\(\dfrac{6}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{5} + 3} = \dfrac{6(\sqrt{5} - 3)}{(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\(6(\sqrt{5} - 3) = 6\sqrt{5} - 18\)
\(= \dfrac{6\sqrt{5} - 18}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{5} + 9}{2}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{5} + 9}{2}\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} - 2}{4\sqrt{11} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{11} + 1\)
المقام :\((4\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 16\times 11 - 1 = 175\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{3} - 2)(4\sqrt{11} + 1)\)
\(= 12\sqrt{33} + 3\sqrt{3} - 8\sqrt{11} - 2\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{11} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{12\sqrt{33} + 3\sqrt{3} - 8\sqrt{11} - 2}{175}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{12\sqrt{33} + 3\sqrt{3} - 8\sqrt{11} - 2}{175}\)
\(\dfrac{12\sqrt{33} + 3\sqrt{3} - 8\sqrt{11} - 2}{175}\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} - 1}{2\sqrt{5} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{5} - 5\)
المقام :\((2\sqrt{5})^{2} - 5^{2} = 4\times 5 - 25 = -5\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{13} - 1)(2\sqrt{5} - 5)\)
\(= 6\sqrt{65} - 15\sqrt{13} - 2\sqrt{5} + 5\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{5} = \sqrt{65}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{65} - 15\sqrt{13} - 2\sqrt{5} + 5}{-5}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-6\sqrt{65} + 15\sqrt{13} + 2\sqrt{5} - 5}{5}\)
\(\dfrac{-6\sqrt{65} + 15\sqrt{13} + 2\sqrt{5} - 5}{5}\)
\(4\sqrt{325} + \dfrac{3\sqrt{13} + 1}{\sqrt{13} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{325} = 4\sqrt{5^{2}\times 13} = 4\times 5\sqrt{13} = 20\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 4\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 13 - 16 = -3\)
البسط :\((3\sqrt{13} + 1)(\sqrt{13} - 4) = -11\sqrt{13} + 35\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} + 1}{\sqrt{13} + 4} = \dfrac{11\sqrt{13} - 35}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{13} + \left(\dfrac{11\sqrt{13} - 35}{3}\right) = \dfrac{71\sqrt{13} - 35}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{71\sqrt{13} - 35}{3}\)
\(\dfrac{71\sqrt{13} - 35}{3}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{13} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 1\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{13} - 1} = \dfrac{2(\sqrt{13} + 1)}{(\sqrt{13} - 1)(\sqrt{13} + 1)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\(2(\sqrt{13} + 1) = 2\sqrt{13} + 2\)
\(= \dfrac{2\sqrt{13} + 2}{12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{13} + 1}{6}\)
\(\dfrac{\sqrt{13} + 1}{6}\)
\(2\sqrt{208} + \dfrac{3\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{208} = 2\sqrt{4^{2}\times 13} = 2\times 4\sqrt{13} = 8\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\((3\sqrt{13} - 5)(\sqrt{13} - 1) = -8\sqrt{13} + 44\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 1} = \dfrac{-2\sqrt{13} + 11}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{13} + \left(\dfrac{-2\sqrt{13} + 11}{3}\right) = \dfrac{22\sqrt{13} + 11}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{22\sqrt{13} + 11}{3}\)
\(\dfrac{22\sqrt{13} + 11}{3}\)
\(\dfrac{4\sqrt{7} + 1}{4\sqrt{11} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{11} + 2\)
المقام :\((4\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 16\times 11 - 4 = 172\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{7} + 1)(4\sqrt{11} + 2)\)
\(= 16\sqrt{77} + 8\sqrt{7} + 4\sqrt{11} + 2\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{11} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{16\sqrt{77} + 8\sqrt{7} + 4\sqrt{11} + 2}{172}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{8\sqrt{77} + 4\sqrt{7} + 2\sqrt{11} + 1}{86}\)
\(\dfrac{8\sqrt{77} + 4\sqrt{7} + 2\sqrt{11} + 1}{86}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{3(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\(3(\sqrt{5} - 1) = 3\sqrt{5} - 3\)
\(= \dfrac{3\sqrt{5} - 3}{4}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{5} - 3}{4}\)
\(\dfrac{3\sqrt{5} - 3}{4}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{3} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 1\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{4(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 3 - 1 = 2\)
البسط :\(4(\sqrt{3} + 1) = 4\sqrt{3} + 4\)
\(= \dfrac{4\sqrt{3} + 4}{2}\)
نبسّط الكسر :\(= 2\sqrt{3} + 2\)
\(2\sqrt{3} + 2\)
\(\dfrac{5\sqrt{7} - 5}{4\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{3} - 5\)
المقام :\((4\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 16\times 3 - 25 = 23\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{7} - 5)(4\sqrt{3} - 5)\)
\(= 20\sqrt{21} - 25\sqrt{7} - 20\sqrt{3} + 25\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{3} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{20\sqrt{21} - 25\sqrt{7} - 20\sqrt{3} + 25}{23}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{20\sqrt{21} - 25\sqrt{7} - 20\sqrt{3} + 25}{23}\)
\(\dfrac{20\sqrt{21} - 25\sqrt{7} - 20\sqrt{3} + 25}{23}\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} - 3}{\sqrt{13} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 5\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 1\times 13 - 25 = -12\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{7} - 3)(\sqrt{13} + 5)\)
\(= 2\sqrt{91} + 10\sqrt{7} - 3\sqrt{13} - 15\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{13} = \sqrt{91}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{91} + 10\sqrt{7} - 3\sqrt{13} - 15}{-12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{91} - 10\sqrt{7} + 3\sqrt{13} + 15}{12}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{91} - 10\sqrt{7} + 3\sqrt{13} + 15}{12}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{11} + 5} = \dfrac{7(\sqrt{11} - 5)}{(\sqrt{11} + 5)(\sqrt{11} - 5)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\(7(\sqrt{11} - 5) = 7\sqrt{11} - 35\)
\(= \dfrac{7\sqrt{11} - 35}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{11} + 5}{2}\)
\(\dfrac{-\sqrt{11} + 5}{2}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{13} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 1\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{13} - 1} = \dfrac{7(\sqrt{13} + 1)}{(\sqrt{13} - 1)(\sqrt{13} + 1)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\(7(\sqrt{13} + 1) = 7\sqrt{13} + 7\)
\(= \dfrac{7\sqrt{13} + 7}{12}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{7\sqrt{13} + 7}{12}\)
\(\dfrac{7\sqrt{13} + 7}{12}\)
\(\dfrac{4\sqrt{7} - 1}{\sqrt{3} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 4\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 1\times 3 - 16 = -13\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{7} - 1)(\sqrt{3} + 4)\)
\(= 4\sqrt{21} + 16\sqrt{7} - \sqrt{3} - 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{3} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{21} + 16\sqrt{7} - \sqrt{3} - 4}{-13}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{21} - 16\sqrt{7} + \sqrt{3} + 4}{13}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{21} - 16\sqrt{7} + \sqrt{3} + 4}{13}\)
\(4\sqrt{325} + \dfrac{4\sqrt{13} - 4}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{325} = 4\sqrt{5^{2}\times 13} = 4\times 5\sqrt{13} = 20\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\((4\sqrt{13} - 4)(\sqrt{13} - 1) = -8\sqrt{13} + 56\)
\(\dfrac{4\sqrt{13} - 4}{\sqrt{13} + 1} = \dfrac{-2\sqrt{13} + 14}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{13} + \left(\dfrac{-2\sqrt{13} + 14}{3}\right) = \dfrac{58\sqrt{13} + 14}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{58\sqrt{13} + 14}{3}\)
\(\dfrac{58\sqrt{13} + 14}{3}\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} + 3}{3\sqrt{13} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{13} + 5\)
المقام :\((3\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 9\times 13 - 25 = 92\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{3} + 3)(3\sqrt{13} + 5)\)
\(= 9\sqrt{39} + 15\sqrt{3} + 9\sqrt{13} + 15\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{13} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{9\sqrt{39} + 15\sqrt{3} + 9\sqrt{13} + 15}{92}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{9\sqrt{39} + 15\sqrt{3} + 9\sqrt{13} + 15}{92}\)
\(\dfrac{9\sqrt{39} + 15\sqrt{3} + 9\sqrt{13} + 15}{92}\)
\(\dfrac{\sqrt{11} - 1}{4\sqrt{7} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{7} + 1\)
المقام :\((4\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 16\times 7 - 1 = 111\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} - 1)(4\sqrt{7} + 1)\)
\(= 4\sqrt{77} + \sqrt{11} - 4\sqrt{7} - 1\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{7} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{77} + \sqrt{11} - 4\sqrt{7} - 1}{111}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{4\sqrt{77} + \sqrt{11} - 4\sqrt{7} - 1}{111}\)
\(\dfrac{4\sqrt{77} + \sqrt{11} - 4\sqrt{7} - 1}{111}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{2} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 1\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{2} + 1} = \dfrac{8(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 2 - 1 = 1\)
البسط :\(8(\sqrt{2} - 1) = 8\sqrt{2} - 8\)
\(= 8\sqrt{2} - 8\)
الكسر في أبسط صورة :\(= 8\sqrt{2} - 8\)
\(8\sqrt{2} - 8\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} - 5}{2\sqrt{3} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{3} + 5\)
المقام :\((2\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 4\times 3 - 25 = -13\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{13} - 5)(2\sqrt{3} + 5)\)
\(= 10\sqrt{39} + 25\sqrt{13} - 10\sqrt{3} - 25\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{3} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{10\sqrt{39} + 25\sqrt{13} - 10\sqrt{3} - 25}{-13}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-10\sqrt{39} - 25\sqrt{13} + 10\sqrt{3} + 25}{13}\)
\(\dfrac{-10\sqrt{39} - 25\sqrt{13} + 10\sqrt{3} + 25}{13}\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} + 1}{\sqrt{2} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 1\times 2 - 4 = -2\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{11} + 1)(\sqrt{2} + 2)\)
\(= 5\sqrt{22} + 10\sqrt{11} + \sqrt{2} + 2\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{2} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{22} + 10\sqrt{11} + \sqrt{2} + 2}{-2}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{22} - 10\sqrt{11} - \sqrt{2} - 2}{2}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{22} - 10\sqrt{11} - \sqrt{2} - 2}{2}\)