + 77}{9}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{209\sqrt{13} + 77}{9}\)
\(\dfrac{209\sqrt{13} + 77}{9}\)
\(5\sqrt{80} - \dfrac{5\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{80} = 5\sqrt{4^{2}\times 5} = 5\times 4\sqrt{5} = 20\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\((5\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 3) = -14\sqrt{5} + 22\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 3} = \dfrac{7\sqrt{5} - 11}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{5} - \left(\dfrac{7\sqrt{5} - 11}{2}\right) = \dfrac{33\sqrt{5} + 11}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{33\sqrt{5} + 11}{2}\)
\(\dfrac{33\sqrt{5} + 11}{2}\)
\(5\sqrt{48} + \dfrac{\sqrt{3} + 6}{\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{48} = 5\sqrt{4^{2}\times 3} = 5\times 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 4\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\((\sqrt{3} + 6)(\sqrt{3} - 4) = 2\sqrt{3} - 21\)
\(\dfrac{\sqrt{3} + 6}{\sqrt{3} + 4} = \dfrac{-2\sqrt{3} + 21}{13}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{3} + \left(\dfrac{-2\sqrt{3} + 21}{13}\right) = \dfrac{258\sqrt{3} + 21}{13}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{258\sqrt{3} + 21}{13}\)
\(\dfrac{258\sqrt{3} + 21}{13}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{3} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 6\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{3} + 6} = \dfrac{4(\sqrt{3} - 6)}{(\sqrt{3} + 6)(\sqrt{3} - 6)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 6^{2} = 3 - 36 = -33\)
البسط :\(4(\sqrt{3} - 6) = 4\sqrt{3} - 24\)
\(= \dfrac{4\sqrt{3} - 24}{-33}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{3} + 24}{33}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{3} + 24}{33}\)
\(5\sqrt{12} + \dfrac{3\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{12} = 5\sqrt{2^{2}\times 3} = 5\times 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 1\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 3 - 1 = 2\)
البسط :\((3\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 5\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 5}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{3} + \left(\dfrac{\sqrt{3} + 5}{2}\right) = \dfrac{21\sqrt{3} + 5}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{21\sqrt{3} + 5}{2}\)
\(\dfrac{21\sqrt{3} + 5}{2}\)
\(2\sqrt{63} - \dfrac{2\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{63} = 2\sqrt{3^{2}\times 7} = 2\times 3\sqrt{7} = 6\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 3\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 3^{2} = 7 - 9 = -2\)
البسط :\((2\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} - 3) = -8\sqrt{7} + 20\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3} = 4\sqrt{7} - 10\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{7} - \left(4\sqrt{7} - 10\right) = 2\sqrt{7} + 10\)
النتيجة النهائية :\(= 2\sqrt{7} + 10\)
\(2\sqrt{7} + 10\)
\(3\sqrt{32} + \dfrac{\sqrt{2} - 6}{\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{32} = 3\sqrt{4^{2}\times 2} = 3\times 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\((\sqrt{2} - 6)(\sqrt{2} - 2) = -8\sqrt{2} + 14\)
\(\dfrac{\sqrt{2} - 6}{\sqrt{2} + 2} = 4\sqrt{2} - 7\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{2} + \left(4\sqrt{2} - 7\right) = 16\sqrt{2} - 7\)
النتيجة النهائية :\(= 16\sqrt{2} - 7\)
\(16\sqrt{2} - 7\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{7} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 6\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{7} - 6} = \dfrac{7(\sqrt{7} + 6)}{(\sqrt{7} - 6)(\sqrt{7} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 6^{2} = 7 - 36 = -29\)
البسط :\(7(\sqrt{7} + 6) = 7\sqrt{7} + 42\)
\(= \dfrac{7\sqrt{7} + 42}{-29}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{7} - 42}{29}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{7} - 42}{29}\)